03. Скалярное произведение в координатах. Свойство скалярного произведения

Тема урока, введение

Тема урока: «Скалярное произведение векторов в координатах. Свойства скалярного произведения». На этом уроке мы выведем формулу вычисления скалярного произведения через координаты векторов, рассмотрим свойства скалярного произведения и решим задачу на использование свойств скалярного произведения векторов.

Теорема о скалярном произведении векторов в координатах

Сформулируем и докажем центральную теорему урока.

Теорема. Скалярное произведение векторов и выражается формулой .

Доказательство.

1. При или теорема очевидна.

2. Пусть и – ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов

Перейдем в этой формуле к координатам.

Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.

3. Пусть .

Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.

Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим

4. Аналогично рассмотрим случай .

Вывод: для всех векторов и .

Следствия из теоремы

Сформулируем следствия из доказанной теоремы.

Следствие 1. Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда  .

Действительно, .

Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой:

Действительно,

Свойства скалярного произведения векторов

Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.

Для любых векторов и любого числа k справедливы соотношения:

1. , причем при .

   Доказательство.

   .

   Но .

2.  (переместительный закон).

   Доказательство (из определения).

3. (распределительный закон).

   Доказательство.

   Для доказательства используем метод координат.

   , тогда

4. (сочетательный закон).

   Доказательство.

   , значит,

   Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например, .

Задача на использование свойств скалярного произведения векторов

Задача.

Вычислить скалярное произведение векторов  и , если

Решение.

.

По свойствам скалярного произведения

Ответ: 13.

Заключение

Итак, мы вывели формулу вычисления скалярного произведения векторов через координаты векторов, доказали свойства скалярного произведения и решили задачу на вычисление скалярного произведения с использованием свойств скалярного произведения.

На следующем уроке мы рассмотрим решение задач на вычисление скалярного произведения.

Список литературы

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.

2. Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.

3. Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Mathematics.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1044, 1048.