Математика

Свойства диагоналей квадрата

Данный урок поможет получить представление о теме «Свойства диагоналей квадрата». Вспомним, какие фигуры называются многоугольниками, рассмотрим прямоугольник и квадрат и свойства их диагоналей.

1. Многоугольники

Для начала вспомним, какие геометрические фигуры называют многоугольниками. Если последовательно соединить несколько точек так, что их соединение дало замкнутую ломаную линию, то создается образ многоугольника: четырехугольника (см. рис. 1), пятиугольника (см. рис. 2), шестиугольника (см. рис. 3) и т.д.

Рис. 1. Четырехугольник

Рис. 2. Пятиугольник

Рис. 3. Шестиугольник

Многоугольники называют по числу углов.

2. Прямоугольники

Рассмотрим четырехугольники (см. рис. 4).

Рис. 4. Четырехугольники

Они имеют 4 вершины, 4 стороны и 4 угла. Обратим особое внимание на углы четырехугольников. Среди всех изображенных фигур есть такие, у которых все углы прямые (см. рис. 5). И такие четырёхугольники называют прямоугольными четырёхугольниками (или прямоугольниками).

Рис. 5. Прямоугольники

Рассмотрим прямоугольник . Вы знаете, что противоположные стороны прямоугольника равны , (см. рис. 6).

Рис. 6. Прямоугольник

Если у прямоугольника все стороны равны, то такую фигуру называют квадратом.

Рис. 7. Квадрат

Отрезки и – диагонали прямоугольника , а отрезки и – диагонали квадрата . Диагонали любого прямоугольника равны, значит, в прямоугольнике , , а в квадрате : . Это можно проверить с помощью циркуля. Одну ножку циркуля поставим в т. , а вторую в т. . Не изменяя расстояния между ножками циркуля, перенесем циркуль на отрезок (см. рис. 8).

Рис. 8. Проверка равенства диагоналей прямоугольника

Мы видим, что одна ножка циркуля совпала с т. , а вторая – с т. . Значит, диагонали и равны.

В прямоугольнике т. – точка пересечения диагоналей и . Вы знаете, что точка пересечения т. делит диагональ на равные части, значит, отрезки , , , равны.

Так как квадрат является прямоугольником, значит, точка пересечения диагоналей – т. – делит их на равные отрезки – . Это можно проверить с помощью циркуля. Поставим ножку циркуля в точку , вторую ножку циркуля поставим в точку , и, не изменяя расстояния между ножками циркуля, перенесем вторую точку циркуля на т. . Мы видим, что вторая ножка циркуля совпала с т. . Отрезки и равны. Таким же образом мы можем проверить равенство и . Все отрезки, которые получаются при пересечении диагоналей квадрата, равны.

У диагоналей квадрата есть еще одно свойство: при пересечении диагоналей квадрата получаются четыре прямых угла. Это свойство мы можем проверить с помощью прямоугольного треугольника, у которого один угол прямой (см. рис. 9).

Рис. 9. Угол между диагоналями квадрата

Приложим прямой угол прямоугольного треугольника к углу на чертеже так, чтобы обе стороны и вершина углов совпали. Мы видим точное совпадение, значит, углы, образованные при пересечении диагоналей, прямые.

Свойства диагоналей квадрата

3. Заключение

На данном уроке мы познакомились со свойствами диагоналей квадрата.

Список рекомендованной литературы

Дмитриева О. И. Поурочные разработки по математике: 4 класс. – 3-е изд., перераб. и доп. – М.: ВАКО, 2012.
Моро М. И. Математика. 4 класс. Учебник в 2 частях. М: Просвещение, 2011
Узорова О. В. Полный курс математики: все типы заданий, все виды задач, примеров, уравнений, неравенств, все контрольные работы, все виды тестов: 4 кл. М.: Астрель, 2009.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Используя свойства диагоналей квадрата, начерти квадрат, длина диагонали которого 6 см.
Начертите квадрат со стороной 5 см. Проведите диагонали и проверьте еще раз их три свойства.