Сложение и вычитание смешанных чисел (Вольфсон Г.И.)

1. Введение

Для начала давайте вспомним, что такое смешанные числа. Смешанное число – число, записанное в таком виде, что у него есть целая часть и дробная часть. Например, . Здесь 3 – целая часть,  – дробная.

2. Задача 1

Предположим, нам дали такую задачу. Вася пробежал первый из двух кругов дистанции за 1 минуту 40 секунд, а второй круг – за 1 минуту 20 секунд. За какое время Вася пробежал всю дистанцию и насколько быстрее он пробежал второй круг, чем первый?

Решение

Несложно видеть, что мы можем сложить минуты с минутами, секунды – с секундами. Получится 2 мин + 60 секунд, т. е. 3 мин. Но, с другой стороны, 40 секунд – это  минуты, а 20 секунд – . И тогда, по аналогии, чтобы сложить эти смешанные числа, мы можем не переводить их в неправильные дроби, а сразу сложить целые минуты друг с другом, и отдельно – дробные. Это дает 2 минуты и , то есть еще одну целую минуту. Итого 3 минуты.

Можно было все это проделать и так. Заметим, что смешанное число есть сумма своих целой и дробной частей. А дальше воспользуемся переместительным свойством:

А что с вычитанием? То же самое. Из чисто практических соображений первый круг по минутам одинаков со вторым, а по секундам – на 20 дольше (или на треть минуты). Можно и так:

Думаю, вы уже поняли алгоритм? Из целого вычитаем (к целому прибавляем) целое, из дробного – дробное. Рассмотрим еще несколько примеров.

3. Примеры на сложение

Закрепим эти выкладки правилом. Чтобы сложить два смешанных числа, необходимо:

• сложить их целые части;
• сложить их дробные части;
• если нужно, перевести сумму дробных частей в смешанное число;
• сложить полученные числа.

Перейдем к вычитанию. Рассмотрим несколько примеров, после чего сформулируем общий алгоритм.

 

Найти ошибки в примерах на сложение

1. 
2. 

Рассмотрим внимательно первый пример: смешанное число  заменили дробью , а число  – , но данные дроби не равны. Если мы решим переводить дроби в неправильные, то получим следующее:

Теперь перейдем ко второму примеру, в нем действия выполняются согласно рассмотренному нами алгоритму. Как видим, все действия выполнены правильно, однако принято записывать смешанные числа так, чтобы их дробная часть являлась правильной дробью. Поэтому представим дробь  в виде смешанного числа, а потом уже выполним сложение.

4. Примеры на вычитание

1. 
2. 

Если пойти по плану, то надо из  вычесть . Этого мы сделать не можем. Тогда поступим так, как мы делаем при вычитании натуральных чисел: займем у старшего разряда. Только роль старшего разряда здесь будет играть целая часть. Ведь единица – это , так что можно вместо  записать . А дальше – по плану:

А что делать, если пришлось вычитать из натурального числа смешанное? То же самое:

.

Закрепим эти выкладки правилом. Чтобы вычесть одно смешанное число из другого, вы должны:

• сравнить дробные части уменьшаемого и вычитаемого;
• если дробная часть уменьшаемого больше, то вычесть из целой части целую часть, из дробной части дробную часть, а результаты сложить;
• если же больше дробная часть вычитаемого, то одну единицу от целой части уменьшаемого мы переводим в дробь, чтобы дробь стала неправильной, а затем вычитаем из целой части целую, а из дробной – дробную, и результаты складываем.

 

Найти ошибки в примерах на вычитание

1. 
2. 

Рассмотрим первый пример. Согласно алгоритму, мы должны сначала 12 представить в виде смешанного числа, а затем уже выполнять вычитание:

Рассмотрим второй пример. Здесь ошибка при вычитании дробных частей: нам необходимо из дробной части уменьшаемого вычесть дробную часть вычитаемого, а не наоборот. Чтобы это выполнить, нам придется занять 1 единицу и представить ее в виде дроби.

5. Заключение

На этом уроке мы познакомились со смешанными числами, научились складывать их и вычитать, сформулировали алгоритмы для сложения и вычитания. Узнали, что для сложения и вычитания смешанных чисел вовсе не обязательно переводить их в неправильные дроби, а достаточно просто сложить либо вычесть целые части и сложить либо вычесть дробные части, после чего записать окончательный ответ.

В каждом из случаев у нас была одна тонкость. Для сложения мы понимали, что иногда получается сумма дробных частей в виде неправильной дроби, поэтому при необходимости полученную неправильную дробь нужно приводить к правильной, то есть выделять целую часть. А при вычитании появлялась такая тонкость, что не всегда из дробной части уменьшаемого можно вычесть дробную часть вычитаемого, поэтому нам необходимо было «занимать» единицу у целой части и переводить ее в дробную, чтобы получить неправильную дробь, из которой уже можно было вычесть дробную часть.

 

Список литературы

1. Математика. 5 класс. Зубарева И.И., Мордкович А.Г.14-е изд., испр. и доп. – М.: 2013.
2. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5 кл. – М: Мнемозина, 2013.
3. Ерина Т.М. Математика 5 кл. Раб. тетрадь к уч. Виленкина 2013. – М: Мнемозина, 2013.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт фестиваля педагогических идей «Открытый урок» (Источник)
2. Интернет-сайт «Школьный помощник» (Источник)
3. Интернет-сайт schools.keldysh.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Если вы потратите  своей зарплаты в первую неделю месяца и 20 % от нее в каждую из последующих 3-х недель, то какая часть зарплаты останется неистраченной к концу месяца?
2. Старый компьютер вычисляет задачу за  часа, новый компьютер выполняет ту же работу на  часа быстрее. За сколько минут новый компьютер вычисляет задачу?
3. От провода длиной 14 метров отрезали кусок, длина которого –  метра, а затем еще один кусок длиной  метра. Какая длина проволоки осталась?