02. Общие сведения о системах счисления

Цифра, система счисления, алфавит системы счисления

Во всех науках и жизненных процессах есть определённые базовые элементы. Прежде чем начать писать или читать, мы сначала изучаем алфавит. Его можно считать основой образования, поскольку, не зная букв и правил, по которым они соединяются сначала в слоги, потом в слова и затем в предложения, достаточно сложно учиться дальше чему-то новому. Однако это, в свою очередь, не мешает нам разговаривать, не зная алфавита (как, например, это делают маленькие дети).

В информатике мы имеем схожую ситуацию. Изучая её ранее, мы смотрели с точки зрения пользователя, как можно использовать современные информационные технологии, при этом очень смутно понимая сам принцип работы этих технологий. С точки зрения человека, далёкого от информатики, подавляющее большинство операций, которые совершают специалисты в данной области, остаётся тёмным лесом и выглядит своеобразным волшебством. Однако если разобраться с логикой работы программ, понять, как происходят те или иные вычисления для получения результатов, станет более понятно, как работают программы или устройства, что облегчит их использование.

Для того чтобы начать разбираться с этими процессами, нужно понять, как устроен базовый элемент информационных технологий — числа. А также изучить числовой алфавит — цифры.

Цифры — это система знаков, созданная для записи определённых значений чисел. Из этого определения следует, что цифра и число — это совершенно разные сущности.

Число — это сущность, обозначающая количество чего-либо, то есть с помощью числа мы можем считать предметы. Цифра же — это символ, с помощью которого записывается число.

Если проводить аналогию с языком, то цифры — это буквы. А числа — это слова, записанные с помощью этих букв. При этом «я» — это и буква, и слово, всё зависит от контекста. Так и 2 может быть цифрой, то есть знаком, а может быть числом — например, обозначать количество: 2 яблока.

Таким образом, 1, 2, 3, 5, 9 — это одновременно числа, которые состоят из одной цифры, и однозначные числа.

Когда мы записываем числа с помощью знаков, возникает понятие системы счисления.

Система счисления — это символический метод записи чисел.

Системы счисления нужны для того, чтобы по определённым правилам записывать числа, используя цифры.

Цифры называются алфавитом системы счисления. Если сказать более формально, то алфавитом системы счисления называется множество знаков, с помощью которых представляются числа в выбранной системе счисления.

Тут стоит обратить внимание на то, что алфавитом в данном случае является не русский алфавит, который состоит из 33 букв, а некоторый набор цифр, который соответствует системе счисления.

В современном мире для записи чисел чаще всего используются арабские цифры, которые имеют следующий вид:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Почему арабские цифры называют арабскими?

Как бы это странно ни звучало, но арабские цифры впервые появились в Индии около V века н. э.

Первоначально они имели вид несколько иной, нежели сейчас, но уже содержали традиционные 10 цифр и являлись первым упоминанием о десятичной системе счисления. Однако цифра 0 заняла своё место в алфавите системы счисления только ближе к IX веку н. э., до этого цифра означала отсутствие числа и полноценно в алфавит не входила.

В дальнейшем европейские народы узнали о такой системе счисления только около X века н. э., причём от арабов. Таким образом алфавит десятичной системы получил своё название — арабские цифры.

Всего в него входят десять цифр, поэтому принято называть систему счисления десятичной.

Но самая распространённая — не значит единственная.

В Древнем Риме были распространены римские цифры:

I, V, X, L, C, D, M,

которые эквивалентны арабским цифрам:

I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000.

Популярность данного алфавита сошла на нет в первую очередь из-за довольно сложных правил написания чисел: было очень тяжело описывать большие числа. К примеру, число 1984 выглядело бы следующим образом: MCMLXXXIV.

Также сложности возникали при проведении различных арифметических действий, а при работе с дробями возникало ещё большее количество трудностей.

Если же рассматривать десятичную систему счисления, то основным её преимуществом является позиционность. Это значит, что позиция каждой цифры в числе влияет на значение всего числа. Например, для записи чисел 15 и 51 использованы одни и те же цифры, но сами числа разные. А разными эти числа делают позиции составляющих их цифр: в числе 15 единица означает один десяток, а пятёрка — 5 единиц. В числе 51 же, наоборот, пятёрка означает количество десятков, а единица — количество единиц. Таким образом, разные позиции одних и тех же цифр в числах делают значения этих чисел разными.

В римской системе записи чисел такого принципа нет, что существенно усложняет запись больших чисел, а также организацию арифметических действий. Конечно, в римской системе есть числа IV — четыре и VI — шесть, где позиция единицы и пятёрки всё же важна, однако это единичный пример, который принципиально не делает римскую систему позиционной. Римская система записи чисел, как и некоторые другие, называется непозиционной. Подробнее о позиционных и непозиционных системах поговорим чуть дальше.

Позиционность десятичной системы позволила, во-первых, обойтись небольшим количеством знаков для записи любого, даже очень большого числа, а во-вторых, разработать удобные и эффективные алгоритмы действий с числами.

Количество цифр, используемых в системах счисления с заданным основанием

Как было сказано ранее, в современном мире мы используем десятичную систему счисления.

Но так было не всегда и не везде. Некоторые народы считали дюжинами (в нашем языке сохранилось даже отдельное слово) — по 12, некоторые — по 20. Так, следы счёта по 12 мы можем наблюдать в английском языке: числительные 11 (eleven) и 12 (twelve) отличаются от последующих: 13, 14, … (thirteen, fourteen — три плюс десять, четыре плюс десять и так далее).

Можно сказать, что десятичная система победила по нескольким причинам. Первая — удобство счёта на пальцах. Используя 10 пальцев на руках, можно организовать достаточно быструю систему счёта. Это могло быть удобно при проведении торговых операций. Во-вторых, в десятичной системе гораздо удобнее организуются арифметические операции: сложение в столбик, умножение и другие. Счёт десятками оказался удобнее, чем другие способы группировки чисел.

Сравним с другими системами. В двоичной системе, где всего две цифры — 0 и 1, очень простые таблицы сложения и умножения, но даже небольшое число записывается большим количеством 0 и 1 — слишком громоздко. А вот в шестнадцатеричной системе, где кроме цифр от 0 до 9 есть ещё 6 других, будет наоборот: запись более компактная, но вот таблицы сложения и умножения — объёмные, их сложнее запоминать.

Шестидесятеричная система счисления

Каждый день мы сталкиваемся с числами и счётом в том или ином виде. Но давайте задумаемся: как мы представляем время?

Как вы знаете, время определяется с помощью секунд, минут и часов. Минимальной единицей времени является секунда, 60 секунд дают нам минуту, 60 минут — час, а 24 часа — сутки. Можем ли мы сказать, что для представления времени используется десятичная система счисления? Наверное, можем, поскольку количество цифр для представления чисел, обозначающих моменты времени, равно десяти. Но здесь есть один нюанс. Мы не можем сказать, что сейчас часы показывают 11 часов и 90 минут. В записи минут возникает переполнение: 90 больше 60. Поэтому мы должны перенести переполнение таким образом, что количество часов увеличится на единицу, и в нашем примере оно станет равным 12 часам. Количество минут в этом случае будет равно разности 90 и 60 — 30. Таким образом, мы получаем момент времени 12 часов 30 минут.

Теперь давайте представим, что все числа от 0 до 59 мы заменили на свои уникальные символы. Воспользуемся латинским алфавитом и цифрами для обозначения чисел в новой системе счисления. Буквы a — z заменят числа от 0 до 25, A — Z заменяют числа от 26 до 51, а цифры 0–8 заменяют числа от 52 до 59. В этом случае мы сможем представлять моменты времени в более компактном виде. Например, момент времени 10 часов 30 минут будет выглядеть как «k : E», а 23:59 — как «x : 8». Конечно, придётся держать в голове алфавит из 60 символов, но сейчас это не так важно. А важно то, что фактически мы пользуемся для обозначения времени шестидесятеричной системой счисления. Но так как мы привыкли чаще работать с десятичной системой счисления, при обозначении времени мы постоянно осуществляем перевод чисел из шестидесятеричной системы счисления в десятичную, причём делаем это уже на подсознательном уровне. Формальные же правила перевода чисел из одной системы счисления в другую мы рассмотрим в рамках следующих уроков.

Шестидесятеричная система счисления, которой мы пользуемся для обозначения времени, пришла к нам от шумеров. Эта система во многом была удобна благодаря тому, что основание системы счисления имело много множителей: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30. Но в ней было крайне неудобно осуществлять арифметические действия. Так, таблица умножения у шумеров представлялась на 1770 строках. Согласитесь, многовато. Но если попробовать предположить, как можно с её помощью считать на пальцах, всё становится немного проще. На каждом пальце у человека есть по три фаланги (кроме большого). Большой палец будем использовать как указатель на нужную фалангу. Таким образом, можно считать от 0 до 12 с помощью пальцев одной руки. На второй руке можно использовать пальцы целиком, но уже для множителей, то есть для обозначения числа, на которое нужно умножить число на первой руке, чтобы получить результат. Таким образом, мы получим счёт от 0 до 60 с использованием пальцев. Одна из гипотез как раз гласит, что древние шумеры осуществляли счёт именно таким способом.

 Внутри компьютера же числа представлены в двоичной системе счисления. Основная причина этого заключается в том, что проще всего организовать хранение чисел в запоминающих ячейках, которые имеют всего два устойчивых состояния: 0 — нет тока, 1 — есть ток. Конечно, были и другие способы хранения чисел — десятичная, троичная, — но именно двоичная благодаря своей простоте оказалась наиболее популярной.

Поэтому в сфере информационных технологий информация передаётся числами, состоящими только из 0 и 1, то есть по своей сути это двоичная система счисления. Зачастую эти числа очень велики и трудны для восприятия, поэтому для более удобного понимания этих чисел программистами также используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Подробнее об этих системах мы поговорим на следующих уроках. Таким образом, мы в основном будем рассматривать три системы счисления:

• двоичную (алфавит 0 и 1);

• восьмеричную (алфавит 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7);

• шестнадцатеричную (алфавит 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).

Способы записи чисел на иврите

На иврите числа записываются с помощью 22 букв еврейского алфавита. При этом система счисления является непозиционной. В отличие от других непозиционных систем записи чисел, на иврите числа записываются справа налево, как и слова. Основные обозначения чисел вы можете видеть на экране. 

Поскольку такая система записи не является позиционной, большие числа записываются с помощью соединения нескольких цифр в цепочку. Для получения числа необходимо сложить соответствующие числа.

Для чисел больше тысячи используются апострофы перед цифрой, обозначающей количество тысяч.

Стоит обратить внимание на то, что в различных системах счисления количество цифр разное: к примеру, только 2 цифры в двоичной системе счисления и 8 — в восьмеричной системе счисления. Здесь мы подошли к важному понятию: основанию системы счисления.

Способы записи чисел в персидском языке

На персидском языке говорят в Иране. По-другому персидский язык называется фарси.

Сама письменность на фарси является модификацией арабской письменности. При этом слова пишутся справа налево, а числа — наоборот, слева направо.

Фарси обладает позиционной системой записи чисел, а для записи чисел используется 10 цифр.

Числа больше 10 записываются в полной аналогии с арабскими цифрами, что упрощает понимание чисел иностранцами. В официальных документах в Иране, кстати, допускается обозначение чисел с помощью арабских цифр.

Основанием позиционной системы счисления является количество цифр в её алфавите. Обычно оно указывается после числа, справа внизу, более мелким шрифтом.

В качестве примера рассмотрим три представления числа 42:

• 4210 — в десятичной системе счисления;

• 1010102 — в двоичной системе счисления;

• 2А16 — в шестнадцатеричной системе счисления.

Как видно из примера, одно и то же число может представляться различным количеством цифр в зависимости от системы счисления. В зависимости от задачи может быть удобно оперировать представлением числа в разных системах, это мы увидим в следующих уроках.

Понятие о позиционных и непозиционных системах счисления

Как мы говорили в начале урока, в различных системах счисления может присутствовать или отсутствовать зависимость величины числа от порядка цифр записи. В связи с этим принято выделять следующую классификацию систем счисления:

1) позиционные,

2) непозиционные.

Позиционные системы счисления — это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.

Непозиционные системы счисления — это системы счисления, в которых отсутствует зависимость величины числа от позиции цифры в этом числе.

Точно ли римская система записи чисел — непозиционная?

Как правило, римскую систему записи чисел относят к непозиционным, поскольку значение числа определяется суммой цифр, из которых оно составлено. Но не всё так просто.

В римской системе существуют определённые правила, по которым определяется положение цифр числа. Например, в начале необходимо указывать число тысяч, за ним — число сотен, десятков и так далее. Например, число 3651 будет записано как MMMDCLI, где M = 1000, D = 500, C = 100, L = 50, I = 1, таким образом MMM = 3000, DC = 600, L = 50, I = 1. Чувствуете сходство с позиционными системами?

Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются. Примеры: XII = 12, VIII = 8. Если же меньшая стоит перед большей, то вычитаются: IV = 4, IX = 9. То есть здесь позиция определённых цифр также влияет на значение всего числа.

Как видно из примеров, в римской системе счисления присутствуют элементы позиционности, однако они не делают эту систему позиционной, поскольку для вычисления значения числа всё равно необходимо произвести суммирование всех его составляющих и нельзя без этих расчётов точно определить, какая цифра за что отвечает.

Одним из ярких примеров непозиционной системы счисления является древнеегипетская. В ней специальные символы заменяли числа 1, 10, 100, 1000 и так далее, кратные 10. Числа записывались в виде комбинации таких символов, повторяющихся в зависимости от значения конкретного разряда не более девяти раз. Например, в числе 45 символ для обозначения 10 записывается четыре раза, а символ единицы повторяется пять раз.

В случае с позиционными системами счисления всё несколько проще. Привычная нам десятичная является ярким примером: согласитесь, что 210 явно больше, чем 102. В таких системах счисления достаточно просто производить арифметические расчёты, в связи с чем они получили широкое распространение.

Мы рассмотрели основные типы систем счисления. Как вы поняли, в основном мы в повседневной деятельности используем позиционную десятичную систему счисления, поскольку она более проста для восприятия и с ней проще выполнять арифметические действия. В дальнейшем мы будем изучать двоичную систему счисления как основную в логических и математических аспектах ИТ-сферы, а также восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления как более компактные интерпретации двоичных чисел.

Список литературы

1. Информатика. 8-й класс: учебник / Л. Л. Босова, А. Ю. Босова. — М.: Просвещение, 2022.

Домашнее задание

1. Что такое система счисления? Что называют алфавитом системы счисления?

2. Какие системы счисления вы знаете?

3. Опишите, в чём разница между позиционными и непозиционными системами счисления.

4. Какая система счисления используется для передачи информации в сфере информационных технологий? Какие цифры входят в алфавит этой системы счисления?

Список использованных источников

Рис. 1, 2. Изображения используются согласно лицензии Shutterstock / FOTODOM

Рис. 1. Автор Геворкян Д. Т. (СГ-15223 от 15.02.2023)