Напомним, угол определяет единственную точку М (х_α; у_α) на единичной полуокружности. На Рис. 1 представлена единичная полуокружность, она описывается следующим образом:

Рис. 1

, первое из этих выражений – это вся окружность, а второе ограничивает нас только верхней полуплоскостью.

Так вот, первую координату точки М (абсциссу) назвали косинусом угла. Вторую координату – ординату – назвали синусом угла.

Вот основные определения:

М = M (,).

tg α = ; ctg α =

Далее вспомним основное тригонометрическое тождество и основные формулы. Они здесь выписаны, проанализируем их и вспомним, откуда они получились.

, tg α · ctg α = 1 или

Во-первых, они получились из определений.

И во-вторых, из уравнения окружности.

Если есть Ð α, то ему соответствует единственная точка на окружности, и координаты этой точки назвали синусом угла и косинусом угла. Но это точка на единичной окружности, а любая точка единичной окружности подчиняется уравнению окружности ,

х – это косинус, а у – это синус, значит, для любого Ð α. Напомним, мы рассматриваем углы из отрезка [0°; 180°].

Рис. 2

Далее вспомним (Рис. 2) важные формулы для координат точки А (х_А; у_А)

α Î [0°; 180°].

Рис. 3

Итак, мы имеем синус, косинус, тангенс, котангенс для тупых углов в том числе, т. е. мы рассматриваем углы [0°; 180°]. Но при этом следует уметь вычислять и синус, и косинус таких углов. Этому помогают формулы приведения (Рис. 3). Напомним их:

при 0º£α £90º;

Полезно вспомнить значение тригонометрических функций основных острых углов. Почему?

Только что мы видели, что по формулам приведения к ним сводятся значения тригонометрических функций тупых углов.

	30°	45°	60°
sin	½
cos			½
tg		1
ctg		1

Итак, мы вспомнили важную таблицу для тригонометрических функций острых углов.

Рассмотренная таблица и формулы приведения позволяют решать многие типовые задачи.

Найти: sin 120°, cos 120°, tg 120°, ctg 120°.

Решение: сначала формальное решение.

sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° по формулам приведения, а по таблице sin 60° = .

Часть задачи решена:

cos 120° = cos (180° – 60°) = – cos 60° = – ½ .

Таким образом, мы нашли синус и косинус тупого угла 120°.

Теперь посмотрим и проиллюстрируем этот факт на графике.

Рис. 4

Строим единичную полуокружность, на ней угол 120°. Напомним, что этот угол отсчитан против часовой стрелки от положительного направления оси Ох.

Он высекает единственную точку М₂ на единичной полуокружности.

Выясняется, что оставшийся угол между отрицательной полуосью Ох и лучом ОМ₂ равен 60° и еще один угол 60° (между положительной полуосью Ох и лучом ОМ₁). Для угла 60° синус совпадает с синусом 120°, а косинус 60° и косинус 120° – это противоположные числа. Таким образом, для данной типовой задачи мы нашли синус и косинус 120° и проиллюстрировали факт нахождения на чертеже.

Осталось найти тангенс и котангенс 120°.

Формулы известны, находим:

tg 120° = ;

ctg 120° =

Ответ:

sin 120° = , cos 120° = - ½ , tg 120° = , ctg 120° =

Задача решена.

Использованы и таблица, и формулы приведения.

Следующая типовая задача. Задана одна функция, найти другие функции или другую функцию.

Задача. Найдите , если = ¼ , α Î [0; 180°]. Сначала формальное решение. Мы имеем основное тригонометрическое тождество, которое связывает между собой и синус, и косинус: , откуда (Ответ).

Два ответа. Откуда они появились? Проиллюстрируем этот факт на чертеже (Рис. 5).

Единичная полуокружность, синус какого-то угла, неизвестно пока, какого, равна ¼. Перпендикуляр к линии синусов (оси ординат), проведенный в точке у = ¼, высвечивает две точки на единичной окружности. Двум точкам соответствуют два угла. Один угол α₁, второй угол – α₂.

Угол α₁имеет , Угол α₂имеет .

Сделаем такое примечание: значение = ¼ определяет два угла – α₁ и α₂ = 180° – α₁ , причем

(синусы равны одному и тому же числу), а косинусы – разные: ,

Рис. 5

В следующей задаче, наоборот, задано значение , требуется найти значение . И понять, в чем разница между этой задачей и предыдущей.

Задача. Найдите , если = , α Î [0; 180°].

Рис. 6

Как всегда, сначала формальное решение без чертежа:

по основному тригонометрическому тождеству , откуда , два ответа, но вспоминаем, что синус меняется в пределах [0; 1], поэтому выбираем и получаем единственный ответ.

Теперь проиллюстрируем все это на чертеже (Рис. 6).

Как обычно, на рисунке – единичная полуокружность, линия косинусов (ось абсцисс), на ней точки – 1, 0, 1, а у нас абсцисса (косинус) равна .

Перпендикуляр высвечивает единственную точку на единичной окружности и единственный Ðα. Он здесь тупой. Синус тоже имеет единственное значение. Сформулируем такое примечание: значение определяет единственный ÐαÎ[0°; 180°]. Задача решена.

Формулировка следующей задачи.

Задача. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты ( ; 1 ).

Чертеж (Рис. 7).

Рис. 7

На рисунке – точка А (; 1), и надо найти угол, который обозначим α.

Известны координаты точки А.

Используем специфику исходных данных при решении (Рис. 8). Рассмотрим треугольник АОА₁.

Рис. 8

Он прямоугольный, и катеты его известны. Первый катет равен 1, второй катет длиной .

Следовательно, tg ÐАОА₁ = угол ÐАОА₁ = 30°, искомый угол α = 180° – 30° = 150°

Ответ получен, но мы продемонстрируем другой способ его получения.

Сначала найти длину отрезка АО, ведь координаты точки А известны и координаты точки О известны.

Далее по формулам для координат точки найти косинус угла, синус угла. В любом случае специфика конкретных исходных данных нам позволила мгновенно найти угол. Задача решена.

Итак, мы повторили теорию по теме «Синус, косинус, тангенс угла» и решили типовые задачи.

На следующем уроке мы рассмотрим теорему о площади треугольника.

Список рекомендованной литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы

1. Твой личный наставник (Источник).

Рекомендованное домашнее задание

1. Атанасян (см. список литературы), стр. 255, задачи 1013 – 1017.