Дробное выражение
Что же такое дробь? Например, дробь 
– это деление числа 7 на число 12, записанное с помощью дробной черты.
Частное двух чисел или выражений, в котором знак деления обозначен чертой, называют дробным выражением.
Примеры дробных выражений:
Дробь также является дробным выражением.
Упрощение дробных выражений
У дробного выражения существуют эквивалентные, равные ему, выражения. Выбрать из всех эквивалентных выражений самое простое – значит упростить дробное выражение.
Пример
Упростить дробное выражение:
Решение
Выполним вычитание в числители и сложение в знаменателе:
Разделим числитель и знаменатель на 17:
Ответ: 
.
Задача 1
Упростите дробное выражение:
Решение
В числителе и знаменателе – смешанные дроби. Чтобы разделить одну смешанную дробь на другую, нужно обе записать как неправильные.
Получившееся дробное выражение эквивалентно произведению дробных выражений:
Сократим знаменатель первой дроби и числитель второй дроби на 3:
Ответ: 
.
Задача 2
Сложите дробные выражения:
Решение
1 способ
Приведем эти дробные выражения к одному знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:
Чтобы избавиться от десятичной дроби в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на 10:
Сократим числитель и знаменатель на 7:
2 способ
Можно сразу избавиться от десятичных дробей в знаменателях, для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 10:
Далее приводим два дробных выражения к общему знаменателю:
Сократим числитель и знаменатель на 7:
Ответ: 
.
Задача 3
Упростите дробное выражение:
Решение
Преобразуем числитель и знаменатель в обыкновенные дроби:
Запишем получившееся выражение с помощью знака деления:
Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на перевернутую дробь:
Числитель первой дроби и знаменатель второй можно сократить на 5 и на 4:
Ответ: 
.
Задача 4
Упростите дробное выражение:
1. 
Решение
Преобразуем числитель и знаменатель в обыкновенные дроби:
Запишем это дробное выражение с помощью знака деления, а далее заменим знак деления на знак умножения и перевернем вторую дробь:
Сократим числитель первой дроби и знаменатель второй на 3 и 7, а числитель второй дроби и знаменатель первой – на 5:
Сократим числитель и знаменатель на 2:
2) 
Решение
Преобразуем числитель первого дробного выражения и знаменатель второго:
Распишем данные дробные выражения с помощью знака деления:
Заменим знаки деления на знаки умножения и перевернем соответствующие дроби:
Первое дробное выражение сократим на 9:
Приведем дробные выражения к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первого выражения умножим на 3, а числитель и знаменатель второго выражения умножим на 7:
Вычислим числители обеих дробей и сложим эти дроби:
Сократим полученную дробь на 2:
Ответ: 1. 
; 2. 
.
Преобразование «многоэтажных» дробей
Существует очень простой алгоритм, который позволяет за одно действие разобрать «многоэтажную» дробь и получить обычную «двухэтажную».
Необходимо после знака равно начертить дробную черту и для каждого элемента из «многоэтажной» дроби найти его место в новой дроби. Для этого нужно рассмотреть каждое число в исходной дроби.
Если число находилось в исходной дроби нечетное число раз в знаменателе, то в новой дроби оно окажется в знаменателе; если число находилось в исходной дроби четное число раз в знаменателе или не находилось в знаменателе вообще, то в новой дроби оно окажется в числителе.
Рассмотрим примеры.
Упростите дробные выражения.
1. 
Рассмотрим каждое число данного дробного выражения:
Число 5 (в данном выражении две пятерки, их рассматриваем отдельно) находится в числителе дроби 
и в числителе всего исходного дробного выражения. То есть не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 7 находится в знаменателе дроби 
и в числителе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;
число 16 находится в числителе всего исходного дробного выражения. То есть не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 4 находится в числителе дроби 
и в знаменателе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;
число 3 находится в знаменателе дроби и в знаменателе всего исходного дробного выражения. То есть находится в знаменателе четное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 5 находится в знаменателе всего дробного выражения. То есть находится в знаменателе нечетное число раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.
Запишем полученное дробное выражение:
Сократим числитель и знаменатель на 5 и на 4:
2.
Рассмотрим каждое число данного дробного выражения:
Число 3 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 5 находится в знаменателе дроби 
, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;
число 7 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 6 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;
число 8 находится в знаменателе дроби 
и в знаменателе всего дробного выражения, то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 7 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;
число 5 находится в знаменателе всего дробного выражения и в знаменателе выражения 
, то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 9 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.
Запишем полученное дробное выражение:
Сократим числитель и знаменатель на 5, 7, 2 и 3:
3.
Рассмотрим числа в каждом дробном выражении:
а) выражение 
Число 5 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 7 находится в знаменателе дроби , то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;
число 9 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 18 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.
б) выражение 
Число 5 не находится в знаменателе, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 2 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе;
число 7 находится в знаменателе дроби 
и в знаменателе всего дробного выражения, то есть четное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в числителе;
число 3 находится в знаменателе всего дробного выражения, то есть нечетное количество раз, следовательно, в новой дроби это число окажется в знаменателе.
Запишем полученные дробные выражения:
Сократим числитель и знаменатель первого выражения на 9:
Приведем дробные выражения к общему знаменателю, для этого числитель и знаменатель первого выражения умножим на 3, а числитель и знаменатель второго выражения умножим на 7:
Вычислим числители обеих дробей и сложим эти дроби:
Сократим полученную дробь на 2:
Ответ: 1. ; 2. ; 3. .
Задача 5 (дробные выражения с переменными)
Чтобы найти значение выражения с переменными, необходимо подставить в это выражение значения этих переменных. Но предварительно имеет смысл упростить выражение, если это возможно.
Найти значение выражения.
1. 
, при 
; 
Решение
Упростим данное выражение. Приведем слагаемые к общему знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
Подставим в полученное выражение значение переменных:
2. 
, при 
; 
Решение
Упростим данное выражение. Приведем слагаемые к общему знаменателю, для этого умножим числитель и знаменатель второй дроби на 2:
Так как 
, то:
Мы получили ответ, даже не подставив значения переменных.
Ответ: 
. 1; 2. 0.
Список литературы
1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математика 6. – М.: Мнемозина, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математика 6 класс. – Гимназия. 2006.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. – М.: Просвещение, 1989.
4. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математика: Учебник-собеседник для 5–6 классов средней школы. – М.: Просвещение, Библиотека учителя математики, 1989.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет портал «School-assistant.ru» (Источник)
2. Интернет портал «School.xvatit.com» (Источник)
3. Видеохостинг «YouTube» (Источник)
Домашнее задание
2. Найдите значение выражения:
3. Найдите значение выражения
, при 
