Введение
Основные свойства действий с числами:
Первые два свойства – это свойства сложения, следующие два – умножения. Пятое свойство относится к обеим операциям.
Ничего нового в этих свойствах нет. Они были справедливы и для натуральных, и для целых чисел. Они также верны для рациональных чисел и будут верны для чисел, которые мы будем изучать дальше (например, иррациональных).
Перестановочные свойства: 
От перестановки слагаемых или множителей результат не меняется.
Сочетательные свойства: , .
Сложение или умножение нескольких чисел можно делать в любом порядке.
Распределительное свойство: .
Свойство связывает обе операции – сложение и умножение. Также если его читать слева направо, то его называют правилом раскрытия скобок, а если в обратную сторону – правилом вынесения общего множителя за скобки.
Следующие два свойства описывают нейтральные элементы для сложения и умножения: прибавление нуля и умножение на единицу не меняют исходного числа.
Еще два свойства, которые описывают симметричные элементы для сложения и умножения, сумма противоположных чисел равна нулю; произведение обратных чисел равно единице.
Следующее свойство: 
. Если число умножить на ноль, в результате всегда будет ноль.
Последнее свойство, которое мы рассмотрим: 
.
Умножив число на 
, получаем противоположное число. У этого свойства есть особенность. Все остальные рассмотренные свойства нельзя было доказать, используя остальные. Это же свойство можно доказать, используя предыдущие.
Умножение на 
Докажем, что если умножить число на , то получим противоположное число. Используем для этого распределительное свойство: .
Оно верно для любых чисел. Подставим вместо 
числа 
и :
Слева в скобках стоит сумма взаимно противоположных чисел. Их сумма равна нулю (у нас есть такое свойство). Слева теперь . Справа , получаем: 
.
Теперь слева у нас стоит ноль, а справа – сумма двух чисел. Но если сумма двух чисел равна нулю, то эти числа взаимно противоположны. Но у числа 
только одно противоположное число: 
. Значит, 
– это и есть 
: 
.
Свойство доказано.
Такое свойство, которое можно доказать, используя предыдущие свойства, называют теоремой
Почему здесь нет свойств вычитания и деления? Например, можно было бы записать распределительное свойство для вычитания: 
.
Но так как:
- вычитание любого числа можно эквивалентно записать в виде сложения, заменив число на противоположное:
- деление можно записать в виде умножения на обратное число:
Значит, свойства сложения и умножения вполне можно применять для вычитания и деления. В итоге список свойства, которые необходимо запомнить, получается короче.
Свойства рациональных чисел
Все рассмотренные нами свойства не являются исключительно свойствами рациональных чисел. Всем этим правилам подчиняются и другие числа, например, иррациональные. Например, сумма 
и противоположного ему числа 
равна нулю: 
.
Решение примеров
Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.
Рациональные числа в жизни
Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами: длина, вес, температура, количество.
Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.
Например, ваш рост 
м – дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен 
см – это уже целое число (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к примеру
При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.
Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел
Начнем со сложения. Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами. Например:
Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.
Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения, например, следующего выражения:
Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения следующего выражения:
Перейдем к умножению. Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.
Рассмотрим такой пример: 
Если из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю, например: 
.
Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения. Рассмотрим такой пример:
Рассмотрим пример с использованием распределительного свойства. Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко:
Иногда для упрощения вычислений удобно общий множитель вынести за скобку:
Умножение на ноль дает в результате ноль. Верно и обратное утверждение: если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю. Иными словами, не бывает так, чтобы перемножили два или несколько чисел, не равных нулю, и в ответе получили ноль. Это свойство позволяет легко решить некоторые уравнения.
Решение некоторых уравнений
Рассмотрим такие уравнения, где одна часть – это произведение нескольких множителей, а другая – ноль.
В этом уравнении левая часть – произведение трех множителей. Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, получим три уравнения.
Ответ: 
.
При решении таких уравнений нужно быть аккуратным. Кроме того, что один из множителей должен быть равен нулю, все остальные при этом должны иметь смысл.
Рассмотрим такой пример: 
. Если приравнять первую скобку к нулю, получим корень 
.Но при 
второй множитель не определён (деление на ноль не определено). Значит, не имеет смысла и вся левая часть уравнения. Получается, что единственным корнем уравнения будет ноль последней скобки, то есть число 
.
Ответ: .
Список рекомендованной литературы
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. М.: Мнемозина, 2013.
- Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
- Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана – Граф, 2013.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Упростите выражения:
;
2. Выбрав удобный порядок вычисления, найдите значение выражения:
3. Найдите значение выражения:
