Пример 1 (рис. 6)

Предположим, что ваш путь от дома до школы занимает минут. Если увеличить скорость (первую величину) в два раза, как изменится время (вторая величина), которое необходимо, чтобы дойти до школы?

Рис. 6. Иллюстрация к примеру 1

Понятно, что время уменьшится в два раза. Такая зависимость называется пропорциональной. Во сколько раз изменилась одна величина, во столько раз изменилась и вторая.

Пример 2

Предположим, что мы покупаем молоко в магазине. И считаем стоимость покупки.

За две бутылки мы должны заплатить рублей. Если мы захотим купить 4 бутылки (увеличить количество бутылок в раза), то во сколько раз увеличится стоимость покупки?

Понятно, что стоимость тоже увеличится в раза. Это еще один пример пропорциональной зависимости.

В каждом мы имели дело с пропорциональными зависимостями (рис. 7). Чем отличаются эти два примера? В примере с молоком величины изменялись в одну сторону, значит, это прямая зависимость. А в другом примере между скоростью и временем зависимость была обратная.

Итак, существуют прямо пропорциональные зависимости и обратно пропорциональные зависимости.

Рис. 7. Иллюстрация к примеру

Другие типы зависимостей

Рассмотрим зависимость между стороной квадрата и его площадью. Такая зависимость прямая.

Рис. 1. Квадрат

Является ли эта зависимость пропорциональной? Легко убедиться, что нет (рис. 2).

Если сторона квадрата , то его площадь .

Если сторона квадрата , то его площадь .

Если сторона квадрата , то его площадь .

Рис. 2. Зависимость между стороной квадрата и его площадью

Очевидно, что площадь увеличивается непропорционально. Она вычисляется по формуле: , где – площадь квадрата, а – сторона квадрата. Если увеличить сторону в произвольное количество раз, то увеличение площади будет в квадрате относительно этого. Такую зависимость можно назвать прямая квадратичная зависимость.

Если в несколько раз увеличить все линейные размеры фигуры (например, длины сторон), то площадь всегда будет увеличиваться в квадрате относительного этого изменения.

Бывают ли обратные квадратичные зависимости? Да, такая зависимость встречается часто, например, в физике. Все тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения зависит от расстояния между этими телами. Если увеличить расстояние между телами в раза, то сила притяжения уменьшится в раза. Легко убедиться, что это обратная квадратичная зависимость по формуле, которая описывает закон всемирного тяготения (рис. 3): .

– сила притяжения одного тела к другому, – расстояние между телами

Рис. 3. Иллюстрация к примеру

Так как находится в знаменателе, можно сказать, что зависимость обратная, а, так как стоит во второй степени, это указывает на квадратичную зависимость.

Рассмотрим еще один пример. Объем куба вычисляется по формуле: , где – объем куба, – длина ребра куба. Если длину ребра куба увеличить в раза, то его объем увеличится в раз (рис. 4).

Рис. 4. Зависимость между длиной ребра куба и его объемом

Такую зависимость можно назвать прямой кубической зависимостью.