Представьте себе, что вы умеете считать только до двух. Давайте попробуем на примере с кубиками: 1 кубик, 2 кубика, а как дальше – мы не знаем (см. рис. 1).

Рис. 1. Кубики

Что же делать? Объединим их в новую мерку – столбик (см. рис. 2). Будем считать дальше: 1 кубик, 2 кубика, не можем посчитать следующий кубик. Объединяем в столбик. Дальше считаем: 1 кубик, 2 кубика, не можем посчитать следующий кубик. Объединяем в столбик. Считаем столбики: 1 столбик, 2 столбика, не можем посчитать следующий столбик.

Рис. 2. Столбики

Что будем делать? Будем делать еще одну новую мерку, только побольше. Назовем ее башенкой (см. рис. 3). Что же получилось? 1 башенка, 1 столбик и два кубика. Согласитесь, что все время писать так очень неудобно. Поэтому удобнее записать просто: 1 1 2. Возьмем теперь 9 кубиков и посчитаем их нашим способом: 1, 2, 3 – столбик; 1, 2, 3 – столбик, 1, 2, 3 – 1 столбик. Считаем столбики: 1, 2, 3 – 1 башенка. Как же теперь это записать. Так и пишем: 1 башенка, но так неудобно писать все время. Хочу записать по-другому – 1. Но как тогда понять 1 чего: кубика, столбика или башенки? Как же быть? Давайте допишем еще 2 ноля и получится: 1 башенка – 100. Что это будет означать? Это значит 1 башенка, 0 столбиков и 0 кубиков. А теперь возьмем еще 2 кубика. Как это записать? Пишем: 1 башенка и 2 кубика – 12. Но как понять, это 1 башенка и 2 кубика или 1 столбик и 2 кубика? Столбиков-то нет, значит, на их место мы поставим 0 – и получится у нас: 102.

Рис. 3. Башенки

Смотрим на это число и сразу понимаем, что у нас 1 башенка, 0 столбиков и 2 кубика. То, что мы сейчас сделали, называется позиционной системой счисления. Почему позиционной? Потому что в зависимости от того, в каком месте стоит цифра, меняется ее значение, то есть мы понимаем, про столбики идет речь или про башенки.

Давайте посмотрим, какие числа у нас получатся по порядку: 1, 2, 3 – столбик, то есть 10, потому что 1 столбик и 0 кубиков. Добавляем еще 1 кубик и получается: 11 (один столбик и один кубик), добавляем еще один кубик – 12 (1 столбик и 2 кубика), добавляем еще 1 кубик, получился новый столбик, то есть 20 (2 столбика и ни одного кубика). Еще добавляем 1 кубик: 21 (2 столбика и 1 кубик). Так мы делаем до тех пор, пока у нас не получится башенка, получается 100 (1 башенка, ни одного столбика и ни одного кубика). Еще добавляем 1 кубик: 101 (1 башенка, ни одного столбика и 1 кубик). Добавляем кубики до столбика плюс 1 кубик, получим 111 (1 башенка, 1 столбик и 1 кубик). Так можно продолжать до бесконечности. То, что мы получили, называется троичной системой исчисления, потому что у нас всего три цифры: 0, 1 и 2.

Обычно мы пользуемся десятичной системой исчисления. В ней десять цифр, поэтому она так и называется: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. В десятичной системе каждые 10 конфет мы пакуем в коробку, каждые 10 коробок мы пакуем в мешок и каждые 10 мешков мы пакуем в контейнер. Поэтому, когда мы видим число 1548, мы сразу понимаем, что у нас 1 контейнер (или 1 тысяча), 5 мешков (или 5 сотен), 4 коробки (или 4 десятка) и еще 8 конфет (то есть 8 единиц). В десятичной системе мы производим практически все операции. Например, в 1 см 10 мм, в 1 дм 10 см, в 1 м 10 дм.

Но существует не только десятичная система счисления. Например, на двоичной системе счисления строится программирование. Потому что это очень просто: горит свет или не горит, есть сигнал или нет. В двоичной системе только две цифры: 0 и 1, как «да» и «нет».