Решение задач по теме раздела. Продолжение 2

Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов

Урок: Решение задач по теме раздела. Продолжение 2

1. Тема урока, введение

Тема урока: «Решение задач по теме раздела. Продолжение 2». Здесь мы кратко повторим теорию и решим задачи на скалярное произведение векторов. В число задач включены доказательства некоторых известных теорем с помощью векторов.

2. Напоминание основных формул, связанных со скалярным произведением векторов

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам  и .

пара чисел x, y – единственна.

и по правилу параллелограмма  

Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам можно использовать в решении задач следующим образом:

1. выбрать удобную пару неколлинеарных векторов  и ;

2. выразить через них искомые (или иные промежуточные) векторы;

3. использовать формулы и получить ответ.

Основные формулы:

Основные формулы в координатах.

 

;

3. Решение задач на скалярное произведение векторов

Задача 1. Доказать, что диагонали ромба перпендикулярны.

Дано: ABCD – ромб.

Доказать:

Доказательство:

Пусть

тогда  

Умножим скалярно эти равенства:

  и 

Задача 2. В

Найти длину медианы AM.

Решение:

1.      Пусть   , тогда

2.      

Ответ:

Задача 3. Доказать, что в параллелограмме сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех его сторон.

Дано: ABCD –­­ параллелограмм.

Доказать:

Доказательство:

Пусть  , тогда

Переходя к длинам отрезков

Задача 4. Доказать перпендикулярность векторов:

1.          и  ;

2.         и  .

Доказательство.

1.          

2.         

Задача 5. При каком значении t перпендикулярны векторы:

1.          и  ;

2.          и 

Решение.

1.          

Ответ: при

2.          

Ответ: при

Задача 6. Дано:

Доказать: ABCD – прямоугольник.

Доказательство. Чтобы доказать, что ABCD – прямоугольник, нужно доказать, что ABCD – параллелограмм и  .

1.       

ABCD – параллелограмм;

2.       ABCD – прямоугольник.

 

Задача 7.

Дано:

Найти: Значение  x, при котором векторы    и    перпендикулярны.

Решение:

1.   

2.    

     

Ответ:

4. Заключение

Итак, мы повторили теорию и решили серию задач на скалярное произведение векторов. На следующем уроке мы рассмотрим правильные многоугольники.

 

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. E-science.ru (Источник).
2. Mathematics.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1052, 1053, 1069.