Формулы для вычисления координат точки

Этот видеоурок доступен по абонементу

Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы выведем формулы для определения координат точки с помощью понятий синуса и косинуса.
Вначале решим типовую задачу на данную тему и на ее примере рассмотрим, как выражаются координаты точки через длину отрезка и угол. Далее выразим координаты вектора и точки через произведение тригонометрических функций и длины отрезка и проанализируем знаки полученных координат.
На примере типовой задачи решим несколько конкретных задач на нахождение координат точки через синус и косинус угла.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Векторы и координаты»

Тема: Синус, косинус и тангенс угла

Урок: Формулы для вычисления координат точки

1. Введение

Соответствующая задача звучит просто: определение координат точки А, расположенной в верхней координатной полуплоскости (Рис. 1).

Рис. 1.

Координаты точки А определяются двумя величинами: длиной отрезка ОА и Ðα = ÐВОА (Рис. 2). Координаты точки А (х; у) следует вычислить через длину ОА и некоторую функцию от Ðα.

Рис. 2.

Мы знаем, что Ðα задает координаты, соответствующие точке М на единичной полуокружности, а значит, и координаты вектора ОМ.

Рис. 3.

Действительно, луч ОА высекает единственную точку на окружности М (Рис. 3). Ее координаты на окружности М (х_м; у_м) таковы, что первая из них есть cos α, а вторая – sin α. Координаты вектора ОМ совпадают с координатами точки М. Напомним, нам нужны координаты точки А.

Осталось выразить координаты вектора ОА и координаты точки А через координаты вектора ОМ (Рис. 4)

Рис. 4.

Замечаем, что и – коллинеарные. Кроме того, ОМ = 1.

Что это означает? Это означает, что получается из , если последний умножить на длину отрезка ОА: . (Как мы знаем, любой вектор, коллинеарный данному, может быть получен из данного путем умножения на число.)

Но координаты точки А (х_А; у_А) и координаты (,) совпадают, следовательно .

Задача решена.

Теперь проанализируем знаки координат точки А.

Эти координаты зависят от двух величин. Во-первых, от расстояния до точки О эта величина всегда неотрицательна. Во-вторых, от синуса и косинуса.

Вспомним знаки синуса и косинуса.

Если мы имеем Ðα, ему соответствует единственная точка М на единичной полуокружности. Абсцисса точки М даст косинус Ðα, а ордината точки даст синус Ðα.

Из этих определений вытекает, что если Ðα меняется в пределах [0°; 180°], то – величина неотрицательная и меняется в пределах от [0; 1].

меняется в пределах [–1; 1], т. е. может быть как положительным, так и отрицательным. Он является положительным, когда угол меняется в пределах [0; 90°]. И косинус отрицателен, если угол меняется в пределах [90°; 180°].

Значит, правила таковы:

1. , т. к. Î [0; 1], если α Î [0°;180°].

2. при α Î [0°; 90°], т. к. в этом случае Î [0; 1].

3. при α Î [90°; 180°], т. к. в этом случае Î [-1; 0].

Таким образом, мы вывели формулы для координат точки А и проанализировали знаки этих координат.

Теперь решим типовые задачи на использование полученных формул.

Задача 1. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α.

Найдите координаты точки А, если ОА = 3, α = 45°.

Рис. 5.

Решение.

Обратимся к Рис. 5.

На этом рисунке изображена точка А и показаны ее координаты. Применяя полученные ранее формулы, запишем: = , = . Задача решена.

Рис. 6.

Вторая задача отличается от первой лишь месторасположением точки А (Рис. 6)

Задача 2. Угол между лучом ОА, пересекающим единичную полуокружность, и положительной полуосью Ох равен α. Найдите координаты точки А, если ОА =1,5, α = 90°.

Решение.

После того как будет сделан Рис. 6, решение становится очевидным: координаты точки А это (0; 1,5).

Но тем не менее воспользуемся выведенными формулами.

= , = .