Поместим единичную полуокружность в координатную плоскость (рис. 3).

1. Рассмотрим , в нем , где , т. е. это прямоугольный треугольник, угол – острый.

Рис. 3. Единичная окружность в координатной плоскости

Синусом угла называется отношение противолежащего катета гипотенузе :

Но гипотенуза , поэтому:

– ордината точки :

но , значит:

– абсцисса точки единичной полуокружности.

Синус острого угла – это ордината, а косинус – это абсцисса точки первой четверти.

Точка имеет единственную пару координат , – это косинус , – синус .

Но абсциссу и ординату имеют все точки полуокружности.

2. Рассмотрим любой (рисунок 4), из отрезка .

Рис. 4. единичной окружности в координатной плоскости

Его луч определяет единственную точку на полуокружности, ординату назовем синусом , а абсциссу – его косинусом.

примем, что – это отношение к :