Координатная плоскость

Основные сведения о координатной плоскости

Как известно, на каждом доме указаны его номер и название улицы – это адрес дома. На билете в любой зрительный зал написаны номер ряда и номер места – это адрес кресла. Для определения положения точки на глобусе надо знать долготу и широту – это адрес географической точки (географические координаты). Каждый объект имеет свой упорядоченный адрес (координаты). Таким образом, адрес или координаты – это числовое или буквенное обозначение того места, где находится объект.

Математиками была разработана модель, которая, в частности, позволяет описать любой зрительный зал (расположение мест в зале). Такая модель получила название координатная плоскость.

Чтобы из обычной плоскости получить координатную, необходимо начертить две перпендикулярные прямые, отмечая стрелками направления «вправо» и «вверх» (см. Рис. 1). На прямые наносят деления, как на линейку, причем точка пересечения прямых – это нулевая отметка для обеих шкал. Горизонтальную прямую обозначают  и называют осью абсцисс, вертикальную прямую обозначают  и называют осью ординат.

Две перпендикулярные оси  и  с разметкой называют прямоугольной, или декартовой, системой координат. Название «декартова» происходит от фамилии французского философа и математика Рене Декарта, который ее придумал.

Рис. 1. Координатная плоскость

Координаты точки

Для любой точки на координатной плоскости можно указать два числа (координаты). На рисунке 2 показана точка  на координатной плоскости. Для получения координат этой точки необходимо через точку провести две прямые, параллельные координатным осям (обозначены пунктирной линией). Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата  точки , пересечение другой прямой с осью ординат – это координата  точки . Сначала указывают координату , потом . Точка  имеет координаты . Аналогично находим координаты точки , она имеет координаты  (см. Рис. 2).

Рис. 2. Определение координат точек на координатной плоскости

Можно сделать все и в обратном порядке. То есть изобразить точку на плоскости по известным координатам.

Пример

1. Построить точки по заданным координатам ,

Для построения точки  необходимо отложить число 2 на оси  и провести перпендикулярную прямую; на оси  откладываем число 5 и проводим перпендикулярную оси  прямую (см. Рис. 3). На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами .

Для построения точки  необходимо отложить на оси  число 3 и провести перпендикулярную оси   прямую; на оси  откладываем число (–1) и проводим перпендикулярную оси  прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами . (см. Рис. 3).

Рис. 3. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам

2. Построить точки по заданным координатам ,

Для построения точки  необходимо отложить число 3 на оси . Координата  равна нулю, следовательно, точка  лежит на оси  (см. Рис. 4).

Для построения точки  необходимо отложить число 2 на оси . Координата  равна нулю, следовательно, точка  лежит на оси  (см. Рис. 4).

Рис. 4. Построение точек на координатной плоскости по заданным координатам

Таким образом, если нулю равна координата , то точка лежит на оси , а если нулю равна координата , то точка лежит на оси .

Задача

1. Выписать координаты точек , , ,  (см. Рис. 5).

2. Изобразить точки , , , , .

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Решение

1. Для определения координат точки  проведем через нее две прямые, параллельные координатным осям. Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата , пересечение другой прямой с осью ординат – это координата . Следовательно, точка  имеет координаты  (см. Рис. 6).

Для определения координат точки  проведем через нее две прямые, параллельные координатным осям. Пересечение одной из прямых с осью абсцисс – это координата , пересечение другой прямой с осью ординат – это координата . Следовательно, точка  имеет координаты .

Точка  находится на оси , поэтому координата  равна нулю. Координата  этой точки равна (–2). Следовательно, точка  имеет координаты .

Точка  находится на оси , поэтому координата  равна нулю. Координата  этой точки равна –5. Следовательно, точка  имеет координаты .

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

2. Для построения точки  откладываем число (–3) на оси  и проводим перпендикулярную прямую; на оси  откладываем число (–2) и проводим перпендикулярную оси  прямую (см. Рис. 7). На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами .

Координата  точки  равна нулю, поэтому эта точка лежит на оси . Отложим на оси  число 5 и получим точку  с координатами .

Для построения точки  откладываем число 3 на оси  и проводим перпендикулярную оси  прямую; на оси  откладываем число 4 и проводим перпендикулярную оси  прямую. На пересечении перпендикуляров получим точку  с координатами .

Координата  точки  равна нулю, поэтому эта точка лежит на оси . Отложим на оси  число (–4) и получим точку  с координатами .

Две координаты точки  равны нулю, следовательно, эта точка лежит на оси  и на оси , то есть является точкой пересечения двух осей (начало координат).

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Координатные четверти

Координатные оси разбивают координатную плоскость на четыре части – четверти. Порядковые номера четвертей принято считать  против часовой стрелки (см. Рис. 8).

Рис. 8. Нумерация четвертей координатной плоскости

Если точка имеет положительную координату  и положительную координату , то она лежит в первой четверти.

Если точка имеет отрицательную координату  и положительную координату , то она лежит во второй четверти.

Если точка имеет отрицательную координату  и отрицательную координату , то она лежит в третьей четверти.

Если точка имеет положительную координату  и отрицательную координату , то она лежит в четвертой четверти.

Например, у точки  координата  положительная, а координата  отрицательная, следовательно, эта точка находится в четвертой четверти.

 

---

Другие системы координат

Чтобы присвоить точке числовой «адрес» (координаты), используются и другие системы координат.

Причины использования различных систем координат:

1. Размерность.

На этом уроке мы рассматривали прямоугольную систему координат на плоскости. Размерность такого пространства равна 2, то есть точка задавалась двумя координатами. Однако пространство может иметь другую размерность, например равную единице, когда точка может менять свое положение только в одном направлении (двигаться вперед-назад или вверх-вниз). В качестве примера можно привести движение автомобиля по ровной дороге или движение лифта. Для указания местоположения точки нужна только одна координата. Эта координата будет означать то расстояние, которое проехал автомобиль (см. Рис. 9), или этаж, на котором находится лифт (см. Рис. 10).

Рис. 9. Координата в данном случае – это расстояние, на которое отъехал автомобиль

Рис. 10. Координата в данном случае – этаж, на котором находится лифт

В математике такая система координат представлена числовой или координатной осью. Чтобы из любой прямой получить координатную ось, необходимо отметить на прямой начало отсчета, масштаб и направление отсчета (см. Рис. 11). По одной координате можно однозначно понять, где находится точка.

Рис. 11. Координатная ось

Размерность пространства может быть равной трем (пространство, в котором мы живем, имеет три измерения). Для указания места положения точки в этом случае нужны три координаты. Например, если в высотном здании на каждом этаже находится кинотеатр, то для указания места в билете должны быть указаны три координаты – этаж, ряд, номер кресла. В математике такая система координат строится точно так же, как на плоскости, только добавляется третья ось  (см. Рис. 12).

Рис. 12 Декартова система координат в пространстве

2. Другой метод задания координат точки (использование полярной системы координат на плоскости).

Проводится ось , а для точки  указывается расстояние от нуля до нее и угол, который образует отрезок  с осью . Эти два числа и будут являться координатами точки  (см. Рис. 13).

Рис. 13. Полярная система координат на плоскости

В трехмерном пространстве строятся аналогичные системы, например сферическая или цилиндрическая система координат.

Таким образом, прямоугольная система координат широко применяется в математике, но не является единственной.

 

Список литературы

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.

2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.

4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Задания по курсу математика 5–6 класс. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математика 5–6. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. – М.: ЗШ МИФИ, 2011.

6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт mathematics-repetition.com (Источник)

2. Интернет-сайт youtube.com (Источник)

3. Интернет-сайт exponenta.ru (Источник)

 

Домашнее задание

1. Вопросы в конце раздела 45 (§9), задание 1393, 1394, 1396, 1398 (стр. 245-246) – Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6 (Источник)

2. Выберите точки расположенные выше оси абсцисс: , , , , .

3. В координатной плоскости построить следующие точки, соединяющие их последовательно с предыдущей точкой отрезком (получите определенный рисунок): , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , .