Буквенная запись свойств сложения и вычитания

Введение

Наверняка вы знаете законы сложения и вычитания еще с начальной школы: распределительный, сочетательный и переместительный. Как вы их обычно записывали? Вы обычно говорили вслух: «От перестановки мест слагаемых сумма не меняется» или писали, например, . Сочетательный закон записывали, например, следующим образом: . После записи вы говорили, что эти законы работают для любых чисел.

Возникает вопрос: как записать эти законы так, чтобы из одной записи уже было понятно, что они действительны для любых чисел? Потому что пока из наших записей видно, что законы работают только для конкретных чисел. Что же делать, чтоб показать, что законы верны для любых чисел? Давайте вспомним, что помимо чисел мы владеем еще и буквенными выражениями, то есть мы можем попытаться записать эти же законы с помощью букв. Так, переместительный закон можно записать как . Чем этот вид лучше конкретных чисел? Тем, что роль  и  могут играть абсолютно любые числа. То есть, в буквенное выражение можно вместо  и  подставить любые числа, и равенство останется верным.

Можно провести аналогию. Как мы ввели понятие числа, чтобы отойти от реальных предметов (так легче выполнять разные действия), так сейчас мы вводим буквы, чтобы абстрагироваться от чисел – тогда действие, записанное буквами, будет верно для любых чисел.

Важно помнить, что если вы подставляете какое-то число, например, вместо буквы , то нужно подставить это число вместо всех встречающихся букв  в данной записи.

Законы в общем виде (в буквенной записи)

1. Переместительный закон: .
2. Сочетательный закон: .
3. Закон вычитания числа из суммы: .
4. Вычитание суммы из числа: .
5. Свойство прибавления (вычитания) : .

Примеры

1) Упростить: .

  (использовали переместительный и сочетательный законы)

2) Упростить: .

  (использовали закон вычитания суммы из числа)

3) Найти значение выражения  при:

А)    Б)    В) .

Сначала упростим:  Тогда:

А) при :

Б) при :

В) при :

Задача

Каждый месяц Петя зарабатывает  рублей. При этом ежемесячно он тратит  рублей на квартплату и  рублей на остальные свои расходы. Сколько денег останется у Пети в конце месяца, если он зарабатывает в месяц: А)  рублей; Б)  рублей; В)  рублей?

Решение:

Сначала упростим выражение:  (использовали закон вычитания суммы из числа в обратную сторону).  Тогда:

А) при :  рублей.

Б) при :  рублей.

В) при :  рублей.

Ответ: А)  рублей; Б)  рублей; В)  рублей.

Заключение

На этом уроке вы вспомнили основные свойства сложения и вычитания, и научились записывать их не в числовом виде, а в буквенном. Основная идея такой записи в том, что, когда мы записали все законы в буквенном виде, они стали верны для любых чисел, какие бы мы не подставили вместо этих букв – одной строчкой мы изложили свойство для всех возможных чисел. Также мы познакомились с тем, как применяются эти свойства, и увидели, как удобно с помощью этих свойств, преобразовывать буквенные выражения.

 

Список рекомендованной литературы

1. Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И., 31-е изд., стер. - М: Мнемозина, 2013.- 280с.
2. Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я., М.: Экзамен, 2013. - 128 с.
3. Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана - Граф, 2013

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет

1. School.xvatit.com (Источник).
2. Math-prosto.ru (Источник).
3. Ppt-online.org (Источник).

 

Рекомендованное домашнее задание

1. Найдите значение выражения  при , предварительно упростив его.
2. На отрезке  были отмечены две точки  и , причем точка  лежит между точками  и . Составьте выражение для нахождения длины отрезка , если  см,  см,  см.
3. Токарь выполнил заказ на изготовление одинаковых деталей за три дня. В первый день он изготовил  детали, во второй день – на  деталей больше, чем в первый день, а в третий день – на  деталей меньше, чем в первый день. Сколько деталей изготовил токарь за эти три дня? Составьте выражение для решения задачи и найдите его значения при  и .