02. Понятие числа (Побединский Д. М.)

На этом уроке мы поговорим о том, что такое числа, какие функции они могут выполнять. Кроме того, мы поговорим о том, почему мы так их записываем, почему используем десятичную систему счисления.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Часть 1. Натуральные\nчисла. Целые числа».

В жизни мы практически каждый день видим такие рисунки (рис. 1). Это знаки.

Их понимают практически все, поэтому их используют там, где необходимо сообщить какую-то информацию большому количеству разных людей: в аэропортах, на железнодорожных вокзалах, там, где много иностранцев, или на автомобильных дорогах.

Этот знак мы не понимаем (рис. 2). Но в Китае его понимают все — там он и используется.

Люди придумали знаки, чтобы что-то сообщать друг другу (рис. 3).

Из всего того, что люди сообщают посредством речи, можно выделить слова, которые обозначают предметы (рис. 4), и слова, обозначающие понятия, на которые нельзя указать (дружба, любовь, опасность и т. д.) (рис. 5).

Знак «сердечко» тоже означает не предмет, а отношение человека к объекту.

Получается, что знаки можно различать по типу объектов, которые они обозначают. А можно поступить по-другому — различать знаки по их виду:

• изобразительные. Такие знаки понятны практически любому, ведь в них угадываются отличительные особенности реальных объектов;

• символы. Это, например, любое записанное слово или знак «кирпич». Такие знаки понятны только тем, кто заранее знает, что они обозначают.

Слова — это самые часто употребляемые знаки. И для записи слов придумали алфавит.

Словами мы можем описать, например, свойство предмета — зелёный, высокий.

А какое свойство есть у множества предметов? Причём общее свойство, присущее любому множеству. Это количество предметов.

Для записи количества используются другие символы — цифры. Цифры — это словно буквы для чисел. Мы привыкли использовать десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Используя цифры, можно записать абсолютно любое число: 15; 73 526 и т. д.

Функции чисел

Числа, как и слова, это знаки-символы. Натуральное число обозначает только лишь количество предметов в множестве, независимо от того, что это за предметы. Мы говорим «пять», «шесть», зная, что называем только лишь количество, а не сами предметы. Получается, что одна из основных функций чисел — это обозначение количества.

Кроме количества, натуральные числа могут задать порядок. Эта роль числа также очень важна (рис. 6). Только представьте, как бы мы искали места в кинотеатре, если бы на каждом из них было написано имя купившего билет.

Третьей, не менее важной и привычной для нас функцией натурального числа, может быть его использование в качестве имени. Когда мы записываем в телефон номер друга, мы словно присваиваем ему «числовое имя». Ясно, что это просто набор цифр, который не обозначает количество, не задаёт какой-либо порядок, это просто имя телефона друга в телефонной книге (рис. 7).

Другими примерами использования этой функции чисел могут быть автомобильные номера, номера паспортов и т. д.

Все три функции чисел и их записи существенно отличаются. Если использовать числа для определения количества, то их можно складывать. Например, было 5 яблок, потом купили 6 яблок, и в итоге стало 11 (рис. 8).

Если мы идём по улице и проходим мимо дома номер 11, то мы знаем, что через один дом будет 15. То есть если мы используем число для определения порядка, то оно определяет место в ряду подобных объектов.

Вместе с тем мы не складываем номера телефонов. К тому же мы не связываем два номера, которые отличаются только лишь последней цифрой на единицу. Это же не означает то, что один телефонный номер больше другого, или то, что они находятся где-то рядом.

Более того, наверняка ни у кого нет в телефонной книжке номеров, идущих подряд. Так что в этом случае номера — это просто имена (по латыни nomen созвучно с «номер», означает «имя»).

Таким образом, мы видим 3 роли, 3 применения для чисел (рис. 9). Это обозначение количества, задание порядка и присвоение имени (обозначения).

Десятичная система счисления

Для записи чисел используют разные символы: римские, арабские (рис. 10).

Привычная нам система записи чисел называется десятичной, так как в ней используется десять цифр. Но важно также то, что она является позиционной. Величие изобретения позиционной системы в том, что с её помощью можно записать абсолютно любое количество элементов в множестве. Как это сделать до 10, понятно: можно просто использовать по одной цифре — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. А потом? Придумали измерять количество группами. Например, двадцать четыре — это два по десять и ещё четыре: . И можно ещё сильнее сократить эту запись, если использовать следующее сокращение: 24. На первом месте мы обозначаем десятки, а на втором — единицы. То есть  (рис. 11).

Так, конечно, было не всегда. Люди записывали числа палочками, узелками, римскими цифрами.

Что неудобного в римской системе? Очень трудно записывать большие числа, да и складывать их очень тяжело.

Итак, используя всего десять привычных нам цифр, мы можем записать абсолютно любое натуральное число, сколь угодно большое: 2 941 126 578.

А вот с помощью римских цифр совсем непонятно, как записать, например, 1 300 000 (рис. 13).

На этом уроке вы узнали, что такое число, какие функции оно может выполнять: обозначать количество, задавать порядок и присваивать имя или обозначение.

Поговорили о том, почему мы так их записываем, почему используем десятичную систему счисления.

Полезные ссылки

1. Список рекомендованных учебников.

2. Интернет-портал math-prosto.ru.

Проверь себя

1. Приведите пример ситуаций, где число выполняет роль имени.

2. Приведите пример ситуаций, где число указывает количество.

3. Приведите пример ситуаций, где число задаёт порядок.