Разложение числа на множители

Что значит разложить число на простые множители?

Определения:

Простым называют число, которое имеет ровно два различных делителя.

Составным называют число, которое имеет более двух делителей.

Разложить натуральное число на множители – значит представить его в виде произведения натуральных чисел.

Разложить натуральное число на простые множители – значит представить его в виде произведения простых чисел.

Замечания:

• В разложении простого числа один из множителей равен единице, а другой – самому этому числу.
• Говорить о разложении единицы на множители не имеет смысла.
• Составное число можно разложить на множители, каждый из которых отличен от 1.

Пример. Разложение числа 150 на простые множители

	Разложим число 150 на множители. Например, 150 – это 15 умножить на 10. 15 – это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 3. 10 – это составное число. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Записав вместо 15 и 10 их разложения на простые множители, мы получили разложение числа 150.
	Число 150 можно по-другому разложить на множители. Например, 150 – это произведение чисел 5 и 30. 5 – число простое. 30 – это число составное. Его можно представить как произведение 10 и 3. 10 – число составное. Его можно разложить на простые множители 5 и 2. Мы получили разложение числа 150 на простые множители другим способом.
	Заметим, что первое и второе разложение одинаковы. Они отличаются только порядком следования множителей. Принято записывать множители в порядке возрастания.
Всякое составное число можно разложить на простые множители единственным образом с точностью до порядка множителей.

Пример. Разложение числа 216 на простые множители

При разложении больших чисел на простые множители используют запись в столбик:

	Наименьшее простое число, на которое делится 216 – это 2. Разделим 216 на 2. Получим 108.
	Полученное число 108 делится на 2. Выполним деление. Получим в результате 54.
	Согласно признаку делимости на 2 число 54 делится на 2. Выполнив деление, получим 27.
	Число 27 заканчивается на нечетную цифру 7 . Оно Не делится на 2. Следующее простое число – это 3. Разделим 27 на 3. Получим 9. Наименьшее простое Число, на которое делится 9, – это 3. Три – само является простым числом, оно делится на себя и на единицу. Разделим 3 на себя. В итоге мы получили 1.

Связь между делимостью составного числа и его разложением на простые множители

• Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения.
• Число делится лишь на те составные числа, разложение которых на простые множители полностью в нем содержится.

Рассмотрим примеры:

	4900 делится на простые числа 2, 5 и 7. (они входят в разложение числа 4900), но не делится, например, на 13.
1.                    2.                  .	11 550 75. Это так, потому что разложение числа 75 полностью содержится в разложении числа 11550. В результате деления будет произведение множителей 2, 7 и 11.   11550 не делится на 4 потому, что в разложении четырех есть лишняя двойка.

Пример

Найти частное от деления числа a на число b, если эти числа раскладываются на простые множители следующим образом a=2∙2∙2∙3∙3∙3∙5∙5∙19; b=2∙2∙3∙3∙5∙19

	Разложение числа b полностью содержится в разложении числа a.
	Результат деления a на b – это произведение оставшихся в разложении числа a трех чисел. Итак, ответ: 30.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал Matematika-na.ru (Источник).
2. Интернет-портал Math-portal.ru (Источник).

 

Домашнее задание

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012. № 127, № 129, № 141.
2. Другие задания: № 133, № 144.