Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов
Урок: Простейшие задачи по теме раздела
1. Тема урока, введение
Тема урока: «Скалярное произведение векторов. Решение простейших задач». На этом уроке мы повторим теорию скалярного произведения векторов и решим простейшие задачи на скалярное произведение.
Вспомним определение скалярного произведения векторов.
Скалярным произведением векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними.
.
В этом определении есть понятия вектор, длина вектора, угол между векторами. Напомним определения этих понятий.
1. Вектор, или направленный отрезок, – это такой отрезок, для которого указано начало – одна из граничных точек, и конец – другая граничная точка.
Вектор может быть отложен и от другой точки.
Векторы 
и 
равны, если 
2. Вектор может быть задан в координатной плоскости через свои проекции на оси координат.
Кординаты вектора – это коэффициенты его разложения по координатным векторам 
и 
.
, причем это разложение единственно.
Например, 
.
3. Координаты концов вектора и координаты вектора.
Дано: 
Найти: Координаты вектора 
Решение.
Ответ: 
4. Угол между векторами.
угол между векторами.
Сравним с углом между прямыми.
Углом между прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.
тупой;
стрый.
угол между прямыми.
5. Скалярное произведение векторов 
и 
.
а) 
Скалярное произведение векторов – это числовая характеристика взаимного расположения векторов.
В частности, 
б) Рассмотрим проекции векторов друг на друга.
в) Еще раз рассмотрим скалярное произведение векторов и :
Угол между векторами
Угол между прямыми
, т. к. угол между прямыми не может быть тупым.
3. Решение задач на скалярное произведение векторов
Рассмотрим конкретные задачи.
Задача. Дано:
Найти:
1. 
2. 
Решение:
Проиллюстрируем решение рисунком:
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
В следующей задаче используем результаты предыдущей.
Задача. Дано:
Найти:
1. 
2. 
Решение.
1. 
Ответ: 
2.
Ответ: 
В следующей задаче снова будут использованы те же векторы.
Задача. Дано:
Найти: проекцию вектора 
на вектор 
.
Решение.
но 
значит,
Ответ: 
Задача. Дано:
Найти:
1. Координаты вектора и длину вектора 
2. Скалярное произведение векторов и 
.
Решение.
1. 
Ответ: 
2. 
Ответ: 
.
4. Заключение
Итак, мы повторили теорию и решили задачи по теме «Скалярное произведение векторов». Следующий урок мы посвятим решению задач по этой важной теме.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1045, 1047.
