Перемещение от одной точки до другой изображают отрезком со стрелкой. Называют его вектором (рис. 1).

Вектор

Рис. 9. Вектор

Здесь ситуация как с числами: есть количественная часть (длина) и есть направление (у числа их было всего два ( и ), а здесь направлений может быть бесконечно много).

Сам вектор обозначают со стрелкой сверху. Длину вектора называют модулем (помните, как и у числа: модуль – это количественная часть) и обозначают с прямыми скобками или просто как отрезок (рис. 2).

Обозначение вектора и его длины

Рис. 10. Обозначение вектора и его длины

Если нам нужно попасть из одной точки в другую, мы не всегда можем пройти по прямой. Например, из точки мы движемся в точку , обходя газон, по которому ходить запрещено. То есть мы переместились два раза и. Итоговое перемещение (рис. 3).

Перемещение

Рис. 11. Перемещение

Перемещение – это сумма двух перемещений : . Для путей это не верно. Длина отрезка меньше суммы длин отрезков и : . Путь по прямой короче, чем в обход.

Все это можно записать одним неравенством: . Оно означает вот что: сумма двух перемещений – это итоговое перемещение. Его длина меньше, чем сумма длин каждого перемещения по отдельности: .

Подумайте, может ли здесь быть равенство, если по-другому будут расположены векторы перемещения? А противоположный знак, то есть знак ?

Рассмотрим такой пример. Человек гуляет с собакой, он движется из точки в точку по прямой, при этом собака движется еще из стороны в сторону, насколько позволяет поводок (рис. 4).

Иллюстрация к примеру

Рис. 12. Иллюстрация к примеру

Перемещение человека (рис. 5).

Перемещение человека

Рис. 13. Перемещение человека

Перемещение собаки складывается из кусочков и тоже в итоге равно (рис. 6).

Перемещение собаки

Рис. 14. Перемещение собаки

Но если складывать не перемещения, а пути, т.е. не векторы, а их модули, то окажется, что собака пробежала путь, в два или три раза больший. Собака, совершая одинаковое перемещение с хозяином, могла пробежать и в , и в раз больший путь, все ограничивается ее активностью.

Есть такая задача: измерение длины береговой линии. С перемещением от точки до точки вдоль берега все понятно. Это вектор (рис. 7).

Перемещение

Рис. 15. Перемещение

А вот путь складывается из кусочков (рис. 8). Тут вроде бы как с собакой: нужно сложить модули таких перемещений, векторов.

Кусочки пути

Рис. 16. Кусочки пути

Но если смотреть более точно, каждое такое перемещение складывается из еще более мелких перемещений. Путь сильно возрастает (рис. 9).

Возрастание пути

Рис. 17. Возрастание пути

Но это еще не все: если смотреть еще более точно, то и они делятся на маленькие перемещения. Береговая линия все более и более изрезана (рис. 10). И это никогда не заканчивается.

Изрезанная береговая линия

Рис. 18. Изрезанная береговая линия

То есть длину береговой линии не получается точно измерить таким образом.

Вот так получается, что, не отходя далеко от общего вектора перемещения, можно получить очень большой (как путь собаки) или даже бесконечный путь (как береговая линия).