Введение. Представление числа
Посмотрите, это две книги или одна? (Рис. 1) Книга одна, формы разные. В одних случаях удобна одна форма, в других другая.
Рис. 1. Одна и та же книга в разных формах
Сегодня мы будем говорить об эквивалентных обозначениях одного и того же количества.
Вот два мешка (Рис. 2). В одном 
пуда зерна, в другом 
кг. Это одно и то же количество, обозначения разные.
Рис. 2. Два мешка с одинаковой массой
Добавим в каждый мешок по 
кг (Рис. 3). В первом мешке у нас пуда и кг. Во втором – 
кг.
Рис. 3. Добавили 3 кг
Какая запись проще? Понятно, вторая.
Представлять нецелые числа удобнее с помощью дробей. Одно и то же нецелое количество можно обозначить разными дробями. Так, половину торта мы можем получить, разделив торт на две части и взяв из них одну 
, а можно разделить на 
частей и взять три 
. 
и 
являются эквивалентными дробями: 
(Рис. 4).
Рис. 4. Эквивалентные дроби
Пусть теперь нам нужно сложить торта и 
торта (Рис. 5).
Рис. 5. Нужно сложить торта и торта
В таком виде нам это сделать не удается (это все равно как складывать пуды и килограммы). Мы можем складывать одинаковые части, например, шестые. Заменим эквивалентной дробью (Рис. 6).
Рис. 6. Замена эквивалентной дробью
Теперь мы складываем дроби с одинаковым знаменателем: 
(Рис. 7).
Рис. 7. Сумма дробей
Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями
Пример 1
Вычислите: 
.
Решение
Выпишем для каждой дроби несколько эквивалентных и выберем те, что имеют одинаковые знаменатели:
Теперь легко выполнять вычисления, заменив исходные дроби эквивалентными:
Сама процедура замены дробей эквивалентными, но уже с одинаковыми знаменателями так и называется «приведение дробей к общему знаменателю».
Итак, чтобы сравнить две дроби, сложить или вычесть одну из другой, мы приводим их к общему знаменателю.
Как привести дроби к общему знаменателю. Количество общих знаменателей для двух дробей
Способ 1.
Первый способ мы уже рассмотрели в наших рассуждениях. Для каждой дроби начинаем выписывать эквивалентные дроби, умножая числитель и знаменатель на , , 
и т.д. Потом выбираем те, которые имеют общие знаменатели.
Пример. Выполнить сложение: 
.
Решение
Сначала запишем цепочку эквивалентных дробей для 
, для этого числитель и знаменатель дроби домножим на , , и т.д.
То же самое проделаем для дроби 
.
Как видим, есть совпадение знаменателей (
и 
). Заменяем теперь исходные дроби эквивалентными и выполняем вычисления: 
.
Способ 2.
В качестве общего знаменателя можно также использовать произведение знаменателей исходных дробей.
Пример
Вычтите 
.
Решение
Приведем дроби 
и 
к знаменателю 
. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на 
, а второй – на 
. Не торопитесь выполнять умножение в знаменателе, это мы сделаем в самом конце.
Точно так же, как мы умножали числитель и знаменатель дроби на одно и то же число, мы можем и поделить их на одно и то же число. Такая процедура называется сокращением. В нашем примере числитель и знаменатель делятся на 
, выполним деление:
Сократить дробь – означает разделить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число, не равное 
.
Давайте теперь подумаем, сколько существует общих знаменателей для двух дробей.
Какой общий знаменатель у дробей 
и ?
Выпишем цепочку эквивалентных дробей для и :
Мы видим несколько пар дробей с одинаковыми знаменателями (
и 
, 
и 
, 
и 
). Если мы продолжим дальше цепочки эквивалентных дробей, то получим бесконечное множество таких совпадений знаменателей.
То есть общих знаменателей бесконечно много. Нам подходит любой.
Например, произведение знаменателей исходных дробей 
– это общий знаменатель, однако, не самый меньший.
Приведение дробей к общему знаменателю двумя способами
Найти значение выражения: 
.
1 способ
Воспользуемся нашим правилом: произведение знаменателей является общим знаменателем дробей. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 
, а второй – на 
. Не торопимся выполнять умножение в знаменателе, нам легче будет сокращать.
Как мы видим, числа 
и заканчиваются на 
, а значит, делятся на , то есть мы можем сократить дробь.
Также заметим, что числитель и знаменатель делятся на 
, и сократим дробь:
2 способ
Выпишем цепочки эквивалентных дробей для 
и 
.
Уже на этом этапе имеется совпадение знаменателей. Заменим дроби им эквивалентными:
Как видите, второй способ дал нам ответ быстрее, чем первый.
То есть сложить эти две дроби можно по-разному: способом произведения знаменателей или можно сразу было заметить, что есть общий знаменатель поменьше, а именно 
.
То есть мораль следующая:
- общих знаменателей у двух дробей бесконечное число,
- метод произведения знаменателей дает один из них, но не обязательно наименьший.
Наименьший общий знаменатель
Есть ли способ отыскания наименьшего общего знаменателя? Да, такой способ существует.
Пример 1. Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Будем следовать рассмотренному алгоритму и выпишем цепочки эквивалентных дробей:
Можем ли мы как-то упростить наш алгоритм? Да, можем. Цепочка с бОльшим знаменателем короче, поэтому с ней и будем работать. Возьмем бОльший знаменатель и будем складывать его самого с собой (таким образом, мы не пропустим число 
), проверяя на каждом шаге, делится ли число на меньший знаменатель (
).
не делится на , значит, не будет являться общим знаменателем для исходных дробей.
снова не делится на . Продолжаем прибавлять .
делится на , 
.
Итак, мы проверяли все числа, которые делятся на , и дошли до первого, которое еще делится и на тоже.
Таким образом, общий знаменатель – .
Этот метод легко использовать при устных вычислениях.
Пример 2
Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Берем бОльший знаменатель () и складываем его с самим собой до тех пор, пока результат не будет делиться на меньший знаменатель (
).
не делится на .
не делится на .
делится на (
), значит, – общий знаменатель.
Приведем обе дроби к знаменателю , для этого числитель и знаменатель первой дроби домножим на , а второй – на .
Примеры
Если знаменатель окажутся более громоздким, то такой способ будет затруднительно применять.
Пример 1
Вычислите значение выражения: 
.
Решение
Знаменатели большие, складывать сам собой больший знаменатель или использовать произведение знаменателей тяжело.
Что же можно сделать? Помним что, чтобы число 
делилось на , оно должно содержать множитель . При этом само число раскладывается на множители.
Значит, все множители числа содержатся и в числе . То же самое относится и к числу 
.
Нам нужно найти такое число, которое содержит все множители числа и числа . Разложим каждое на множители:
Сконструируем необходимое число, содержащее все множители и первого, и второго чисел: 
.
Не один из множителей убрать нельзя – это и есть наименьшее число, которое одновременно делиться на и на . Это наименьший общий знаменатель. Разложение на простые множители не только позволяет найти наименьший общий знаменатель, но и подсказывает, на какой множитель необходимо домножить каждую дробь. Так, в первом знаменателе до общего знаменателя не хватает множителя 
, а во втором – .
Пример 2
Вычислите значение выражения: 
Решение
Раскладываем каждый знаменатель на множители.
Общий знаменатель: 
Ответвление «Пример»
Вычтите: 
Решение
Сначала разложим каждый знаменатель на множители:
Конструируем наименьший общий знаменатель, он должен содержать все множители каждого знаменателя: 
.
Значит, у первого знаменателя не хватает множителей 
и 
, а у второго – 
и 
.
Заключение
Итак, подведем итог.
Чтобы сравнить, сложить, вычесть из одной дроби другую, нужно привести их общему знаменателю.
Этот процесс раскладывается на два этапа:
- найти общий знаменатель,
- привести к этому общему знаменателю.
Общий знаменатель – это такое число, которое можно получить из исходных знаменателей домножением на какое-нибудь число.
Существует несколько приемов нахождения общего знаменателя. Использовать можно любой, в зависимости от ситуации.
Список рекомендованной литературы
- Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013 – 288 с.: илл.
- Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика. 6 класс – М.: Мнемозина.
- Истомина И.Б. Математика, 6 класс – М.: Ассоциация ХХI век.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
- Виленкин Н.Я. Математика. 6 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – 30-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2013., ст. 43-44 чит., ст. 45 № 278, 279.
- Какие существуют способы приведения дробей к общему знаменателю?
- Выполните вычисления удобным для вас способом:
а) 
б) 
- * Проверьте, правильно ли выполнены вычисления:
а) 
б) 
