Прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Введение

Что общего у кирпича, коробки из-под телевизора и дома? (Рис. 1.)

Рис. 1. Кирпич, дом и коробка из-под телевизора

Можно ли понять что-то про них такое, что относится к каждому из этих предметов?

В этом и состоит задача математики: изучать нечто общее у совершенно разных вещей.

Например, мяч и глобус – шары и Земля – почти шар. (Рис. 2.)

Рис. 2. Мяч и глобус

Но вернемся к кирпичу, зданию и коробке. Как их возможно описать?

Это фигуры, ограниченные плоскостями (рис. 3). Каждая грань является прямоугольником. Все такие фигуры называются прямоугольными параллелепипедами.
Рис. 3. Грани прямоугольного параллелепипеда

По названию видно, что бывают и непрямоугольные параллелепипеды. Действительно, гранями параллелепипеда могут быть не только прямоугольники, а и произвольные параллелограммы (рис. 4).

Рис. 4. Произвольный параллелограмм

Так же, как из прямоугольника можно сделать обычный параллелограмм, так и из прямоугольного параллелепипеда легко сделать «косой параллелепипед» (рис. 5).

Рис. 5. Косой параллелепипед

Как начертить прямоугольный параллелепипед?

Сначала необходимо нарисовать ближнюю к нам сторону, стенку, грань (это прямоугольник) затем верхнюю. Рисовать надо ее чуть-чуть под углом, как будто бы смотришь на нее немного сбоку.

Теперь необходимо нарисовать правую грань. Так как все грани – это прямоугольники, то нужно следить, чтобы противоположные стороны этих граней были параллельны друг другу.

Понятно, что, глядя на настоящую объемную фигуру, невозможно увидеть ее сразу со всех сторон.

Остальные, «невидимые», стороны тоже нужны. Поэтому договорились те линии, которые не видны, рисовать пунктиром. Необходимо дорисовать их, соблюдая параллельность. (Рис. 6.)

Рис. 6. Чертеж прямоугольного параллелепипеда  

Все, изображение прямоугольного параллелепипеда готово.

Элементы прямоугольного параллелепипеда

У любого прямоугольного параллелепипеда есть 8 вершин. Зачастую их обозначают , , ,  снизу, , , ,  – сверху. (Рис. 7.)

Рис. 7. Прямоугольный параллелепипед

6 прямоугольников, вершины которых совпадают с вершинами параллелепипеда, называются гранями:

• передняя  и задняя ,
• верхняя  и нижняя ,
• левая  и правая .

На рисунке они не все выглядят как прямоугольники, это происходит потому что, мы смотрим на них не прямо, а под углом.

Еще есть отрезки , ,  и так далее. Они являются сторонами прямоугольников, то есть граней, и называются ребрами. У любого параллелепипеда 12 ребер.

Итак, у любого параллелепипеда всегда 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.

 

Многогранники. Теорема Эйлера для многогранников.

Разберемся подробнее с элементами, о которых мы поговорили: гранями, ребрами, вершинами.

Отрезок ограничен точками. Граница области на плоскости – линия или несколько отрезков.

Из отрезков и их границ (точек) на плоскости мы собираем многоугольники (треугольники, четырехугольники, … 100-угольники).

В пространстве имеем плоскости, их границы – ребра, кроме того, у ребер тоже есть граница – точки под названием вершины.

Из них можно собирать пространственные аналоги многоугольников – многогранники (рис. 1). Параллелепипед – один из примеров многогранников.

Рис. 1. Отрезок, многоугольник и многогранник

Самый «маленький» многогранник – треугольная пирамида (или тетраэдр) (рис. 2), по аналогии с самым «маленьким» многоугольником – треугольником.

Рис. 2. Тетраэдр

Интересный факт: в любом многограннике выполняется следующее свойство, где  – количество граней,  – количество вершин,  – количество ребер.

Давайте посчитаем:

1) Тетраэдр: 4 вершины, 4 грани и 6 ребер.

Рис. 3. Тетраэдр

2) Параллелепипед: 8 вершин, 6 граней и 12 ребер.

Рис. 4. Параллелепипед

3) Пятиугольная призма: 10 вершин, 7 граней и 15 ребер

Рис.5. Пятиугольная призма

Количество вершин и граней вместе всегда на 2 больше, чем количество ребер. И это свойство выполняется для всех многогранников. Это свойство сформулировал Леонард Эйлер в свое время. Свойство так и назвали: Теорема Эйлера.

, где:  – количество граней,  – количество вершин,  – количество рёбер.

Грани прямоугольного параллелепипеда

У прямоугольного параллелепипеда все грани (их 6) являются прямоугольниками. Все ли эти прямоугольники разные? Конечно, нет.

Держа коробку в руках, можно заметить, что противоположные грани равны, то есть это совершенно одинаковые прямоугольники.

Например, передняя грань равна задней. Точно так же равны друг другу верхняя и нижняя грани, левая и правая.

А есть ли равные ребра?

Да, конечно, можно увидеть, что вертикальные ребра, их 4, все равны друг другу. Аналогично есть еще две четверки равных ребер.

Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Вопрос: если нужно склеить такой параллелепипед из бумаги, то сколько бумаги необходимо? И как необходимо клеить прямоугольный параллелепипед или другой многогранник?

Сначала нужно сделать развертку прямоугольного параллелепипеда (рис. 8).

Рис. 8. Развертка прямоугольного параллелепипеда

Уже видно на ней 6 граней, попарно равных друг другу. Если согнуть ее по линиям, то получится прямоугольный параллелепипед.

Площадь этой развертки – это то количество бумаги, которое необходимо. Она называется площадью поверхности. Очевидно, она равна сумме площадей всех шести граней.

Теперь можно вывести формулу площади поверхности прямоугольного параллелепипеда.

Три ребра, исходящих из одной вершины, могут иметь разную длину. Пусть они будут обозначены , , и . (Рис. 9.)

Рис. 9. Прямоугольный параллелепипед со сторонами , , и

Все остальные ребра равны какому-нибудь из этих значений. Необходимо найти площади всех граней и сложить.

Площадь нижней грани равна , так это прямоугольник. Верхняя грань точно такая же, ее площадь тоже равна . Правая и левая грани имеют площади  каждая. Передняя и задняя –  каждая.

Складывая все эти площади, получаем площадь поверхности:

Задача

Сколько необходимо краски для покраски картонной коробки, если высота, ширина и длина коробки составляют 20, 30 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 1 г на каждые 100 см².

Решение

Какую площадь надо покрасить? Очевидно, это площадь поверхности коробки, ведь красить мы будем ее поверхность.

Найдем площадь поверхности коробки. Коробка – это прямоугольный параллелепипед. Площадь поверхности – это сумма площадей всех граней, причем грани попарно равны.

Расход краски – 1 г на 100 см². Чтобы найти необходимое количество краски, делим общую площадь на 100:

Получается, что необходимо 72 грамма краски, чтобы покрасить коробку.

 

Вывод

На данном уроке был изучен прямоугольный параллелепипед, его основные свойства и элементы. Кроме того, была выведена формула его поверхности и решена задача на применение данной формулы.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия, 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5-6 класс – ЗШ МИФИ, 2011.

5) Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5-6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – ЗШ МИФИ, 2011. 

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. Библиотека учителя математики. – Просвещение, 1989.    

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал «Знайка» (Источник)

2. Портал «Первое сентября» (Источник)

3. Портал  «Презентации для школьников» (Источник)

 

Домашнее задание

1. Сколько краски надо, чтобы покрасить кубик с высотой, шириной и длиной 20, 45 и 60 см соответственно? Расход краски составляет 5 грамм на каждые 100 см².