Введение
Что же такое система счисления? Система счисления – это способ записи чисел с помощью письменных знаков. Например, китайцы используют иероглифы, евреи, славяне использовали буквы, а у нас есть специальные знаки.
Позиционная система счисления
Представьте себе, что вы умеете считать только до двух. Давайте попробуем на примере с кубиками: 1 кубик, 2 кубика, а как дальше – мы не знаем (см. рис. 1).
Рис. 1. Кубики
Что же делать? Объединим их в новую мерку – столбик (см. рис. 2). Будем считать дальше: 1 кубик, 2 кубика, не можем посчитать следующий кубик. Объединяем в столбик. Дальше считаем: 1 кубик, 2 кубика, не можем посчитать следующий кубик. Объединяем в столбик. Считаем столбики: 1 столбик, 2 столбика, не можем посчитать следующий столбик.
Рис. 2. Столбики
Что будем делать? Будем делать еще одну новую мерку, только побольше. Назовем ее башенкой (см. рис. 3). Что же получилось? 1 башенка, 1 столбик и два кубика. Согласитесь, что все время писать так очень неудобно. Поэтому удобнее записать просто: 1 1 2. Возьмем теперь 9 кубиков и посчитаем их нашим способом: 1, 2, 3 – столбик; 1, 2, 3 – столбик, 1, 2, 3 – 1 столбик. Считаем столбики: 1, 2, 3 – 1 башенка. Как же теперь это записать. Так и пишем: 1 башенка, но так неудобно писать все время. Хочу записать по-другому – 1. Но как тогда понять 1 чего: кубика, столбика или башенки? Как же быть? Давайте допишем еще 2 ноля и получится: 1 башенка – 100. Что это будет означать? Это значит 1 башенка, 0 столбиков и 0 кубиков. А теперь возьмем еще 2 кубика. Как это записать? Пишем: 1 башенка и 2 кубика – 12. Но как понять, это 1 башенка и 2 кубика или 1 столбик и 2 кубика? Столбиков-то нет, значит, на их место мы поставим 0 – и получится у нас: 102.
Рис. 3. Башенки
Смотрим на это число и сразу понимаем, что у нас 1 башенка, 0 столбиков и 2 кубика. То, что мы сейчас сделали, называется позиционной системой счисления. Почему позиционной? Потому что в зависимости от того, в каком месте стоит цифра, меняется ее значение, то есть мы понимаем, про столбики идет речь или про башенки.
Давайте посмотрим, какие числа у нас получатся по порядку: 1, 2, 3 – столбик, то есть 10, потому что 1 столбик и 0 кубиков. Добавляем еще 1 кубик и получается: 11 (один столбик и один кубик), добавляем еще один кубик – 12 (1 столбик и 2 кубика), добавляем еще 1 кубик, получился новый столбик, то есть 20 (2 столбика и ни одного кубика). Еще добавляем 1 кубик: 21 (2 столбика и 1 кубик). Так мы делаем до тех пор, пока у нас не получится башенка, получается 100 (1 башенка, ни одного столбика и ни одного кубика). Еще добавляем 1 кубик: 101 (1 башенка, ни одного столбика и 1 кубик). Добавляем кубики до столбика плюс 1 кубик, получим 111 (1 башенка, 1 столбик и 1 кубик). Так можно продолжать до бесконечности. То, что мы получили, называется троичной системой исчисления, потому что у нас всего три цифры: 0, 1 и 2.
Обычно мы пользуемся десятичной системой исчисления. В ней десять цифр, поэтому она так и называется: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В десятичной системе каждые 10 конфет мы пакуем в коробку, каждые 10 коробок мы пакуем в мешок и каждые 10 мешков мы пакуем в контейнер. Поэтому, когда мы видим число 1548, мы сразу понимаем, что у нас 1 контейнер (или 1 тысяча), 5 мешков (или 5 сотен), 4 коробки (или 4 десятка) и еще 8 конфет (то есть 8 единиц). В десятичной системе мы производим практически все операции. Например, в 1 см 10 мм, в 1 дм 10 см, в 1 м 10 дм.
Но существует не только десятичная система счисления. Например, на двоичной системе счисления строится программирование. Потому что это очень просто: горит свет или не горит, есть сигнал или нет. В двоичной системе только две цифры: 0 и 1, как «да» и «нет».
Непозиционная система счисления
Помимо позиционных систем счисления, есть еще непозиционные. Это такие системы, в которых, в каком бы месте значок ни был записан, он всегда обозначает одно и то же. Например, в римской системе счисления X обозначает цифру 10, и, где бы X ни стоял, он всегда обозначает 10. Правда, если поставить I справа от X (XI) и слева от X (IX), это будет либо 9, либо 11.
Древние славяне, например, цифры обозначали буквами. То есть цифра α = 1, буква β = 2. Чем неудобны непозиционные системы и почему сейчас мы пользуемся позиционной? Дело в том, что в позиционной системе счисления очень удобно складывать. Вы коробки складываете с коробками, пакеты с пакетами, штуки со штуками. А в непозиционной системе так не получится. Сегодня непозиционные системы счисления используются, скорее, как выразительное средство, или там, где это исторически принято. Например, для записи времени постройки здания или для обозначения глав.
Давайте подведем итог. Система счисления – это способ записи чисел. Бывают позиционные и непозиционные системы счисления. В позиционных системах счисления значение символа зависит от того, на каком месте он стоит, а в непозиционных системах счисления совершенно все равно, на каком месте стоит символ, он всегда обозначает одно и то же.
Итоги
Домашнее задание
- Почему нашу систему счисления называют десятичной?
- В чем суть позиционной системы счисления?
- Назовите в порядке возрастания четыре класса в записи натуральных чисел.
Список рекомендованной литературы
- Гельфман Э.Г., Холодная О.В. Математика: учебник для 5 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний. – 2012.
- Шварцбурд С.И. Внеклассная работа по математике в 4-5 классах. – М.: Просвещение. – 2012.
- Виленкин Н.Я., Жохов В.И. Математика. 5 класс, 31-е изд., стер. – М.: 2013.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
