Тема: Синус, косинус, тангенс угла
Урок: Решение задач по теме «Синус, косинус, тангенс угла»
1. Введение
Напомним, угол
определяет единственную точку М (хα; уα) на единичной полуокружности. На Рис. 1 представлена единичная полуокружность, она описывается следующим образом:
Рис. 1
, первое из этих выражений – это вся окружность, а второе ограничивает нас только верхней полуплоскостью.
Так вот, первую координату точки М (абсциссу) назвали косинусом угла. Вторую координату – ординату – назвали синусом угла.
Вот основные определения:
М 
= M (
,
).
tg α = 
; ctg α = 
Далее вспомним основное тригонометрическое тождество и основные формулы. Они здесь выписаны, проанализируем их и вспомним, откуда они получились.
, tg α · ctg α = 1 или
Во-первых, они получились из определений.
И во-вторых, из уравнения окружности.
Если есть Ð α, то ему соответствует единственная точка на окружности, и координаты этой точки назвали синусом угла и косинусом угла. Но это точка на единичной окружности, а любая точка единичной окружности подчиняется уравнению окружности 
,
х – это косинус, а у – это синус, значит, для любого Ð α. Напомним, мы рассматриваем углы из отрезка [0°; 180°].
Рис. 2
Далее вспомним (Рис. 2) важные формулы для координат точки А (хА; уА)
α Î [0°; 180°].
Рис. 3
Итак, мы имеем синус, косинус, тангенс, котангенс для тупых углов в том числе, т. е. мы рассматриваем углы [0°; 180°]. Но при этом следует уметь вычислять и синус, и косинус таких углов. Этому помогают формулы приведения (Рис. 3). Напомним их:
при 0º£α £90º;
Полезно вспомнить значение тригонометрических функций основных острых углов. Почему?
Только что мы видели, что по формулам приведения к ним сводятся значения тригонометрических функций тупых углов.
|
|
30° |
45° |
60° |
|
sin |
½ |
|
|
|
cos |
|
|
½ |
|
tg |
|
1 |
|
|
ctg |
|
1 |
|
Итак, мы вспомнили важную таблицу для тригонометрических функций острых углов.
Рассмотренная таблица и формулы приведения позволяют решать многие типовые задачи.
Найти: sin 120°, cos 120°, tg 120°, ctg 120°.
Решение: сначала формальное решение.
sin 120° = sin (180° – 60°) = sin 60° по формулам приведения, а по таблице sin 60° = 
.
Часть задачи решена:
cos 120° = cos (180° – 60°) = – cos 60° = – ½ .
Таким образом, мы нашли синус и косинус тупого угла 120°.
Теперь посмотрим и проиллюстрируем этот факт на графике.
Рис. 4
Строим единичную полуокружность, на ней угол 120°. Напомним, что этот угол отсчитан против часовой стрелки от положительного направления оси Ох.
Он высекает единственную точку М2 на единичной полуокружности.
Выясняется, что оставшийся угол между отрицательной полуосью Ох и лучом ОМ2 равен 60° и еще один угол 60° (между положительной полуосью Ох и лучом ОМ1). Для угла 60° синус совпадает с синусом 120°, а косинус 60° и косинус 120° – это противоположные числа. Таким образом, для данной типовой задачи мы нашли синус и косинус 120° и проиллюстрировали факт нахождения на чертеже.
Осталось найти тангенс и котангенс 120°.
Формулы известны, находим:
tg 120° = 
;
ctg 120° = 
Ответ:
sin 120° = , cos 120° = - ½ , tg 120° = 
, ctg 120° = 
Задача решена.
Использованы и таблица, и формулы приведения.
Следующая типовая задача. Задана одна функция, найти другие функции или другую функцию.
Задача. Найдите , если = ¼ , α Î [0; 180°]. Сначала формальное решение. Мы имеем основное тригонометрическое тождество, которое связывает между собой и синус, и косинус: 
, откуда 
(Ответ).
Два ответа. Откуда они появились? Проиллюстрируем этот факт на чертеже (Рис. 5).
Единичная полуокружность, синус какого-то угла, неизвестно пока, какого, равна ¼. Перпендикуляр к линии синусов (оси ординат), проведенный в точке у = ¼, высвечивает две точки на единичной окружности. Двум точкам соответствуют два угла. Один угол α1, второй угол – α2.
Угол α1 имеет 
, Угол α2 имеет 
.
Сделаем такое примечание: значение = ¼ определяет два угла – α1 и α2 = 180° – α1 , причем
(синусы равны одному и тому же числу), а косинусы – разные: ,
Рис. 5
В следующей задаче, наоборот, задано значение , требуется найти значение . И понять, в чем разница между этой задачей и предыдущей.
Задача. Найдите , если = 
, α Î [0; 180°].
Рис. 6
Как всегда, сначала формальное решение без чертежа:
по основному тригонометрическому тождеству 
, откуда 
, два ответа, но вспоминаем, что синус меняется в пределах [0; 1], поэтому выбираем 
и получаем единственный ответ.
Теперь проиллюстрируем все это на чертеже (Рис. 6).
Как обычно, на рисунке – единичная полуокружность, линия косинусов (ось абсцисс), на ней точки – 1, 0, 1, а у нас абсцисса (косинус) равна 
.
Перпендикуляр высвечивает единственную точку на единичной окружности и единственный Ðα. Он здесь тупой. Синус тоже имеет единственное значение. Сформулируем такое примечание: значение определяет единственный ÐαÎ[0°; 180°]. Задача решена.
Формулировка следующей задачи.
Задача. Найдите угол между лучом ОА и положительной полуосью Ох, если точка А имеет координаты ( ; 1 ).
Чертеж (Рис. 7).
Рис. 7
На рисунке – точка А (; 1), и надо найти угол, который обозначим α.
Известны координаты точки А.
Используем специфику исходных данных при решении (Рис. 8). Рассмотрим треугольник АОА1.
Рис. 8
Он прямоугольный, и катеты его известны. Первый катет равен 1, второй катет длиной 
.
Следовательно, tg ÐАОА1 = 
угол ÐАОА1 = 30°, искомый угол α = 180° – 30° = 150°
Ответ получен, но мы продемонстрируем другой способ его получения.
Сначала найти длину отрезка АО, ведь координаты точки А известны и координаты точки О известны.
Далее по формулам для координат точки найти косинус угла, синус угла. В любом случае специфика конкретных исходных данных нам позволила мгновенно найти угол. Задача решена.
Итак, мы повторили теорию по теме «Синус, косинус, тангенс угла» и решили типовые задачи.
На следующем уроке мы рассмотрим теорему о площади треугольника.
Список рекомендованной литературы
1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Рекомендованные ссылки на интернет-ресурсы
1. Твой личный наставник (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Атанасян (см. список литературы), стр. 255, задачи 1013 – 1017.
