Классы
Предметы
Мой профиль

Упрощение выражений

Упрощение выражений

Сегодня мы поговорим о часто встречающейся в школьных учебниках задаче – упростить выражение. Сначала научимся отличать сложное выражение от простого. Иногда это явно видно. Например, рассмотрим тождество: .

В данном примере очевидно, что выражение в правой части проще, чем выражение в левой. Но иногда понять это сразу сложно. Упростить выражение – это значит уменьшить количество операций, которые необходимо сделать, чтобы вычислить его значение при конкретных значениях переменных. Например, возьмем формулы сокращенного умножения: . Для вычисления выражения в левой части нужно выполнить  операций: , а для вычисления значения выражения в правой части –  операции (вычитание и возведение в квадрат). То есть мы явно упростили выражение: вместо  операций нужно сделать . Кажется, что разница между  и  небольшая, но в зависимости от значений переменных вычисления могут значительно усложниться при подсчете вручную. Кроме того, если речь идет, например, о компьютерных вычислениях и нам нужно вычислить миллион раз значение выражения при различных значениях переменных , то разница будет в  выполненных операций.

Сложность и простота

Если мы понимаем закон или формулу, то для нас это просто. Рассмотрим ряд чисел: , , , , , , , , , , ,… Сложно ли предсказать в этом ряду следующее число? Некоторые могут сказать, что это невозможно, но на самом деле это числа Фибоначчи: такая последовательность задается формулой . Зная формулу, предсказать следующее число не составит труда, нужно просто сложить два предыдущих.

Так происходит всегда: когда мы узнаем закон, то, что казалось пугающим, становится понятным и упрощенным. Рассмотрим еще один пример. Есть такая задача: какой номер у парковочного места, в котором припаркован автомобиль (рис. 1)? Дайте ответ в течение  секунд.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

Кажется, что записан странный набор чисел: , , , , …, . Но если понять, что на эти номера мы смотрим сверху вниз, то все становится просто. На самом деле это: , , , , , . Тогда номер очевиден – .

Еще один пример, теория эволюции Ч. Дарвина (рис.2):

Рис. 2. Теория эволюции Ч. Дарвина

До него Линней занимался классификацией (рис. 3):

Рис. 3. Классификация Линнея

Главным достижением биологии является упрощение. Есть царства, типы, классы и т.д. И каждый живой организм принадлежит какой-то ветке на этом дереве. Но классификация не внесла ясность, а вот когда возникла теория Дарвина, тогда стало понятно, почему такое многообразие есть и как оно возникает. Еще один пример из географии. Существует теория – карта. Без нее тяжело найти путь из одного места в другое, но с ней это становится просто.

Важно отметить, что когда мы говорим о порядке, то подразумеваем его субъективность. Если, например, человек не знает чисел, то таблички на домах для него не вносят никакого порядка, увидев знаки , , он не сможет понять, где находится дом .

В математике то, что упрощает вычисления, – это таблица умножения и алгоритм умножения в столбик. А само умножение – это упрощение многократного сложения: . А степень – это упрощение многократного умножения: . Зачем мы привели столько примеров из разных областей? Чтобы показать, что любая теория – это и есть упрощение.

Если рассмотреть мозг как механизм для выживания, то мозг все время создает теории. Так как помнить все невозможно, нужно что-то забывать. Если мы будем помнить все, то в каждый момент нам будет сложно сфокусироваться на происходящем. Но, с другой стороны, нам нужно помнить то, что было, чтобы использовать предыдущий опыт. Получилась противоречивая задача: нужно и забывать, и помнить. Поэтому выход – создание теорий, то есть помнить только существенное. Для того чтобы понять, что такое, например, стол, достаточно показать несколько примеров. Если мы покажем два стола и скажем, что и то, и то – стол, то возникнет идея стола. Или когда ребенок показывает на лужу и говорит, что это вода, для него это возникновение идеи (теории) воды, он понял, что и в луже вода, и в стакане вода, и из-под крана течет тоже вода.

Сложность определения

Иногда сформулировать какое-то определение понятия сложнее, чем научиться определять, соответствует ли понятию объект. Если попробовать точно сформулировать ребенку, кто тетя, а кто дядя, это вызовет затруднение. При этом ребенок на основе жизненного опыта строит теорию, помогающую ему практически безошибочно отличать тетю от дяди.

В математике мы тоже часто сталкиваемся с объектами, которые мы не определяем. Например, множество (точка, линия и др.), у этого понятия нет определения, но мы все понимаем, что это. Если говорить про множества, то любое множество – это тоже теория. Например, синяя рубашка и синий автомобиль (рис. 1), что у них общего?

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

У них общее свойство, они синие. То есть не только при помощи свойства можно определить множество, но и наоборот. Например, Хлестаков и городничий из комедии Н.В. Гоголя «Ревизор» (рис. 2, 3). С одной стороны, совершенно разные люди: один – дородный, опытный, сильный мужчина, второй – хлюпенький мальчишка. При помощи вопроса «Что у них общего?» можно определить, что такое коррупция. На коррупцию же не укажешь пальцем, а на них можно, оба берут деньги, пользуясь своей властью, что и есть коррупция.

Рис. 2. Антон Антонович Сквозник-Дмухановский, городничий

Рис. 3. Иван Александрович Хлестаков

Два многочлена равны, так как мы имеем некую теорию и знаем, как их преобразовать: , так как . Когда речь идет о выражениях, то упрощение – это уменьшение количества действий. В общем, для каждого понятно, что значит упростить. Это значит убрать все, что можно, не изменив суть изначального объекта. Хорошим примером полезного упрощения в математике также является задача Эйлера о 7 мостах.

Задача Эйлера

Данная задача родилась в городе Калининграде (ранее – Кёнигсберг). Гуляя, жители придумали такую задачу: vожно ли обойти все мосты, при этом не проходя ни по одному мосту дважды (не повторяясь) (рис. 1)?

Рис. 1. Иллюстрация к задаче Эйлера

Решая эту задачу, Эйлер предложил следующее: считать части города точками. Почему так можно сделать? Представим, что все части города мы начнем уменьшать, от этого задача не поменяется, ведь размеры частей города для решения задачи не важны. Значит, как бы мы ни уменьшали их, задача остается той же. То есть можно свести части города к точкам, а мосты – аналогично к линиям, соединяющим эти точки. Тогда получим следующий чертеж (рис. 2).

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Подобные чертежи называют графами. У него  вершины и  ребер. Эйлер получил решение для данной задачи и обобщил его для произвольного графа. Один из пунктов, которые он получил состоит в следующем. Когда мы говорим, что можно обойти все, проходя ровно один раз, то задачу можно переформулировать так: граф можно нарисовать, не отрывая руки от бумаги, причём каждую линию – ровно один раз. Эйлер доказал, что если в графе есть больше двух нечетных вершин (вершин, из которых выходит нечетное количество линий), то такая задача неразрешима. В нашей задаче все  вершины нечётные, значит, ответ на вопрос задачи: обойти таким образом мосты нельзя.

Представим, что у нас есть грузовик и нам нужно развозить что-то по городам, которые соединены дорогами. Естественно, что в таком случае не хочется  раза заезжать в один и тот же город. Пользуясь доказанным фактом, мы сможем узнать, когда это невозможно. Теория графов имеет большое применение, например, в информатике (нейронные сети и др.).


 

 

Ссылки на материалы сайта InternetUrok

Математика 2 класс:

  1. Порядок действий в выражениях со скобками
  2. Числовые выражения. Сравнение числовых выражений
  3. Буквенные выражения
  4. Составление выражений на умножение и нахождение их значений

Математика 3 класс:

  1. Выражение с переменной

Математика 4 класс:

  1. Выражение и его значение. Порядок выполнения действий
  2. Выражение. Равенство. Неравенство. Уравнение

Математика 5 класс:

  1. Числовые и буквенные выражения
  2. Упрощение выражений
  3. Математическая запись
  4. Формулы

Математика 6 класс:

  1. Дробные выражения
  2. Раскрытие скобок
  3. Приведение подобных слагаемых (Слупко М.В.)
  4. Приведение подобных слагаемых (Вольфсон Г.И.)
  5. Коэффициент

Алгебра 7 класс:

  1. Числовые и алгебраические выражения (В.А. Тарасов)
  2. Числовые выражения; действия с натуральными числами (В.А. Тарасов)
  3. Числовые выражения; действия с дробными числами (В.А. Тарасов)
  4. Математический язык
  5. Математическая модель
  6. Числовые и алгебраические выражения в математических моделях и задачах
  7. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена
  8. Приведение одночлена к стандартному виду; задачи
  9. Сложение и вычитание одночленов
  10. Задачи на сложение и вычитание одночленов
  11. Умножение одночленов, возведение в натуральную степень
  12. Деление одночлена на одночлен
  13. Решение задач по теме «Одночлены. Арифметические операции над одночленами»
  14. Степень как частный случай многочлена
  15. Приведение многочленов к стандартному виду. Типовые задачи
  16. Сложение и вычитание многочленов. Типовые задачи
  17. Умножение многочлена на одночлен. Типовые задачи
  18. Умножение двучленов. Типовые задачи
  19. Умножение трёхчленов. Типовые задачи
  20. Умножение многочлена на многочлен
  21. Умножение многочленов в текстовых задачах
  22. Умножение многочленов в задачах с элементами геометрии
  23. Формулы сокращённого умножения. Квадрат суммы и квадрат разности
  24. Формулы сокращённого умножения. Разность квадратов
  25. Формулы сокращённого умножения. Разность кубов и сумма кубов
  26. Совместное применение формул сокращённого умножения
  27. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.1
  28. Формулы сокращённого умножения в задачах повышенной сложности. Ч.2
  29. Деление многочлена на одночлен
  30. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно
  31. Разложение многочленов на множители. Вынесение общего множителя за скобки
  32. Разложение многочленов на множители. Способ группировки
  33. Способ группировки в более сложных задачах и уравнениях
  34. Разложение многочленов на множители в комбинации с формулами сокращённого умножения
  35. Разложение многочленов на множители. Метод выделения полного квадрата. Комбинация методов
  36. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей
  37. Алгебраические дроби. Сокращение алгебраических дробей в более сложных случаях
  38. Тождества
  39. Числовые и алгебраические выражения, математические модели
  40. Степень с натуральным показателем и её свойства
  41. Одночлены
  42. Многочлены
  43. Формулы сокращённого умножения
  44. Разложение многочленов на множители, сокращение дробей

Алгебра 8 класс:

  1. Преобразование рациональных выражений
  2. Преобразование более сложных рациональных выражений
  3. Преобразование выражений с корнями (вынесение множителя из-под знака корня)
  4. Преобразование выражений с корнями (внесение множителя под знак корня)
  5. Преобразование, упрощение выражений с корнями
  6. Преобразование и упрощение более сложных выражений с корнями
  7. Разложение квадратного трёхчлена на множители

Алгебра 10 класс:

  1. Синус и косинус суммы аргументов
  2. Синус и косинус разности аргументов
  3. Решение задач на косинус и синус разности аргументов
  4. Тангенс суммы и разности аргументов
  5. Формулы двойного аргумента
  6. Формулы понижения степени
  7. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность синусов)
  8. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (сумма и разность косинусов)
  9. Преобразование сумм тригонометрических функций в произведение (задачи)
  10. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму
  11. Преобразование произведений тригонометрических функций в сумму (продолжение)
  12. Преобразование выражения a⋅sin x+b⋅cos x к виду c⋅sin (x+t)

Алгебра 11 класс:

  1. Преобразование выражений, содержащих радикалы
  2. Преобразование выражений, содержащих радикалы; задачи
  3. Свойства логарифмов. Логарифм произведения и частного
  4. Свойства логарифмов. Логарифм степени
  5. Свойства логарифмов, переход к новому основанию, решение более сложных задач
  6. Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Теория
  7. Урок 3. Логарифм. Свойства логарифмов. Выражения с логарифмами. Практика
  8. Урок 8. Тригонометрические формулы. Теория
  9. Урок 8. Тригонометрические формулы. Практика