Мы использовали эквивалентное определение коллинеарности векторов – пропорциональность их координат:

Т. е. по координатам векторов можно легко определить, коллинеарны они или нет.

А можно ли так же легко по координатам векторов понять, перпендикулярны ли они?

Да, если использовать тот факт, что скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны друг другу (см. рис. 12):

Рис. 12. Перпендикулярные векторы

Задача 3. Доказать, что четырехугольник , вершины которого имеют координаты

является квадратом.

Доказательство

Изобразим точки на координатной плоскости (см. рис. 13). В самом деле, похоже, что это квадрат.

Рис. 13. Иллюстрация к задаче 3

Чтобы доказать, что четырехугольник – квадрат, есть разные способы. Можно воспользоваться определением и показать, что все стороны равны и все углы прямые.

Можно воспользоваться свойствами диагоналей. Т. к. квадрат – это ромб и прямоугольник, то его диагонали точкой пересечения делятся пополам, равны друг другу и перпендикулярны.

Пойдем по первому пути. Покажем равенство длин и перпендикулярность соседних векторов, заданных сторонами четырехугольника.

Для начала посчитаем координаты этих четырех векторов:

Векторы и имеют одинаковые координаты. Значит, они равны. А это означает, что они параллельны и их длины равны друг другу. Это уже означает, что наш четырехугольник – параллелограмм.

Мы видим, что и у второй пары векторов и совпадают координаты, векторы равны.

Чтобы показать, что параллелограмм является квадратом, нужно доказать равенство одной пары соседних сторон (получится ромб) и показать, что один угол прямой, тогда все остальные тоже будут прямыми.

Посчитаем длину вектора :

Посчитаем длину вектора :

Итак, соседние стороны равны: , значит, все стороны равны и четырехугольник – ромб.

Осталось доказать перпендикулярность пары векторов. Возьмем те же векторы и . Найдем их скалярное произведение – для этого умножаем попарно их координаты и результаты складываем:

Т. к. оба вектора ненулевые, то равенство нулю их скалярного произведения означает только одно: они перпендикулярны:

Ромб с прямым углом – это квадрат.

Доказано.