Теперь мы перейдем к практической части, решим несколько примеров.

Рациональные числа в жизни

Те свойства предметов, которые мы можем описать количественно, обозначить каким-нибудь числом, называются величинами: длина, вес, температура, количество.

Одну и ту же величину можно обозначить и целым, и дробным числом, положительным или отрицательным.

Например, ваш рост м – дробное число. Но ведь можно сказать, что он равен см – это уже целое число (рис. 1).

Иллюстрация к примеру

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

Еще один пример. Отрицательная температура по шкале Цельсия будет положительной по шкале Кельвина (рис. 2).

Иллюстрация к примеру

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

При строительстве стены дома один человек может ширину и высоту измерить в метрах. У него получаются дробные величины. Все вычисления дальше он будет проводить с дробными (рациональными) числами. Другой человек может все измерить в количестве кирпичей в ширину и высоту. Получив только целые значения, он и вычисления будет проводить с целыми числами.

Сами величины не бывают ни целыми, ни дробными, ни отрицательными, ни положительными. Но число, которым мы описываем значение величины, уже является вполне конкретным (например, отрицательным и дробным). Это зависит от шкалы измерений. И когда мы от реальных величин переходим к математической модели, то работаем с конкретным типом чисел

Начнем со сложения.

1)

Слагаемые можно переставлять так, как нам удобно, и действия выполнять можно в любом порядке. Если слагаемые разных знаков оканчиваются на одну цифру, то удобно сначала выполнять действия с ними. Для этого поменяем слагаемые местами:

2)

Обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями легко складываются.

Противоположные числа в сумме дают ноль. Числа с одинаковыми десятичными «хвостами» легко вычитаются. Используя эти свойства, а также переместительный закон сложения, можно облегчить вычисление значения этого выражения:

3)

Числа с дополняющими друга десятичными «хвостами» легко складываются. С целыми и дробными частями смешанных чисел удобно работать по отдельности. Используем эти свойства при вычислении значения этого выражения:

Перейдем к умножению.

1)

Есть пары чисел, которые легко перемножить. Используя переместительное свойство, можно переставить множители так, чтобы они оказались рядом. Количество минусов в произведении можно посчитать сразу и сделать вывод о знаке результата.

2)

Если один из сомножителей равен нулю, то произведение равно нулю: .

3)

Произведение обратных чисел равно единице, а умножение на единицу не меняет значение произведения:

Рассмотрим примеры с использованием распределительного свойства.

1)

Если раскрыть скобки, то каждое умножение выполняется легко:

2)

Распределительное свойство можно использовать и в другую сторону, как вынесение общего множителя за скобку:

Умножение на ноль дает в результате ноль. Верно и обратное утверждение: если произведение равно нулю, то хотя бы один из сомножителей равен нулю. Иными словами, не бывает так, чтобы перемножили два или несколько чисел, не равных нулю, и в ответе получили ноль. Это свойство позволяет легко решить некоторые уравнения.

Решение некоторых уравнений

Рассмотрим такие уравнения, где с одной стороны находится произведение нескольких множителей, а с другой – ноль.

В этом уравнении левая часть – произведение трех множителей. Произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю. Приравняем каждый множитель к нулю, получим три уравнения.

Ответ: .

При решении таких уравнений нужно быть аккуратным. Кроме того, что один из множителей должен быть равен нулю, все остальные при этом должны иметь смысл.

Рассмотрим такой пример: .

Если приравнять выражение в первых скобках к нулю, получим корень . Но при второй множитель не определён (деление на ноль не определено). Значит, не имеет смысла и вся левая часть уравнения. Получается, что единственным корнем уравнения будет ноль последней скобки, то есть число .

Ответ: .

Список рекомендованной литературы

Математика 5 класс. Виленкин Н. Я., Жохов В. И., Чесноков А. С., Шварцбурд С. И. М.: Мнемозина, 2013.
Математика 5 класс. Ерина Т. М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н. Я. М.: Экзамен, 2013.
Математика 5 класс. Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С., М.: Вентана – Граф, 2013.

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «school-assistant.ru» (Источник)
Интернет-портал «cleverstudents.ru» (Источник)
Интернет-портал «Лена24.рф» (Источник)

Домашнее задание

1. Упростите выражения:

;

2. Выбрав удобный порядок вычисления, найдите значение выражения:

3. Найдите значение выражения: