01. Умножение положительных и отрицательных чисел
5 мин
02. Деление
03. Рациональные числа
04. Свойства действий с рациональными числами
03. Рациональные числа
Видео доступно по абонементу
На этом уроке мы познакомимся с множеством рациональных чисел. Разберём основные свойства рациональных чисел, научимся переводить десятичные дроби в обыкновенные и наоборот.
Мы уже изучили множество\nнатуральных и множество\nцелых чисел. Множество натуральных чисел является частью, подмножеством целых чисел .
Теперь мы изучили и дроби, научились с ними работать. Например, дробьне является целым числом и, уж тем более не является натуральным числом. Значит, нужно описать новое множество чисел, куда будут входить все дроби, дать ему название, чёткое определение и обозначение. Дроби.\nРациональные числа.
Множество рациональных чисел
Начнём с названия. Латинское слово ratio переводится на русский язык как «отношение, дробь». Название нового множества «рациональные числа» и происходит от этого слова. То есть рациональные числа можно назвать дробными числами.
Разберёмся, из каких же чисел состоит это новое множество — множество рациональных чисел. Казалось бы, всё просто: множество рациональных чисел — это множество всех дробей. Например, таких –.
Но такое определение было бы не совсем корректным. Дробь — это не само число, а форма записи числа. Две разные дроби могут обозначать одно и то же число, например: .
Тогда точнее будет сказать, что множество рациональных чисел — это множество чисел, которые можно представить в виде обыкновенной дроби. И это действительно уже почти то самое определение, которое и используют в математике.
Обозначим это новое множество буквой:
— множество рациональных чисел.
А как связаны предыдущие множества натуральных и целых чисел с новым множеством рациональных чисел? Натуральное число 5 можно записать в виде обыкновенной дроби, причём бесконечным числом способов:
А раз его можно представить в виде дроби, то оно тоже является рациональным.
С отрицательными целыми числами аналогичная ситуация. Любое целое отрицательное число можно представить в виде дроби:
А можно ли число ноль представить в виде дроби? Конечно, можно, тоже бесконечным числом способов:
Замкнутость множеств относительно арифметических операцийНеобходимость введения новых чисел — целых, затем рациональных — можно объяснять не только задачами из реальной жизни. Сами арифметические операции подсказывают нам это. Сложим два натуральных числа: 14 + 9 = 23. Результат — снова натуральное число.
Говорят, множество натуральных чисел замкнуто относительно операции сложения ( замкнуто относительно сложения). Самостоятельно подумайте, замкнуто ли множество натуральных чисел относительно умножения.
Как только мы пытаемся вычесть из числа равное ему или большее, то натуральных чисел нам не хватает. Введение нуля и отрицательных целых чисел исправляет эту ситуацию:
3 - 3 = 0
12 - 37 = -25
Множество целых чисел замкнуто относительно вычитания. Мы можем складывать и вычитать любые целые числа, не опасаясь, что у нас не будет числа, чтобы записать результат ( замкнуто относительно сложения и вычитания).
Замкнуто ли множество целых чисел относительно операции умножения? Да, произведение любых двух целых чисел даёт в результате целое число.
Осталось ещё одно действие — деление. Замкнуто ли множество целых чисел относительно деления? Ответ очевиден: нет. Поделим 2 на 7. Среди целых чисел нет такого, чтобы записать ответ, но с помощью дробного числа мы почти всегда можем записать результат деления одного целого числа на другое:
Почему почти? Вспомним, что, по определению, делить на ноль нельзя.
Таким образом, множество рациональных чисел (которое возникает при введении дробей) претендует на роль множества, замкнутого относительно всех четырёх арифметических операций: сложения, вычитания, умножения и деления.
Давайте проверим.
Сумма двух рациональных чисел всегда рациональное число: .
Разность двух рациональных чисел всегда рациональное число: .
Произведение двух рациональных чисел всегда рациональное число: .
Частное двух рациональных чисел – рациональное число, за исключением деления на ноль: .
То есть множество рациональных чисел замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления, исключая деление на ноль.
В этом смысле можно говорить, что множество рациональных чисел устроено «лучше», чем предыдущие множества натуральных и целых чисел. Означает ли это, что множество рациональных чисел — последнее числовое множество, которое мы вводим? Нет. Будут и другие причины для введения новых чисел, например, иррациональных.
Числа — это инструмент, которые человек создавал по мере необходимости.
Понадобилось считать предметы или нумеровать их — появились натуральные числа (N={1,2,3,4,5,…100,…}) (см. рис. 1).
Дальше, когда понадобилось вести денежные расчёты, перед числом стали ставить знаки плюс или минус, показывая, нужно увеличить или уменьшить исходную величину (см. рис. 2). Так появились отрицательные и положительные числа. Новое множество назвали множеством целых чисел (Z={…,-100,-3,-2,-1,0,1,2,3,…,100,…}).
Считать нужно не только целые количества, но и дробные: например, литра воды (см. рис. 3).
Поэтому появляется новый инструмент, новые числа — дроби. Мы их записываем разными эквивалентными способами: обыкновенными и десятичными дробями.
Все числа – «старые» (целые) и «новые» (дробные) – объединили в одно множество и назвали его множеством рациональных чисел ( – рациональные числа )
Таким образом, все натуральные и все целые числа тоже являются рациональными числами. Множества натуральных и целых чисел являются подмножествами множества рациональных чисел
Итак, рациональное число — это число, которое можно представить в виде обыкновенной дроби. Но в математике это определение ещё немного уточняют. Любое рациональное число можно представить в виде дроби с положительным знаменателем, то есть отношением целого числа к натуральному:
Тогда получаем определение:
Рациональное число — число, которое можно представить в виде дроби с целым числителем и натуральным знаменателем:
Десятичные и обыкновенные дроби
Кроме обыкновенных дробей, мы используем и десятичные. Посмотрим, как они связаны с множеством рациональных чисел.
Десятичные дроби бывают трех типов: конечные десятичные дроби, бесконечные периодические и бесконечные непериодические дроби.
Конечные десятичные дроби: после запятой стоит конечное количество цифр: 0,7; -25,784.
Бесконечные периодические дроби: после запятой стоит бесконечное количество цифр, но одна или несколько цифр повторяются.
0,3333333…=0,(3)
14,25789789789…=14,25(789)
Повторяющиеся цифры называют периодом. Для краткости записи его записывают в скобках. Цифры между запятой и периодом называют предпериодом. В первом числе предпериода нет, во втором он равен 25.
Бесконечные непериодические дроби: у таких дробей тоже бесконечное количество цифр после запятой, но периода нет. Примером является десятичная запись числа:
= 3,1415926535897932384626433832795…
Любая конечная десятичная дробь по определению — это обыкновенная дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д.
Прочитаем десятичную дробь вслух и запишем в виде обыкновенной:
Итак, записать конечную десятичную дробь в виде обыкновенной дроби не составляет труда. При обратном переходе от записи в виде обыкновенной дроби к десятичной могут получаться как конечные десятичные дроби, так и бесконечные периодические дроби.
Ниже можно посмотреть, как делать переход от записи в виде обыкновенной дроби к десятичной.
Переход от обыкновенной дроби к десятичнойСамый простой случай, когда знаменатель дроби — это степень десятки: 10, 100, 1000 и т.д. Тогда мы пользуемся определением десятичной дроби:
Есть дроби, у которых знаменатель легко приводится к такому виду:
Перейти к такой записи возможно, если в разложение знаменателя входят только двойки и пятерки.
Знаменатель 40 состоит из трёх двоек и одной пятерки. Каждая 2 и 5 образуют десятку. Значит, нам не хватает двух 5. Домножим числитель и знаменатель на:
Можно было поступить по-другому. Поделить столбиком 3 на 40.
Как видим, результат тот же самый.
Пример
Переведите числов десятичную дробь.
Решение
Знаменатель 3 не удастся превратить в 10, 100 или другое разрядное число, так как в его разложение входит тройка. Остается один способ — делить в столбик.
Такое деление на каждом шаге будет давать 2 в остатке и 6 в частном. Этот процесс бесконечен. То есть получили бесконечную периодическую дробь с периодом 6.
Ответ: 0,(6).
Задания для самостоятельного выполнения
Давайте потренируемся. Переведите обыкновенные дроби в десятичные:
РешениеУмножаем числитель и знаменатель на 5.
Умножаем числитель и знаменатель на 25.
Умножаем числитель и знаменатель на 2.
Знаменатель состоит из трёх двоек. Можно домножить на три пятёрки, получить единицу и нули в знаменателе.
Можно было выполнить и деление в столбик.
В результате получаем тот же самый ответ.
Во всех этих примерах мы получили конечную десятичную дробь, так как в разложении знаменателя были только двойки и пятёрки.
Посмотрим на два оставшихся примера.
В разложение знаменателя входит тройка, значит, привести знаменатель к виду 10, 100 и т.д. не получится.
Делим 5 на 6 в столбик.
Ситуация будет повторяться. В записи результата будет бесконечное число троек. Таким образом, .
Последний пример . Целая часть -4. Она точно такая же будет и в десятичном представлении. Осталось разобраться с дробной частью. Делим 1 на 3 в столбик.
Получаем период 3.
Виды записи дробей.
Итак, любое рациональное число можно представить в виде обыкновенной дроби. Это его определение.
А любую обыкновенную дробь можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
То есть любое рациональное число можно записать конечной или периодической десятичной дробью. При этом конечную дробь тоже можно считать периодической с периодом ноль.
Иногда рациональному числу дают и такое определение тоже:
Рациональное число — это число, которое можно записать в виде бесконечной периодической дроби.
Ниже посмотрите, как периодическую дробь можно записать в виде обыкновенной дроби.
Преобразование периодической дробиРассмотрим сначала дробь, у которой период состоит из одной цифры и нет предпериода.
0,(4)
Обозначим это число буквой А. Метод заключается в том, чтобы получить ещё одно число с таким же периодом:
Это можно сделать, умножив исходное число на 10. Итак, число 10A имеет такой же период. Вычтем из 10A само число A:
Дробные части у чисел одинаковые, они вычтутся одна из другой, и мы получим, в итоге, целое число.
Чтобы убедиться, что мы правильно всё сделали, давайте теперь сделаем переход в обратную сторону, уже известным нам способом —делением в столбик 4 на 9.
В самом деле получаем число в исходной форме с периодом 4.
Рассмотрим число с предпериодом и более длинным периодом:
A = 1,8(25)
Предпериод — 8, период — 25. Метод остается точно таким же, как и в предыдущем примере. Надо получить новое число с таким же периодом и предпериодом такой же длины. Для этого нужно, чтобы запятая сдвинулась вправо на длину периода, т. е. на два знака. Для этого умножим исходное число на 100:
100∙A = 100∙1,8(25) = 100∙1,8252525… = 182,5252525… = 182,5(25)
Вычтем из полученного выражения исходное:
100A-A = 182,5(25)-1,8(25) = 180,7
Периоды вычтутся, останется конечная десятичная дробь.
99A = 180,7
Итак, давайте повторим алгоритм перевода.
Периодическую дробь нужно умножить на число вида 10, 100, 1000 и т. д., в котором столько нулей, сколько цифр в периоде десятичной дроби. Получим новую периодическую дробь.
A = 24,87(356)
1000∙A = 24873,56(356)
Вычтем из одной периодической дроби другую, получим конечную десятичную дробь:
1000A-A = 24873,56(356) - 24,87(356)
999A = 24848,69
Остаётся выразить исходную периодическую дробь в виде обыкновенной.
Для тренировки самостоятельно запишите несколько периодических дробей. По данному алгоритму приведите их к виду обыкновенной дроби. Для проверки на калькуляторе поделите числитель на знаменатель. Если всё верно, то получится исходная периодическая дробь.
Любую конечную десятичную дробь или бесконечную периодическую десятичную дробь можно представить в виде обыкновенной дроби в виде отношения целого и натурального чисел. Значит, любая такая дробь является рациональным числом.
А как обстоит дело с непериодическими десятичными дробями? Оказывается, что их невозможно представить в виде обыкновенных дробей (этот факт мы примем без доказательства). Но, а раз так, они не являются рациональными числами. Их так и называют — иррациональные числа, что означает нерациональные.
Известный нам пример иррационального числа — это число
= 3,1415926535897932384626433832795…
Периода в этой записи нет.
Кроме числаконечно, существует бесконечное количество и других иррациональных чисел. Ими мы с вами займёмся позже. Сейчас ниже вы можете посмотреть, как легко самостоятельно конструировать различные иррациональные числа.
Бесконечные непериодические дробиКак мы уже сказали, рациональное число в десятичной записи — это обязательно или конечная, или бесконечная, но периодическая десятичная дробь. Значит, если мы сможем записать непериодическую десятичную дробь, значит, мы получим пример иррационального числа.
Вот один из способов такого построения:
Дробная часть этого числа состоит только из нулей и единиц. Количество нулей между единицами каждый раз увеличивается на 1. Здесь невозможно выделить повторяющуюся часть. То есть дробь не является периодической.
Используя этот способ, потренируйтесь самостоятельно строить различные непериодические десятичные дроби, то есть иррациональные числа.
Полезные ссылки
Проверь себя
Выберите из данных чисел рациональные: .
Преобразуйте обыкновенную дробь в десятичную: а) , б) , в) .
Преобразуйте периодическую дробь 1,(7) в обыкновенную.
"