Повторение
Вспомним определение: скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними: 
.
Как видим, это некоторая характеристика взаимного расположения векторов, потому что участвует угол между ними: 
.
Рассмотрим несколько частных случаев.
1) Ненулевые векторы 
и 
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: 
.
Доказать это несложно: чтобы произведение равнялось 
, один из множителей должен равняться . Так как векторы ненулевые, то нулю должен равняться косинус угла между ними:
.
2) Скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора:
Проекция вектора
Скалярное произведение векторов тесно связано с проекцией векторов друг на друга. Вспомним определение: проекция вектора 
на вектор 
(
) – это произведение длины вектора и косинуса угла между векторами.
Аналогично можно записать определение проекции вектора на вектор : 
.
Подчеркнем, что проекция – это число, знак которого зависит от знака (если 𝜑 – тупой угол, то – отрицательный и проекция – отрицательное число).
Скалярное произведение можно записать с помощью проекции векторов.
Отсюда можно выразить проекции 
и 
:
Таким образом, если мы научимся вычислять скалярное произведение, то сможем находить проекции векторов друг на друга.
Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам
Разложим вектор 
по двум неколлинеарным векторам и . Векторы и неколлинеарные, значит, между ними ненулевой угол (то есть они не лежат на одной прямой или на параллельных прямых).
Теорема о разложении вектора по двум неколлинеарным
Любой вектор разлагается по неколлинеарным векторам и следующим образом: 
, причём существует единственная такая пара чисел 
и 
(такое разложение единственное).
Доказательство
Если из точки 
опустить прямые, параллельные и , то получим вектор 
, который коллинеарен вектору , тогда 
, и вектор 
, который коллинеарен вектору , тогда 
(Рис. 1).
Рис. 1. Разложение вектора по двум неколлинеарным
По правилу параллелограмма или треугольника получаем следующее выражение:
Несложно доказать, что такое разложение единственно методом от противного. Пусть таких разложения два: 
. Тогда 
.
Тогда 
(если 
), получили, что 
, но векторы и – ненулевые и неколлинеарные, получили противоречие. Если же 
, то 
. Так как вектор не может быть нулевым, то 
. Как видим, в любом случае существует единственное разложение вектора по двум неколлинеарным.
В задачах мы будем использовать доказанную теорему следующим образом:
1) выбираем удобную пару векторов и (
);
2) выражаем через них искомые (или другие нужные нам) векторы;
3) используем формулу и получаем ответ.
Решение задач
В правильном треугольнике 
сторона равна 
, точка 
– середина отрезка 
, точка 
– середина отрезка 
(Рис. 2).
Рис. 2. Рисунок к условию задачи
Найти:
1) Выразить вектор 
через векторы 
и 
.
2) 
– ?
3) 
– ?
4) 
– ?
5) проекцию вектора на вектор 
(
) и проекцию вектора на вектор (
).
Задача 1
Дано:
Выразить вектор через векторы и .
Решение
Для начала выразим вектор 
через векторы и 
.
Векторы 
и 
равны по длине и противоположны по направлению. Из этого следует, что 
.
Ответ:
.
Задача 2
Дано:
.
Найти: – ?
Решение
Вспомним, что . Найдем скалярное произведение векторов и :
Ответ:
.
Задача 3
Дано:
.
Найти: – ?
Решение
Ответ:
.
Задача 4
Дано:
.
Найти: – ?
Решение
Можно сделать вывод, что угол 
– тупой, поскольку 
.
Ответ: 
.
Задача 5
Дано:.
Найти: проекцию вектора на вектор () и проекцию вектора на вектор ().
Решение
Ответ:
.
Список рекомендованной литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Домашнее задание
- Дано:
. Найти: 
. - Дано:
. Какой из векторов перпендикулярен вектору ? - и – два ненулевых вектора. Найдите угол между ними, если:
а) 
б) 
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
