Тема: Соотношения между сторонами и углами треугольника. Раздел 3. Скалярное произведение векторов
Урок: Скалярное произведение векторов
1. Тема урока, введение
Тема урока: «Скалярное произведение векторов». На этом уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов и решим задачи на вычисление скалярного произведения.
2. Напоминание основных сведений о векторах
Напомним кратко основные сведения, которые мы знаем о векторах.
1. Определение. Вектор – это направленный отрезок, обозначение 
2. Операции с векторами.
а) Сложение векторов.
Правило параллелограмма.
Правило треугольника.
б) Умножение вектора на число.
3. Угол между векторами.
4. Скалярное произведение векторов. 
Скалярное произведение векторов – это произведение их длин на косинус угла между ними.
Заметим, что 
– это проекция вектора 
на направление вектора 
. Из определения следует, что скалярное произведение векторов – это число, характеризующее взаимное расположение векторов.
3. Анализ формулы скалярного произведения векторов
Рассмотрим некоторые частные случаи взаимного расположения векторов.
1. Перпендикулярные векторы.
Если 
, то 
и 
.
Сила в направлении 
не совершает никакой работы, скалярное произведение 
Обратно: если 
, то в силу равенства 
.
Получаем следующий важный вывод: Скалярное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны.
2. Коллинеарные векторы.
Рассмотрим коллинеарные векторы: они могут быть сонаправлены или противоположно направлены.
а) Сонаправленные векторы.
, поэтому 
Таким образом, 
б) Противоположно направленные векторы.
, поэтому 
Таким образом, 
3. Равные векторы. Рассмотрим случай, когда 
Определение: Скалярное произведение 
называется скалярным квадратом вектора и обозначается 
, 
. Свойство: Скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, 
.
4. Решение задач на вычисление скалярного произведения векторов
Следует научиться вычислять скалярное произведение векторов не только в частных, но и в общих случаях. Рассмотрим следующую задачу.
Задача. Вычислить скалярное произведение векторов и , если 
, угол между ними равен:
а) 
б) 
в) 
а) Дано: 
Найти: 
Решение: 
Ответ: 
б) Дано:
Найти: Решение: 
или 
Ответ: 0.
в) Дано:
Найти:
Решение:
Ответ: 
5. Вычисление скалярного произведения векторов в геометрических задачах
Векторы часто присутствуют и в различных геометрических фигурах. Рассмотрим следующую задачу.
Задача. В равностороннем треугольнике ABC со стороной a проведена высота BD. Вычислить скалярное произведение векторов:
а) 
б) 
в) 
г) 
Решение:
а) 
Ответ: 
б) Для определения угла между векторами отложим вектор 
от точки 
. Ответ: 
.
в) 
Ответ: 0.
г) 
Ответ: 
6. Вычисление скалярного произведения векторов в физической задаче
Задача. К одной и той же точке приложены две силы 
и 
, действующие под углом 
друг к другу, причем 
. Найти величину равнодействующей силы 
.
Дано: 
Найти: 
.
Решение: 
Ответ:
7. Заключение
Итак, мы рассмотрели разные задачи на вычисление скалярного произведения векторов. На следующем уроке мы рассмотрим скалярное произведение векторов в координатах.
Список литературы
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2010.
- Фарков А. В. Тесты по геометрии: 9 класс. К учебнику Л. С. Атанасяна и др. – М.: Экзамен, 2010.
- Погорелов А. В. Геометрия. Уч. для 7–11 кл. общеобр. учрежд. – М.: Просвещение, 1995.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы. №№1041, 1042.
