Задача 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать:

Доказательство:

Пусть

тогда

Умножим скалярно эти равенства:

и

Задача 2. В

Найти длину медианы AM.

Решение:

1. Пусть , тогда

2.

Ответ:

Задача 3. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Дано: ABCD – параллелограмм.

Доказать:

Доказательство:

Пусть , тогда

Переходя к длинам отрезков

Задача 4. Доказать перпендикулярность векторов:

1. и ;

2. и .

Доказательство.

1.

2.

Задача 5. При каком значении t перпендикулярны векторы:

1. и ;

2. и

Решение.

1.

Ответ: при

2.

Ответ: при

Задача 6. Дано:

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство. Чтобы доказать, что ABCD – прямоугольник, нужно доказать, что ABCD – параллелограмм и .

1.

ABCD – параллелограмм;

2. ABCD – прямоугольник.

Задача 7.

Дано:

Найти: Значение x, при котором векторы и перпендикулярны.

Решение:

1.

2.

Ответ: