Вводный урок по теме «Механика системы тел»

Введение

Здравствуйте!

Мир вокруг нас сложный, а задачи на уроках физики мы решаем простые: об идеально гладких плоскостях, абсолютно упругих ударах и несжимаемых жидкостях. Неужели физика не имеет отношения к реальному миру? Но на самом деле нам и не нужно описывать всю сложность окружающего мира.

Модели и упрощения

Рассмотрим явление: сталкиваются два шара (см. рис. 1).

Рис. 1. Столкновение шаров

Массы и скорости известны, запишем закон сохранения энергии, закон сохранения импульса – задача решена.

Но кто-то может заметить, что шары притягиваются, в них возникают колебания, раздаётся звук и т. д., а мы этого всего в своём решении не учитываем. И тоже будет прав. Как же можно решить задачу абсолютно точно, если таких деталей бесконечное множество?

Невозможно решить задачу, не поставив её. То есть не выделив важное и неважное для данной конкретной задачи. Если наша цель – узнать, как разлетятся шары, то мы должны отбросить лишнее: например, притяжение не важно, потому что скорости большие, а массы небольшие. Колебания внутри шаров, цвет шаров – всё это для ответа на поставленный вопрос не важно, поэтому мы это не учитываем. Получаем простую задачу, которую можем решить.

Мы решаем задачу потому, что знаем конечную цель – что мы хотим узнать. И это позволяет выбрать информацию, которую надо учитывать.

Упрощения в жизни

Мама попросила вас купить хлеба. Задача простая: взяли деньги, сходили в магазин, вернулись с хлебом! Описывая её, вы не уточняете, какие были купюры, светило ли солнце по дороге… Мы опускаем ненужные подробности, нас всегда интересует информация, которая помогает решать поставленные задачи. Есть люди, которые не умеют отбросить ненужное. Такой человек приезжает в гости и на вопрос: «Как доехал?» расскажет о каждом повороте и светофоре, хотя вопрос задавали из вежливости, ожидая услышать ответ в двух словах и пойти пить чай. Всё равно абсолютно точным и подробным быть нельзя – на какой-то степени подробности информации придется остановиться. Если герой детектива говорит: «Я знаю о подозреваемом всё», – это формально неправда. Он наверняка не знает, что подозреваемый ел три года назад на завтрак и не назовёт имён его одноклассников – но эта информация детективу и не нужна. Он решает свою задачу и использует нужную для этого информацию.

Рассмотрим такую ситуацию: санки съезжают по снежной горке (см. рис. 2).

Рис. 2. Съезд санок

Эту ситуацию можно уточнять до бесконечности: сколько детей сидит на санках, во что они одеты, как изогнулись полозья. А мы ставим конкретную задачу и думаем, как её решить (см. рис. 3).

Рис. 3. Упрощённая модель движения санок

Например, нам нужно прикинуть скорость у подножия горки: отбрасываем всё лишнее, пишем по закону сохранения энергии:

скорость равна .

Мы не учитывали форму траектории, во что одеты дети, какое трение между полозьями и горкой – для ответа на интересующий нас вопрос это не важно. А вот для того, кто занимается бобслеем, такое решение задачи не подошло бы. Ведь, по нему получается, что все бобслеисты должны приезжать к финишу одновременно. В этом случае нельзя не учитывать трение, так как доля секунды будет влиять на место бобслеиста, поэтому существенно влиять на решение задачи будут такие «мелочи», как обтекаемость одежды спортсмена или его ускорение на повороте.

Действительно ли мы отбрасываем только ненужное?

Когда мы выбираем модель, мы можем не учесть что-то, что окажется важным. В этом и состоит сложность – чтобы решить задачу, нужно отбросить неважное; но узнать, что важно, а что нет, мы можем только после решения задачи. Рассмотрим такой пример. Сталкиваются три шара, необходимо рассчитать, в каких направлениях они разлетятся (см. рис. 4). Рис. 4. Столкновение трёх шаров Описываем их как материальные точки, обозначим т. А, т. В и т. С (см. рис. 5). Рис. 5. Обозначение материальных точек Но модель материальной точки не поможет узнать направления, здесь важно, что шары круглые. А теперь такая ситуация (рисунок). Если шар А сначала столкнулся с В, а потом подлетел шар С, то результат один (см. рис. 6). Рис. 6. Случай 1 Но если шар С подлетел на долю секунды раньше (см. рис. 7), результат будет совсем другой. Рис. 7. Случай 2 На эту долю секунды может повлиять вращение шара, материал стола, и это можно упустить. То, что мы упустили, обычно списываем на случайность, и таким случайностям всегда есть место. Поэтому наша жизнь непредсказуема, как бы нам ни хотелось обратного.

Ещё один пример – поезд: диспетчер при составлении расписания рассматривает поезд целиком как точку на карте, пренебрегая его длиной (см. рис. 8).

Рис. 8. Обозначение диспетчером поезда

Для человека на платформе поезд состоит из вагонов и важно, где какой из них останавливается (см. рис. 9).

Рис. 9. Поезд для человека на платформе

Инженер, изучающий прочность сцепления вагонов, рассмотрит ещё и взаимодействие вагонов при движении (см. рис. 10).

Рис. 10. Сцепление вагонов

У Льва Толстого в эпилоге к роману «Война и мир» есть хороший пример, как разные люди, решая разные задачи, по-разному смотрят на одно и то же.

Разные модели одного и того же у Толстого

«Пчела, сидевшая на цветке, ужалила ребенка. И ребенок боится пчёл и говорит, что цель пчелы состоит в том, чтобы жалить людей. Поэт любуется пчелой, впивающейся в чашечку цветка, и говорит, что цель пчелы состоит во впивании в себя аромата цветов. Пчеловод, замечая, что пчела собирает цветочную пыль и приносит её в улей, говорит, что цель пчелы состоит в собирании меда. Другой пчеловод, ближе изучив жизнь роя, говорит, что пчела собирает пыль для выкармливанья молодых пчёл и выведения матки, что цель её состоит в продолжении рода. Ботаник замечает, что, перелетая с пылью двудомного цветка на пестик, пчела оплодотворяет его, и ботаник в этом видит цель пчелы. Другой, наблюдая переселение растений, видит, что пчела содействует этому переселению, и этот новый наблюдатель может сказать, что в этом состоит цель пчелы. Но конечная цель пчелы не исчерпывается ни тою, ни другой, ни третьей целью, которые в состоянии открыть ум человеческий. Чем выше поднимается ум человеческий в открытии этих целей, тем очевиднее для него недоступность конечной цели. Человеку доступно только наблюдение над соответственностью жизни пчелы с другими явлениями жизни. То же с целями исторических лиц и народов». «Война и мир»

Мир многообразен, но нам не нужно учитывать все процессы, которые в нём происходят. Нам надо решать конкретные задачи. Как движутся санки, сколько автомобилей выдержит мост, как летит самолёт.

Решая задачу о передвижении автомобиля из города в город, мы не обращаем внимания, как «болтается» в баке бензин и как движутся отдельные детали. Мы рассматриваем автомобиль в целом и называем его телом. Можно выделить несколько тел и подробно рассмотреть взаимодействия между ними.

Пример модель движения и взаимодействия нескольких тел Как описать движение нескольких тел, взаимодействующих между собой? Это бильярдные шары на столе, это осколки взорвавшегося снаряда, это молекулы вещества (см. рис. 11).   Рис. 11. Система тел Назовём рассматриваемые объекты системами тел. Воспользуемся таким подходом: применим законы механики к каждому телу системы и посмотрим, как можно их обобщить. Удобно ввести понятия суммарной силы , действующей на тела системы, суммарной механической энергии системы , суммарного импульса . Выделим силы, с которыми тела взаимодействуют между собой, и назовём их внутренними . Силы, с которыми тела взаимодействуют с другими телами, не входящими в систему, назовём внешними . Мы выведем закономерности, как влияют на движение внешние и внутренние силы, как изменяется суммарная энергия и импульс, как они превращаются внутри системы. В результате обнаружим, что суммарный импульс системы тел изменяется под действием суммарной внешней силы: А говоря об энергии системы тел, кроме суммарной кинетической  и потенциальной  энергий, нужно учитывать потенциальную энергию взаимодействия тел между собой: . Эта запись значит, что нужно взять i-е тело (а мы переберём их все) и сложить энергию его взаимодействия со всеми остальными телами: j = 1, 2, …, кроме самого i-го тела:  (см. рис. 12). Рис. 12. Взаимодействие одного тела со всеми остальными Результат умножили на , потому что мы каждое взаимодействие посчитали по 2 раза: взаимодействие i-го тела с j-м и j-го с i-м (см. рис. 13). Рис. 13. Каждое взаимодействие учтено по 2 раза Мы всё это подробно разберем, и главное, получим удобный инструмент. Достаточно один раз посчитать суммарные силы, импульсы и энергии – и потом можно будет решать множество задач, подставляя нужное количество тел.

Описание движения планет

Можно считать, что планеты движутся по окружности. Какие-то задачи мы сможем решить: например, приблизительно вычислить, сколько будет длиться день и год на планете. А если нужно найти планету с помощью телескопа? Если воспользуемся этой моделью, рассчитаем траекторию, посмотрим в нужную точку: а планеты там нет (см. рис. 14).

Рис. 14. Наблюдение за планетой в телескоп

Почему? Потому что траектория движения планеты отличается от окружности, и при решении данной задачи это стало существенно (см. рис. 15).

Рис. 15. Более точная модель движения планеты

Основываясь на накопленных результатах наблюдений, Иоганн Кеплер сделал вывод: каждая планета Солнечной системы движется по эллипсу (см. рис. 16).

Рис. 16. Движение планет

Эллипс

Возьмём на плоскости две точки. Возьмём нить и привяжем её к этим точкам (см. рис. 17). Если теперь вести карандашом линию так, чтобы нить всё время оставалась натянутой, то получим эллипс. Рис. 17. Построение эллипса Сумма расстояний от любой точки эллипса до двух изначально выбранных точек  будет постоянной и равной длине нити. Точки, к которым привязана нить , назвали фокусами эллипса. Отрезок , соединяющий две точки эллипса и проходящий через фокусы эллипса, называется большой осью. Отрезок , соединяющий две точки эллипса, перпендикулярный большой оси и проходящий через её середину, называется малой осью (см. рис. 18). Рис. 18. Фокусы, большая и малая оси эллипса Если разделить расстояние между фокусами эллипса на длину его большой оси, получим эксцентриситет эллипса : Чем ближе эксцентриситет к нулю, тем ближе эллипс к окружности (см. рис. 19). Рис. 19. Эксцентриситет, близкий к нулю Если эксцентриситет нулевой, значит, расстояние между фокусами нулевое, они совпадают в одной точке, и это центр окружности (см. рис. 20). Рис. 20. Эксцентриситет равен нулю Если эксцентриситет стремится к единице, эллипс вытягивается в отрезок (см. рис. 21). Рис. 21. Эксцентриситет равен единице

В одном из фокусов эллипса находится Солнце. Эксцентриситет этих эллипсов небольшой, они близки к окружностям, но отличия есть. И при решении некоторых задач это важно.

Кроме формы орбиты, Кеплер получил численные закономерности:

Первое уравнение показывает: когда планета находится в дальней от Солнца точке траектории ( великό), её скорость уменьшается ( малό), и наоборот. Второе уравнение связывает период обращения планеты вокруг Солнца T с размерами орбиты ( – длина большой полуоси эллипса).

Позже эти уравнения были выведены из законов Ньютона (основных законов динамики и закона всемирного тяготения). Как – мы рассмотрим подробнее на уроках данного раздела. Главное, что мы получили простые закономерности, которые можно как инструмент применять к небесным телам, не выводя каждый раз заново.

Описание движения жидкостей

Для задачи о траектории движения планеты вокруг Солнца подойдёт модель материальной точки. Так же, как и для задачи о периоде вращения Луны вокруг Земли.

А вот для того чтобы объяснить приливы и отливы, оказалось необходимым учитывать размеры самой Земли. Расстояние до Луны отличается в разных точках Земли, значит, вода по-разному притягивается к Луне. Вместе с движением Земли и Луны (см. рис. 22) это вызывает приливы и отливы.

Рис. 22. Приливы и отливы

В узких проливах, таких как Ла-Манш, приливы вызывают сильные течения (см. рис. 23).

Рис. 23. Сильные течения в проливе

И быстрые горные реки всегда уже, чем медленные полноводные реки равнин. Как эти течения описать?

Такое же явление мы наблюдаем, когда перекрываем кран: чем меньше оставляем отверстие, тем больше скорость воды и тем дальше бьёт струя – до какого-то предела (см. рис. 24).

Рис. 24. Перекрывание воды

Потом вода начинает сочиться по капле через маленькое отверстие (см. рис. 25).

Рис. 25. Через узкое отверстие вода течет по каплям

Почему так? Дело в том, что вода обладает вязкостью: слой молекул у стенки сосуда «прилипает» к стенке (см. рис. 26), следующий слой молекул «цепляется» за предыдущий. Из-за этого возникает область вблизи стенок сосуда, в которой жидкость движется медленно.

Рис. 26. Вязкий слой жидкости у стенок сосуда

Когда отверстие узкое и эта область занимает его полностью (см. рис. 27), вода сочится по капле. Когда отверстие широкое, на эту область можно не обращать внимания.

Рис. 27. Узкое и широкое отверстия

Вторую модель мы рассмотрим подробнее на уроках данного раздела.

Модель течения жидкости

Чтобы описывать течение, введём понятия линии тока и трубки тока. Линия тока – линия, в каждой точке которой вектор скорости направлен по касательной (см. рис. 28). Рис. 28. Линия тока Трубка тока – часть объёма жидкости, ограниченная линиями тока (см. рис. 29). Рис. 29. Трубка тока Мы рассматриваем задачу, когда можно пренебречь сжатием жидкости и её вязкостью. В такой модели сколько жидкости втекает с одного конца трубки, столько же вытекает из противоположного. Это даст нам условие неразрывности: Произведение площади поперечного сечения трубки тока на скорость течения жидкости постоянно для данной трубки тока. Мы также свяжем в одном уравнении скорость течения жидкости : - с перепадом высот  вдоль трубки тока жидкости; и - с разностью давлений  в трубке тока. На одном из уроков мы подробно разберём перечисленные понятия и получим это уравнение, пока что запишем результат: Это уравнение напоминает закон сохранения энергии: если умножить обе части уравнения на объём , получим , , а  имеет размерность работы некоторой силы, создающей давление. Это простой и мощный инструмент решения задач о течении жидкостей, пока мы можем считать их несжимаемыми и вязкими. Можно спроектировать водопровод, исследовать кровоток в здоровых и закупоренных артериях.

Итог

При решении задач мы всегда что-то упрощаем, чем-то пренебрегаем, выделяем важное. Словом – создаем модель. Когда модель создана, остаются вычисления, которые может выполнить компьютер. Но выделить в задаче «важное» может только человек.

Мы начали урок с задачи о столкновении шаров (см. рис. 1). Компьютер проведёт вычисления, но он не задумается, учитывать ли гравитацию. Он не задумается, что столкновение может быть под любым углом. Мы сами решаем, вносить ли это в алгоритм. В этом человек пока незаменим.

На этом урок окончен, спасибо за внимание!

 

Список литературы

1. Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: Справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
2. Мякишев Г.Я., Буховцев Б.Б. Сотский Н.Н. Физика 10 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни – 19-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 374 с.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-портал «spacegid.com» (Источник)  
2. Интернет-портал «fizmat.by» (Источник)
3. Интернет-портал «sernam.ru» (Источник)  

 

Домашнее задание

1. Какими траекториями можно описать движение планет вокруг Солнца? Какие опишут более точно?
2. Что такое эксцентриситет эллипса? Если эксцентриситет близок к нулю, то какую форму принимает эллипс?
3. Что такое внешние и внутренние силы при рассмотрении системы тел?
4. Запишите закон сохранения импульса для двух сталкивающихся шаров в векторной форме.