Классы
Предметы

Часть 2. Сложность и беспорядок

Виды порядка

Мы продолжаем обсуждать тему порядка. Существуют разные виды порядка. Например, на рис. 1 показаны два различных способа задания точки, оба из которых являются упорядоченными. Но для случая а необходимо знать только одну координату, а для б – две. Понятно, что определить положение точки А в первом случае проще, чем во втором.

 

Рис. 1а. Одномерный способ задания положения точки

Рис. 1б. Двумерный способ задания положения точки

Числа Фибоначчи

Чтобы определить, какой из объектов более сложный, необходимо учитывать, какой алгоритм используется для задания того или иного объекта.

Например, числа Фибоначчи (см. рис. 2). Если просто подряд перечислять числа , то кажется, что это бесконечная последовательность и у неё в каком-то смысле бесконечная сложность. Если же задать последовательность формулой , то вся сложность последовательности будет заключена в этой формуле.

Рис. 2. Последовательность чисел Фибоначчи

Таким образом, сложностью можно считать длину описания алгоритма задания объекта. В зависимости от сложности задания, от того, каким образом можно задать то или иное действие, мы определяем сложность объекта или предмета, о котором говорим.

Фракталы

Ярким примером являются фракталы. Один из самых простых – кривая Коха (см. рис. 3), которая получается образованием «горбика» на прямой и бесконечным повторением данной операции. Спустя несколько шагов мы получаем, на первый взгляд, очень сложную фигуру, хотя, на самом деле, мы повторяли одну и ту же операцию, которая на первом шаге казалась очень простой.

Рис. 3. Кривая Коха

Рис. 4. Примеры фракталов

В данных случаях мы говорим о разных сложностях: сложности восприятия и сложности получения (задания) картинки (фрактала).

Морозные узоры

Ещё один пример из жизни – это морозные узоры. Кристаллики воды, соединяясь определённым образом, образуют сложные узоры, причём на каждом окне они разные (см. рис. 5).

Рис. 5. Морозные узоры

Важно понимать, что есть алгоритм, т. е. то, как это получается, и внешние данные. В данном примере внешним параметром является стекло. Оно имеет какие-то неровности, пылинки, может быть разной толщины и т. д. Когда молекулы воды взаимодействуют друг с другом, они образуют собой плоскую структуру, которая встречает на пути все эти шероховатости и помехи и, обходя их, образует некий узор.

Аналогичным примером служат деревья (см. рис. 6). Изначально зёрна у всех примерно одинаковые, но каждое дерево уникально. На самом деле, алгоритм роста изначально заложен в зерне. Конечно, там не записано, на каком уровне у дерева появится ответвление, все эти параметры формируются под воздействием внешней среды.

Так же, как и мы сами. Алгоритм поведения человека закладывается в детстве. Характер же формируется под воздействием окружающего мира и других людей.

Рис. 6. Иллюстрация примера с деревьями

Интересно, что фракталы встречаются и в живой природе: морозные рисунки, листья папоротника, организм человека (см. рис. 7). Кровеносная система и бронхи – это тоже самовоспроизводимые, самоподобные объекты.

Рис. 7. Примеры фракталов в реальной жизни

Часто сложность, которую мы видим, является кажущейся. В то время как алгоритмы воспроизведения таких структур просты.

Орнамент

Ещё одним примером фракталов являются орнаменты, которые мы используем в искусстве. Орнамент – это повторение одного и того же исходного элемента (см. рис. 8). Такое повторение может быть линейным (симметрия сдвига), а может быть сложным (например, симметрия относительно плоскости).

Рис. 8. Орнамент – это повторение одного и того же элемента

Эта система применяется в калейдоскопе (см. рис. 9), где воспроизводятся сложные, на первый взгляд, картинки (см. рис. 10), хотя алгоритм их производства достаточно простой.

Рис. 9. Калейдоскоп

Рис. 10. Рисунки в калейдоскопе

Таким образом, полезно думать, что в природе существует много сложного, но и часто то, что мы воспринимаем как сложное, – по своей сути просто. Собственно, наука занимается тем, что определяет алгоритмы, которые позволяют сложный объект сделать простым.

Литературный пример

При чтении детектива, владея исходными данными, кажется трудно определить, как произошло то или иное событие. Однако, когда, например, объясняет свои рассуждения Шерлок Холмс, удивляешься, как сам не догадался до таких очевидных вещей.

Таким образом, простота или сложность в большой степени зависят от нашего знания. Есть порядок, есть беспорядок, деятельность человека направлена на понимание того, где беспорядок действительно таковым является, а где внутри лежит какой-то закон (формула), и, на самом деле, беспорядок не является сложным.

Из порядка естественным образом может возникнуть беспорядок. Например, не делая уборку, оставляя что-то на долгое время и т. д., мы способствуем возникновению беспорядка. Примером явного беспорядка является образование мусора (см. рис. 11).

Рис. 11. Мусор как пример явного беспорядка

Бывает в природе и наоборот, когда из хаоса возникает порядок.

Ячейки Бенара

Слой жидкости нагревают с одной стороны. Иногда, за счёт того что диффузия (распространение тепла) не успевает прогреть слой жидкости, возникают два процесса. С одной стороны, подогретая жидкость движется наверх, с другой – она вытесняет холодную воду. Поскольку данный процесс неравномерный, то возникают некие «шестерёнки» (два процесса цепляются друг за друга) и таким образом возникают упорядоченные структуры (см. рис. 12).

Рис. 12. Ячейки Бенара

Казалось бы, будет полный беспорядок, так как нагревают равномерно снизу, но образуется упорядоченная структура в виде правильных шестигранников или цилиндрических валов.

Похожий процесс можно наблюдать, если размешать какао. Спустя некоторое время можно увидеть тёмные и светлые полоски, по которым чистая вода поднимается, а какао оседает в центре. Данное явление происходит не из-за нагрева, а под действием двух противоположно направленных процессов – действия силы тяжести и охлаждения сверху.

В природе тоже встречаются примеры таких ячеек. Один из них – это застывание вулканических пород (см. рис. 13).

Рис. 13. При застывании вулканических пород образуются правильные шестигранники

Реакция Белоусова-Жаботинского

Ещё один пример, который можно привести, – это реакция Белоусова-Жаботинского в химии. При определённых условиях возникает зацикливание и изменение  параметров: температуры, цвета, концентрации в химической реакции. На рис. 14 представлена последовательность прохождения реакции. Видно, что цвет изменяется определённым образом, а затем аналогично в обратную сторону. Этот процесс повторяется.

Рис. 14. Изменение цвета в реакции Белоусова-Жаботинского

В данной реакции происходят также два хаотических процесса, поэтому результат ожидается тоже хаотическим. Однако в результате они друг друга компенсируют и мы получаем некий цикл.

Казалось бы, что в жизни самопроизвольно происходит только разрушение, но, на самом деле, созидание или организация тоже возможны.

Такомский мост

В незамкнутую систему поступает энергия, и из-за этого в системе начинают возникать некоторые явления. Например, разрушение Такомского моста (см. рис. 15, 16). На него просто равномерно дул ветер, однако возникли колебания, и мост разрушился. В технике данное явление называется флаттером – сочетание самовозбуждающихся незатухающих изгибающих и крутящих автоколебаний.

Рис. 15. Разрушение Такомского моста

Рис. 16. Разрушение Такомского моста

Еще один пример, с которым знаком почти каждый, – когда выхлопная труба создаёт звуки, похожие на щелчки. Если случайно локально (из-за флуктуации) повысилась где-то температура, то догорание частиц, которые вылетели из двигателя, происходит внутри выхлопной трубы. Увеличивается температура и, соответственно, давление, происходит догорание соседних частиц, образуется волна и создаётся колебательный режим, из-за которого мы слышим подряд идущие хлопки.

Заключение

Мы сегодня говорили о порядке, беспорядке и сложности. Как эти понятия связаны, и что даёт нам математика и другие науки в рассуждении об этих вещах. Как можно описать некий беспорядок до того, как мы узнали алгоритм, по которому этот беспорядок появляется. Как беспорядок становится порядком (сами упорядочиваем или узнаем закон, по которому образована структура) и т. д.