Абонемент оплачен

Абонемент оплачен

Абонемент оплачен

Классы
Предметы
Мой профиль

Часть 1. Натуральные числа. Целые числа

Что такое числа?

Для того чтобы эффективно выполнять любую работу, нужны инструменты, чтобы копать, нужна лопата или экскаватор; чтобы думать, нужны слова. Числа – это инструменты, позволяющие работать с количествами.

Кажется, что все мы знаем, что такое число: 1, 2, 3… Но давайте поговорим о числах, как об инструментах.

Возьмем три предмета: яблоко, воздушный шар, Землю (Рис. 1). Что у них общего? Форма – это все шары.

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Возьмем три других предмета (Рис. 2). Что у них общего? Цвет – все они синие.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Возьмем теперь три множества: три автомобиля, три яблока, три карандаша (Рис. 3). Что у них общего? Количество – их по три.

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Мы можем на каждую машину положить по яблоку, а в каждое яблоко воткнуть по карандашу (Рис. 4). Общее свойство этих множеств – количество элементов.

Рис. 4. Сравнение множеств

Однако для решения задач мало натуральных чисел, поэтому ввели еще и отрицательные, рациональные, иррациональные и др. Математика (особенно та её часть, которая изучается в школе) – это своеобразный механизм по переработке знаков.

Технология работы с числами

Возьмем, например, две кучи палочек, в одной семнадцать штук, а в другой – двадцать пять (Рис. 5). Как узнать, сколько всего палочек в обеих кучах?

Рис. 5. Иллюстрация к примеру

Если нет никакого механизма, то непонятно: можно только сложить палочки в одну кучу и пересчитать.

А вот если количества палочек записать в привычной нам десятичной системе ( и ), то можно использовать механизмы для сложения. Например, мы умеем складывать числа в столбик (Рис. 6): .

Рис. 6. Сложение  в столбик

Также мы не сможем сложить числа, записанные так: триста семьдесят четыре плюс четыреста восемьдесят пять. А вот если записать числа в десятичной системе, то для сложения есть алгоритм – сложение в столбик (Рис. 7): .

Рис. 7. Сложение  в столбик

Если есть автомобиль, то стоит построить гладкую дорогу, вместе они эффективны. Аналогично: если есть самолет, то нужен аэродром. То есть сам механизм и окружающая инфраструктура связаны – по отдельности они гораздо менее эффективны.

В данном случае есть инструмент – числа, записываемые в позиционной системе, и для них придумана инфраструктура: алгоритмы для выполнения различных действий, например, сложения в столбик.

Числа, записанные в десятичной позиционной системе, вытеснили другие (римские и др.) именно потому, что для работы с ними придумали эффективные и простые алгоритмы.

Рассмотрим подробнее десятичную позиционную систему. Есть две основные идеи, которые лежат в её основе (благодаря которым она и получила своё название).

1. Десятичность: мы считаем группами, а именно десятками.

2. Позиционность: вклад цифры в число зависит от ее позиции. Например, , : числа разные, хотя состоят из одинаковых цифр.

Эти две идеи помогли создать удобную систему, в ней легко выполнять действия и записывать числа, так как у нас есть ограниченный набор символов (в данном случае  цифр) для записи бесконечного количества чисел.

Подчеркнем важность технологии на таком примере. Предположим, что нужно перенести тяжелый груз. Если использовать ручной труд, то все будет зависеть от того, насколько сильный человек несёт груз: один справится, другой – нет.

Изобретение технологии (например, автомобиля, в котором можно перевезти этот груз) выравнивает возможности людей: за рулём может сидеть хрупкая девушка или тяжелоатлет, но оба они смогут одинаково эффективно справиться с задачей перемещения груза. То есть технологии можно научить любого, а не только специалиста.

Сложение и умножение в столбик – тоже технология. Работа с числами, записанными в римской системе счисления, – сложная задача, это умели делать только специально обученные люди. Складывать и умножать числа в десятичной системе умеет любой четвероклассник.

Отрицательные числа

Как мы уже говорили, люди изобрели разные числа, и все они нужны. Следующим (после натуральных) важным изобретением являются отрицательные числа. С помощью отрицательных чисел считать стало проще. Как так получилось?

Если мы из большего отнимаем меньшее, то потребности в отрицательных числах нет: понятно, что в большем числе содержится меньшее. Но оказалось, что стоит ввести отрицательные числа как отдельный объект. Его нельзя увидеть, потрогать, но он полезен.

Рассмотрим такой пример:  Можно делать вычисления в другом порядке: , тогда не возникает никакой проблемы, нам достаточно натуральных чисел.

Но иногда бывает необходимость выполнять действия последовательно. Если у нас на счету заканчиваются деньги, то нам дают кредит. Пусть у нас было  рублей, а  мы потратили на разговоры. На счете не хватает  рублей, это удобно записать с помощью знака минус, так как если мы их вернем, то на счету будет : . Эта идея лежит в основе изобретения такого инструмента, как отрицательные числа.

В жизни мы часто работаем с понятиями, которые нельзя потрогать: радость, дружба и т.д. Но это не мешает нам их понимать и анализировать. Можно сказать, что это просто придуманные вещи. Действительно так и есть, но они помогают людям что-то делать. Так же автомобиль придуман человеком, но он помогает нам перемещаться. Числа тоже придуманы человеком, но они помогают решать задачи.

Возьмем такой объект, как часы (Рис. 8). Если оттуда вытащить деталь, то не ясно, что это и зачем нужно. Без часов эта деталь не существует. Так и отрицательное число существует внутри математики.

Рис. 8. Часы

Часто учителя стараются указать, что такое отрицательное число. Приводят в пример отрицательную температуру (Рис. 9).

Рис. 9. Отрицательная температура

Но это лишь название, обозначение, а не само число. Можно было ввести другую шкалу, где такая же температура будет, например, положительной. В частности, отрицательные температуры по шкале Цельсия в шкале Кельвина выражаются положительными числами: .

То есть отрицательного количества в природе не существует. Однако числа используют не только для выражения количества. Вспомним основные функции числа.

 

Функции числа

  1. Количество. Мы говорим: « яблок», так с помощью чисел мы обозначаем количество.
  2. Порядок. Мы говорим: «Первый этаж, второй этаж…», так с помощью чисел мы обозначаем порядок.
  3. Имя. Например, номер мобильного телефона или номер машины. Числа дают бесконечную систему имен.

Итак, мы поговорили про натуральные и целые числа. Число – это удобный инструмент, который можно использовать для решения различных задач. Конечно, для тех кто работает внутри математики, числа являются объектами. Как для тех кто делает плоскогубцы, они также являются объектами, а не инструментами. Мы же будем рассматривать числа как инструмент, который позволяет нам думать и работать с количествами.

 

Ссылки на материалы InternetUrok.ru

  1. Количественный счет предметов
  2. Порядковый счет предметов
  3. Множество. Элемент множества
  4. Равные множества
  5. Образование чисел второго десятка. Двузначные числа от 10 до 20
  6. Нумерация
  7. Десяток. Устная нумерация в пределах 100. Разрядный состав
  8. Однозначные и двузначные числа
  9. Письменная нумерация чисел от 11 до 100
  10. Устная нумерация
  11. Письменная нумерация
  12. Разряды счётных единиц
  13. Натуральная последовательность трехзначных чисел
  14. Обозначение чисел римскими цифрами
  15. Алгоритм письменного сложения и вычитания
  16. Нумерация. Счёт предметов. Разряды
  17. Приемы письменного умножения трехзначных чисел на однозначные
  18. Письменные приёмы сложения и вычитания многозначных чисел. Перенос известного алгоритма на более сложный уровень
  19. Письменное умножение на трёхзначное число
  20. Сложение натуральных чисел
  21. Вычитание натуральных чисел
  22. Умножение натуральных чисел и его свойства
  23. Деление. Деление с остатком
  24. Позиционная система счисления
  25. Понятие числа (Побединский Д.М.)
  26. Понятие числа (Вольфсон Г.И.)
  27. Отрицательные числа. Противоположные числа (Слупко М.В.)
  28. Отрицательные числа (Вольфсон Г.И.)