02. Формулы для вычисления координат точки

Введение

Соответствующая задача звучит просто: определение координат точки , расположенной в верхней координатной полуплоскости (Рис. 1).

Координаты точки  определяются двумя величинами: длиной отрезка  и  (Рис. 2). Координаты точки  следует вычислить через длину  и некоторую функцию от .

Мы знаем, что задает координаты, соответствующие точке на единичной полуокружности, а значит, и координаты вектора .

Действительно, луч высекает единственную точку на окружности (Рис. 3). Ее координаты на окружности  таковы, что первая из них есть ,  а вторая –. Координаты вектора совпадают с координатами точки . Напомним, нам нужны координаты точки .

Осталось выразить координаты вектора и координаты точки через координаты вектора (Рис. 4)

Замечаем, что  и – коллинеарные. Кроме того, .

Что это означает? Это означает, что  получается из , если последний умножить на длину отрезка : .  (Как мы знаем, любой вектор, коллинеарный данному, может быть получен из данного путем умножения на число.)

Но координаты точки и координаты совпадают, следовательно

.

Задача решена.

Теперь проанализируем знаки координат точки .

Эти координаты зависят от двух величин. Во-первых, от расстояния до точки эта величина всегда неотрицательна. Во-вторых, от синуса и косинуса.

Вспомним знаки синуса и косинуса.

Если мы имеем , ему соответствует единственная точка на единичной полуокружности. Абсцисса точки даст косинус , а ордината точки даст синус .

Из этих определений вытекает, что если меняется в пределах , то – величина неотрицательная и меняется в пределах от .

 меняется в пределах , т. е. может быть как положительным, так и отрицательным. Он является положительным, когда угол меняется в пределах . И косинус отрицателен, если угол меняется в пределах .

Значит, правила таковы:

1. , т. к. , если .

2.  при , т. к. в этом случае .

3. при , т. к. в этом случае .

Таким образом, мы вывели формулы для координат точки и проанализировали знаки этих координат.

Теперь решим типовые задачи на использование полученных формул.

Задача . Угол между лучом , пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью равен .

Найдите координаты точки , если , .

Решение.

Обратимся к Рис. 5. 

На этом рисунке изображена точка и показаны ее координаты. Применяя полученные ранее формулы, запишем: , . Задача решена.

Вторая задача отличается от первой лишь месторасположением точки (Рис. 6)

Задача . Угол между лучом , пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью равен . Найдите координаты точки , если , .

Решение.

После того как будет сделан Рис. 6, решение становится очевидным: координаты точки это .

Но тем не менее воспользуемся выведенными формулами.

, .

Задача . В следующей задаче точка расположена следующим образом:

нам дано, что ; . Следует найти координаты точки.

Решение. Для наглядности изобразим Рис. 7.

Для решения снова воспользуемся полученными формулами: , . Здесь мы воспользовались формулами приведения.

В следующей задаче (Рис. 8) точка лежит на оси .

Задача . Найдите координаты точки , если ; .

В общем-то, решение очевидно: , но важно вспомнить основные формулы, а в них присутствуют синус и косинус .

.

Последняя задача: ; . Рис. 9 поясняет сказанное. Найти  координаты точки .

Решение.

Согласно общим формулам,

.

Мы вывели формулы для определения координат точки, при этом использовали и синус, и косинус угла.

На следующем уроке мы повторим эти понятия и решим некоторые задачи.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 252, глава 11, параграф 1, пункт 95.