Рассмотрим явление: сталкиваются два шара (см. рис. 1).

Рис. 1. Столкновение шаров

Массы и скорости известны, запишем закон сохранения энергии, закон сохранения импульса – задача решена.

Но кто-то может заметить, что шары притягиваются, в них возникают колебания, раздаётся звук и т. д., а мы этого всего в своём решении не учитываем. И тоже будет прав. Как же можно решить задачу абсолютно точно, если таких деталей бесконечное множество?

Невозможно решить задачу, не поставив её. То есть не выделив важное и неважное для данной конкретной задачи. Если наша цель – узнать, как разлетятся шары, то мы должны отбросить лишнее: например, притяжение не важно, потому что скорости большие, а массы небольшие. Колебания внутри шаров, цвет шаров – всё это для ответа на поставленный вопрос не важно, поэтому мы это не учитываем. Получаем простую задачу, которую можем решить.

Мы решаем задачу потому, что знаем конечную цель – что мы хотим узнать. И это позволяет выбрать информацию, которую надо учитывать.

Упрощения в жизни

Мама попросила вас купить хлеба. Задача простая: взяли деньги, сходили в магазин, вернулись с хлебом! Описывая её, вы не уточняете, какие были купюры, светило ли солнце по дороге… Мы опускаем ненужные подробности, нас всегда интересует информация, которая помогает решать поставленные задачи.

Есть люди, которые не умеют отбросить ненужное. Такой человек приезжает в гости и на вопрос: «Как доехал?» расскажет о каждом повороте и светофоре, хотя вопрос задавали из вежливости, ожидая услышать ответ в двух словах и пойти пить чай.

Всё равно абсолютно точным и подробным быть нельзя – на какой-то степени подробности информации придется остановиться. Если герой детектива говорит: «Я знаю о подозреваемом всё», – это формально неправда. Он наверняка не знает, что подозреваемый ел три года назад на завтрак и не назовёт имён его одноклассников – но эта информация детективу и не нужна. Он решает свою задачу и использует нужную для этого информацию.

Рассмотрим такую ситуацию: санки съезжают по снежной горке (см. рис. 2).

Рис. 2. Съезд санок

Эту ситуацию можно уточнять до бесконечности: сколько детей сидит на санках, во что они одеты, как изогнулись полозья. А мы ставим конкретную задачу и думаем, как её решить (см. рис. 3).

Рис. 3. Упрощённая модель движения санок

Например, нам нужно прикинуть скорость у подножия горки: отбрасываем всё лишнее, пишем по закону сохранения энергии:

скорость равна .

Мы не учитывали форму траектории, во что одеты дети, какое трение между полозьями и горкой – для ответа на интересующий нас вопрос это не важно. А вот для того, кто занимается бобслеем, такое решение задачи не подошло бы. Ведь, по нему получается, что все бобслеисты должны приезжать к финишу одновременно. В этом случае нельзя не учитывать трение, так как доля секунды будет влиять на место бобслеиста, поэтому существенно влиять на решение задачи будут такие «мелочи», как обтекаемость одежды спортсмена или его ускорение на повороте.

Действительно ли мы отбрасываем только ненужное?

Когда мы выбираем модель, мы можем не учесть что-то, что окажется важным. В этом и состоит сложность – чтобы решить задачу, нужно отбросить неважное; но узнать, что важно, а что нет, мы можем только после решения задачи.

Рассмотрим такой пример. Сталкиваются три шара, необходимо рассчитать, в каких направлениях они разлетятся (см. рис. 4).

Рис. 4. Столкновение трёх шаров

Описываем их как материальные точки, обозначим т. А, т. В и т. С (см. рис. 5).

Рис. 5. Обозначение материальных точек

Но модель материальной точки не поможет узнать направления, здесь важно, что шары круглые.

А теперь такая ситуация (рисунок). Если шар А сначала столкнулся с В, а потом подлетел шар С, то результат один (см. рис. 6).

Рис. 6. Случай 1

Но если шар С подлетел на долю секунды раньше (см. рис. 7), результат будет совсем другой.

Рис. 7. Случай 2

На эту долю секунды может повлиять вращение шара, материал стола, и это можно упустить. То, что мы упустили, обычно списываем на случайность, и таким случайностям всегда есть место.

Поэтому наша жизнь непредсказуема, как бы нам ни хотелось обратного.

Ещё один пример – поезд: диспетчер при составлении расписания рассматривает поезд целиком как точку на карте, пренебрегая его длиной (см. рис. 8).

Рис. 8. Обозначение диспетчером поезда

Для человека на платформе поезд состоит из вагонов и важно, где какой из них останавливается (см. рис. 9).

Рис. 9. Поезд для человека на платформе

Инженер, изучающий прочность сцепления вагонов, рассмотрит ещё и взаимодействие вагонов при движении (см. рис. 10).

Рис. 10. Сцепление вагонов

У Льва Толстого в эпилоге к роману «Война и мир» есть хороший пример, как разные люди, решая разные задачи, по-разному смотрят на одно и то же.

Разные модели одного и того же у Толстого

«Пчела, сидевшая на цветке, ужалила ребенка. И ребенок боится пчёл и говорит, что цель пчелы состоит в том, чтобы жалить людей. Поэт любуется пчелой, впивающейся в чашечку цветка, и говорит, что цель пчелы состоит во впивании в себя аромата цветов. Пчеловод, замечая, что пчела собирает цветочную пыль и приносит её в улей, говорит, что цель пчелы состоит в собирании меда. Другой пчеловод, ближе изучив жизнь роя, говорит, что пчела собирает пыль для выкармливанья молодых пчёл и выведения матки, что цель её состоит в продолжении рода.

Ботаник замечает, что, перелетая с пылью двудомного цветка на пестик, пчела оплодотворяет его, и ботаник в этом видит цель пчелы. Другой, наблюдая переселение растений, видит, что пчела содействует этому переселению, и этот новый наблюдатель может сказать, что в этом состоит цель пчелы. Но конечная цель пчелы не исчерпывается ни тою, ни другой, ни третьей целью, которые в состоянии открыть ум человеческий. Чем выше поднимается ум человеческий в открытии этих целей, тем очевиднее для него недоступность конечной цели.

Человеку доступно только наблюдение над соответственностью жизни пчелы с другими явлениями жизни. То же с целями исторических лиц и народов».

«Война и мир»

Мир многообразен, но нам не нужно учитывать все процессы, которые в нём происходят. Нам надо решать конкретные задачи. Как движутся санки, сколько автомобилей выдержит мост, как летит самолёт.

Решая задачу о передвижении автомобиля из города в город, мы не обращаем внимания, как «болтается» в баке бензин и как движутся отдельные детали. Мы рассматриваем автомобиль в целом и называем его телом. Можно выделить несколько тел и подробно рассмотреть взаимодействия между ними.

Пример модель движения и взаимодействия нескольких тел

Как описать движение нескольких тел, взаимодействующих между собой?

Это бильярдные шары на столе, это осколки взорвавшегося снаряда, это молекулы вещества (см. рис. 11).

Рис. 11. Система тел

Назовём рассматриваемые объекты системами тел. Воспользуемся таким подходом: применим законы механики к каждому телу системы и посмотрим, как можно их обобщить.

Удобно ввести понятия суммарной силы , действующей на тела системы, суммарной механической энергии системы , суммарного импульса . Выделим силы, с которыми тела взаимодействуют между собой, и назовём их внутренними . Силы, с которыми тела взаимодействуют с другими телами, не входящими в систему, назовём внешними . Мы выведем закономерности, как влияют на движение внешние и внутренние силы, как изменяется суммарная энергия и импульс, как они превращаются внутри системы.

В результате обнаружим, что суммарный импульс системы тел изменяется под действием суммарной внешней силы:

А говоря об энергии системы тел, кроме суммарной кинетической и потенциальной энергий, нужно учитывать потенциальную энергию взаимодействия тел между собой: . Эта запись значит, что нужно взять i-е тело (а мы переберём их все) и сложить энергию его взаимодействия со всеми остальными телами: j = 1, 2, …, кроме самого i-го тела: (см. рис. 12).

Рис. 12. Взаимодействие одного тела со всеми остальными

Результат умножили на , потому что мы каждое взаимодействие посчитали по 2 раза: взаимодействие i-го тела с j-м и j-го с i-м (см. рис. 13).

Рис. 13. Каждое взаимодействие учтено по 2 раза

Мы всё это подробно разберем, и главное, получим удобный инструмент. Достаточно один раз посчитать суммарные силы, импульсы и энергии – и потом можно будет решать множество задач, подставляя нужное количество тел.