Введение
Мы уже знаем, что уравнение – это равенство, в котором есть неизвестные (переменные). Пока мы будем говорить только об уравнениях с одной переменной. Рассмотрим уравнение: 
.
Подставим в уравнение вместо неизвестной 
. Получаем 
, неверное равенство.
Аналогичная ситуация возникнет, если подставим двойку: 
.
А вот если подставим тройку, то получим: 
, то есть верное равенство: 
.
Такие значения переменной, при которых уравнение превращается в верное равенство, называют корнями уравнения. То есть число 
является корнем данного уравнения.
А есть ли ещё у этого уравнения корни? Для того чтобы ответить на этот вопрос, надо научиться решать уравнения.
Решить уравнение – значит найти все его корни или доказать, что их нет (например, у уравнения 
нет корней, так как левая часть всегда равна нулю).
Как же найти этот корень (или корни)? Можно пробовать наугад подставлять разные числа и проверять, верное или неверное равенство получилось. Но этот метод больше напоминает поиск «иголки в стоге сена», так как чисел бесконечно много и все перебрать не получится. Значит, нужно научиться преобразовывать ту информацию, которая содержится в уравнении таким образом, чтобы найти его корни.
Начнем с уравнений, которые не вызывают у нас проблем при решении. С одной стороны уравнения переменная, с другой – число: 
.
Ответ: 
.
Ответ: 
.
В самом деле если подставлять вместо 
другие числа, то верного равенства не получишь.
Эквивалентные уравнения
Рассмотрим следующий пример: 
.
Уравнение – это информация о неизвестной переменной. Мы еще не знаем, чему равно , но знаем, что если умножить на и вычесть единицу, то получится 
. Но одну и ту же информацию можно сообщить разными, эквивалентными способами. Если после вычитания единицы будет , значит, до вычитания единицы было 
.Значит, эту же информацию можно записать и так: 
.
Мы еще не нашли корень этого уравнения, но знаем, что он такой же, как и у исходного уравнения. Такие уравнения, которые имеют одинаковые корни, называют эквивалентными.
Уравнение эквивалентно первому, но выглядит проще. Если умножить на , то получится . Но тогда если мы вспомним, что такое деление, то по определению получаем, что 
.
Это опять та же самая информация, но уже в явном виде. Корень этого уравнения 
.
Все уравнения были эквивалентны. Значит,
является корнем и первого уравнения.
В самом деле подставим в первое уравнение вместо переменной. Получили верное равенство:
Ответ: .
Вот мы и получили идею метода решения уравнения. Нужно переписывать исходное уравнение в эквивалентном виде так, чтобы в итоге получилось простейшее уравнение, у которого в одной части переменная, а в другой число.
И остался последний вопрос. Что можно делать с уравнением, как его можно преобразовывать, чтобы новое уравнение было эквивалентно предыдущему?
Рис. 1. Иллюстрация к примеру
Если в двух вазах одинаковое количество яблок (пусть даже неизвестно, сколько точно), то если добавить в каждую по яблока, то количества в обеих снова будут одинаковы (рис. 1).
Такая же ситуация и с уравнением. Уравнение – это равенство двух количеств.
Если к обеим частям уравнения прибавить или от обеих частей отнять одно и то же число или переменную, то полученное уравнение будет эквивалентно исходному: 
.
Договоримся для краткости говорить, что уравнение не изменится (хотя внешне оно уже будет выглядеть иначе).
Эквивалентные преобразования. Перенос слагаемых
Пример 1. Добавить к обеим частям уравнения можно любое число. Но нужно выбрать такое, чтобы уравнение упростилось. Рассмотрим пример: 
.
Смотрим на ту часть, где находится переменная. Если там не будет слагаемого 
, то станет проще (получим в левой части переменную, а такие уравнения мы уже умеем решать). Если к числу прибавить противоположное, то в результате будет ноль. Для числа противоположным является 
. Добавим число к обеим частям уравнения.
Ответ: 
.
Пример 2.
Переменная входит в обе части уравнения. Мы же хотим, чтобы переменная была только в одной части (такие уравнения мы умеем решать). Добавим к обеим частям
:
Ответ: .
Пример 3.
Добавим к обеим частям уравнения 
. Сравним исходное уравнение и полученное. В левой части 
исчезло, а в правой появилось противоположное число . Похоже, что число мы перенесли в правую часть, поменяв у него знак.
Любое слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую, поменяв знак на противоположный (это действие эквивалентно добавлению к обеим частям слагаемого, противоположного перенесённому).
Ответ: 
.
Пример 4.
Перенесем 
в правую часть, а 
– в левую. У обоих слагаемых при этом меняем знак на противоположный.
Ответ: 
.
Эквивалентные преобразования. Домножение и деление
Давайте снова обратимся к нашему опыту. Пусть в двух вазах одинаковое количество яблок. Увеличим количество яблок в каждой в два раза. Будет ли и теперь количество одинаковым? Конечно, будет. А если бы мы уменьшили количество яблок в каждой вазе в три раза? Опять количества остались бы равными.
Так же и с уравнением: если обе части уравнения умножить или поделить на одно и то же ненулевое число, то новое уравнение будет эквивалентно исходному (или мы говорим «не изменится»).
Примеры: 
. Поделим обе части уравнения на : 
.
Ответ: 2.
Умножим обе части уравнения на 
: 
.
Ответ: 
.
Следующий пример: 
.
Разделим обе части уравнения на : 
.
Ответ: 
.
Решим еще несколько уравнений.
Пример 1.
Ответ: .
Пример 2.
Проверка: 
.
Ответ: .
Пример 3.
Ответ: 
.
Заключение
При решении уравнений наша цель – привести исходное уравнение к виду «неизвестная равна числу», в этом случае мы решили исходное уравнение.
Пример:
Для этого мы сначала собираем все слагаемые с неизвестной в одной части уравнения, а остальные – в другой:
Для решения уравнений мы используем следующие эквивалентные преобразования.
- Добавление или вычитание к обеим частям уравнения одного и того же выражения (или, по-другому, перенос слагаемых в другую часть уравнения с изменением его знака):
Или:
- Домножение или деление обеих частей уравнения на одно и то же ненулевое выражение:
1)
2)
Список рекомендованной литературы
- Математика 5 класс. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. М: Мнемозина, 2013.
- Математика 5 класс. Ерина Т.М.. Рабочая тетрадь к учебнику Виленкина Н.Я. М.: Экзамен, 2013.
- Математика 5 класс. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С., М.: Вентана – Граф, 2013.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Домашнее задание
1. Решите уравнения:
1. 
2. 
3. 
2. Решите уравнения:
1. 
2. 
3. 
3. Решите уравнения:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
