Синус, косинус и тангенс угла. Основное тригонометрическое тождество

Отношения сторон в прямоугольном треугольнике

Как измерить высоту дерева ? Как найти расстояние  до недоступной точки , вершины дерева (рис. 1)?

Рис. 1. Наглядный пример из 8 класса о введении тригонометрических функций острого угла

Рис. 2. Прямоугольный треугольник АВС

Пусть задан треугольник  (рис. 2), a;  – катеты,  – гипотенуза,  – угол.

Единичная полуокружность

Поместим единичную полуокружность в координатную плоскость (рис. 3).

1. Рассмотрим , в нем , где , т. е. это прямоугольный треугольник, угол  – острый.

Рис. 3. Единичная окружность в координатной плоскости

Синусом угла  называется отношение противолежащего катета  гипотенузе :

Но гипотенуза , поэтому:

 – ордината точки :

но , значит:

 – абсцисса точки  единичной полуокружности.

Синус острого угла – это ордината, а косинус – это абсцисса точки  первой четверти.

Точка  имеет единственную пару координат , – это косинус ,  – синус .

Но абсциссу и ординату имеют все точки полуокружности.

2. Рассмотрим любой  (рисунок 4), из отрезка .

Рис. 4.  единичной окружности в координатной плоскости

Его луч  определяет единственную точку  на полуокружности, ординату  назовем синусом , а абсциссу  – его косинусом.

примем, что  – это отношение  к :

Задача 1

Дано:

Найти:

Решение

Рис. 5. Единичная окружность в координатной плоскости

(рис. 5)

По определению, точка  с координатами (0;1) есть точка  с координатами :

Примечание: т. к.  есть 0, то  не существует:

Ответ:.

Задача решена.

Задача 2

Дано:

Найти:

Решение

Рис. 6. Единичная окружность в координатной плоскости

(рис. 6)

Ответ: ; ; .

Задача решена.

Свойства единичной полуокружности

Рассмотрим некоторые свойства единичной полуокружности (рис. 7).

Она проецируется на ось  в отрезок , а на ось  в отрезок , отсюда вывод:

Рис. 7. Единичная полуокружность в координатной плоскости

В частности, косинус тупого угла отрицателен.

Основное тригонометрическое тождество

Уравнение единичной окружности с центром в точке  и :

Для

Именно это соотношение называют основным тригонометрическим тождеством.

Взаимосвязь тригонометрических функций

Рассмотрим связь тангенса и косинуса.

Если , то из основного тригонометрического тождества имеем:

Такова связь между косинусом и тангенсом.

Пусть .

Тогда из основного тригонометрического тождества найдем связь между котангенсом и синусом:

Формулы приведения

Проверьте самостоятельно их справедливость с помощью единичной полуокружности.

Вывод

Мы вспомнили, что такое синус, косинус и тангенс для острых углов, узнали, что такое  для углов от  до , рассмотрели простейшие свойства введённых функций и основные формулы, которые связывают между собой синус, косинус, тангенс и котангенс, причем для всех углов от  до .

 

Список литературы

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А.В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л.С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А.В. Геометрия, уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Raal100.narod.ru (Источник).
2. Yarik2000.narod.ru (Источник).
3. Oldskola1.narod.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Чему равен , если ?
2. Найдите значение выражения .
3. Чему равен синус угла, если его косинус равен ?
4. Найдите .