Как видим, умножение вектора на число не дает возможности получить вектор с другим направлением. Действительно, как быстро ни беги из центра поля к угловому флажку, к воротам не прибежишь.

Но если у нас есть два неколлинеарных вектора, то наши возможности получения векторов сильно возрастают. Например, если мы можем двигаться только в двух направлениях – на север и на восток (и противоположным к ним), то все равно сможем из точки добраться в любую точку на местности (см. рис. 7).

Рис. 7. Если на местности можно двигаться только в двух направлениях – на север и на восток (и противоположным к ним), то все равно можно добраться из точки в любую точку

Сложим два неколлинеарных вектора и (см. рис. 8) (подумайте сами, почему важно условие неколлинеарности). Неважно, как мы это делаем, методом треугольника или параллелограмма (см. рис. 9).

Рис. 8. Неколлинеарные векторы и

Рис. 9. Результат сложения векторов и – вектор

Очевидно, что полученный вектор не коллинеарен ни одному из них. Хотя бы по той причине, что диагональ четырехугольника не параллельна ни одной его стороне или в треугольнике ни одна сторона не параллельна никакой другой.

Если же теперь менять пропорционально длину обоих векторов и , то вектор суммы тоже изменит длину в такое же количество раз. Умножим оба вектора на , вектор суммы тоже умножится на (см. рис. 10):

Рис. 10. Вектор

А если длины векторов и менять непропорционально, то вектор суммы, кроме длины, начнет менять и свое направление.

Умножим вектор на , а вектор оставим без изменений. Вектор суммы имеет другие длину и направление (см. рис. 11).

Рис. 11. Вектор

Умножим вектор на , а – на . Получим вектор с новой длиной и новым направлением (см. рис. 12).

Рис. 12. Вектор

Во всех случаях говорят, что вектор разложен по векторам и . Коэффициенты перед и называют коэффициентами разложения.

Появляется предположение, что, умножая два неколлинеарных вектора на некоторые числа и потом суммируя, можно получить вообще любой вектор. Или, иначе говоря, любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам.

Это в самом деле так. Посмотрим, как это можно доказать.

Теорема

Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Пусть даны два неколлинеарных вектора и . Докажем, что произвольный вектор можно разложить по этим векторам (см. рис. 13).

Рис. 13. Неколлинеарные векторы и , произвольный вектор

Совместим все три вектора в одном начале и достроим рисунок до параллелограмма (см. рис. 14).

Рис. 14. Векторы совместили в одном начале и достроили рисунок до параллелограмма

Вектор является суммой двух векторов, один из которых коллинеарен вектору , а второй – вектору (см. рис. 15).

Рис. 15. Вектор – сумма двух векторов, один из которых коллинеарен вектору , а второй – вектору

Но тогда они представимы в виде и , а сам вектор:

Т. е. мы доказали, что вектор можно разложить по векторам и :

Наше рассуждение строилось на том, что вектор не коллинеарен ни , ни . В противном случае мы не смогли бы построить параллелограмм.

Значит, случай коллинеарности одному из этих векторов нужно рассмотреть отдельно. Если вектор коллинеарен вектору , то (см. рис. 16):

Рис. 16. Вектор коллинеарен вектору

Но тогда это можно записать как , что тоже является разложением по векторам и , но один из коэффициентов разложения равен нулю. Аналогичная ситуация для случая, когда вектор коллинеарен вектору (см. рис. 17):

Рис. 17. Вектор коллинеарен вектору

Итак, вектор всегда можно разложить по векторам и . Докажем, что это разложение единственно.

Пусть есть два разложения по векторам и :

Вычтем из одного равенства другое:

Пусть :

Откуда:

Можем разделить, т. к. предположили, что , т. е. деления на ноль не будет. Или, по-другому:

Тогда:

А это равносильно следующему:

Но, по условию, векторы неколлинеарны – получили противоречие, значит:

Аналогично можно доказать, что (попробуйте сделать это самостоятельно).

Но тогда получается, что:

Значит, разложение вектора по векторам и существует и единственное.

Теорема доказана.

Может показаться, что мы доказали что-то принципиально новое. Но, на самом деле, мы уже давно пользуемся этой теоремой, даже не подозревая об этом. Действительно, мы только что доказали, что любой вектор на плоскости можно однозначно представить в следующем виде для неколлинеарных векторов (см. рис. 18):

Рис. 18. На плоскости любой вектор для неколлинеарных векторов

Или можем переписать это же утверждение так: любому вектору можно поставить в соответствие пару чисел . Ничего не напоминает? Фактически мы доказали, что любая пара неколлинеарных векторов задает на плоскости систему координат (см. рис. 19).

Рис. 19. Любая пара неколлинеарных векторов задает на плоскости систему координат

Коэффициенты и – это координаты вектора в данной системе координат, или, по-другому, проекции вектора на соответствующие оси координат:

Пара векторов называется базисом данной системы координат (см. рис. 20).

Рис. 20. Пара векторов – базис данной системы координат

Что же тогда можно сказать о привычной для нас декартовой системе координат? Это частный случай такой системы координат, которая задается двумя единичными взаимно перпендикулярными векторами, которые обычно обозначают и (их еще называют ортами). Такой базис называется ортонормированным (это слово состоит из двух: «ортогональный» – векторы перпендикулярны и «нормированный» – их длины равны ) (см. рис. 21).

Рис. 21. Ортонормированный базис

Несложно увидеть, что для любого вектора пара чисел будет являться его координатами в привычном для нас понимании. Например:

В дальнейшем мы чаще всего будем пользоваться именно декартовой системой координат и не будем использовать векторы и , а, как и раньше, будем писать только координаты векторов.

Почему именно декартовой системой координат? Оказывается, основное ее преимущество – это прямой угол между базисными векторами. Этот факт существенно упрощает вычисления (в этом мы убедимся в конце сегодняшнего урока). Но зачем вообще нужно раскладывать векторы по двум базисным векторам?

При решении различных задач у нас может возникать большое количество векторов, а работать с или векторами довольно сложно и неудобно. В физике часто возникают ситуации, в которых нужно сложить силы, которые действуют на тело, чтобы получить математическую модель задачи (см. рис. 22):

Рис. 22. Чтобы получить математическую модель задачи в физике, нужно сложить силы, которые действуют на тело

Но направления этих сил могут быть самыми разными – работать со всеми сразу очень неудобно. Тем более что мы знаем: любой вектор можно выразить через два базисных. Получаем идею решения таких задач: ввести систему координат, выразить все силы через базисные векторы и свести математическую модель к системе, состоящей из двух уравнений (см. рис. 23).

Рис. 23. Ввели систему координат для решения задачи

Это стандартный способ решения задач – свести ее к эквивалентной задаче (или нескольким задачам), которые мы уже умеем решать. Например, движение мяча под углом к горизонту мы заменяем эквивалентной комбинацией двух движений: по вертикали – свободное падение, по горизонтали – равномерное движение (см. рис. 24).

Рис. 24. Движение мяча под углом к горизонту можно заменить комбинацией двух движений: по вертикали – свободное падение, по горизонтали – равномерное движение

Решение задачи по физике

Рассмотрим классическую задачу из курса физики: санки съезжают с горки (известен коэффициент трения, угол наклона горки, нужно найти ускорение) (см. рис. 25).

Рис. 25. Санки съезжают с горки, известен коэффициент трения, угол наклона горки

На рисунке изображены силы, действующие на санки – сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения . Мы знаем, что, по следствию из второго закона Ньютона:

С другой стороны, равнодействующая всех сил, которые действуют на тело:

Но как сложить три вектора, направленных в разные стороны? Не самая простая задача. Поэтому в физике обычно поступают так: вводят систему координат, рассматривают проекции сил на каждую из осей (их сумма с учетом знаков должна равняться соответствующей проекции равнодействующей силы) (см. рис. 26):

Рис. 26. Ввели систему координат для решения задачи

Почему так? Теперь мы знаем, почему так можно делать. Действительно, если и – единичные векторы осей и , то все векторы можно выразить через них (см. рис. 27).

Рис. 27. Векторы и – единичные векторы осей и

Т. к. разложение каждого вектора по двум неколлинеарным единственно, то, как мы уже доказывали, коэффициенты при и при соответственно справа и слева должны быть равны:

Сила трения направлена в отрицательном направлении – появляется знак «минус»:

Сила тяжести расписывается как сумма своих проекций на оси:

Вектор ускорения:

Подставим все в исходное уравнение:

Получаем уже знакомую нам систему уравнений:

Конечно, каждый раз выписывать разложение через базисные векторы при решении подобных задач – сложно и громоздко, поэтому их обычно опускают, записывая просто равенство проекций на соответствующие оси (именно так вы делаете на уроках физики).