Закон всемирного тяготения позволяет описывать не только падение тел на землю, но и движение планет, звезд, приливы, отливы и множество других универсальных явлений, которые протекают в природе. Попробуем восстановить ход рассуждений Ньютона, а он получил математическую формулу, описывая движение Луны вокруг Земли, и тоже получить закон всемирного тяготения.

Если Земля сообщает любому телу, находящемуся на ее поверхности, ускорение свободного падения g, которое, как мы знаем, по модулю равно g = 9,8 , то Луне притяжение Земли сообщает центростремительное ускорение. Запишем некоторые характеристики.

Радиус Земли (он нам понадобится в расчетах) R₃= 6370 км, орбиты Луны R_Л= 384000 км, период обращения Луны вокруг Земли, так называемый лунный месяц Т = 27,3 суток.

Воспользуемся этими данными и рассуждениями для дальнейших выводов.

Ньютон предположил, что сила, с которой Земля притягивает те или иные объекты, зависит от расстояния между объектом и центром Земли. Известно, что расстояние от Луны до центра Земли примерно в 60 раз больше чем радиус Земли, т. е. расстояние от любого тела находящегося на поверхности Земли.

А во сколько же раз отличается ускорение, приобретаемое телами в результате такого притяжения? Для начала рассчитаем ускорение, которое приобретает Луна в результате своего притяжения Землей. Ускорение, которым обладает любое тело, находящееся на поверхности Земли, вы и так хорошо знаете, это ускорение свободного падения.

Переходим к расчетам.Центростремительное ускорение Луны, вызванное притяжением Земли, может быть рассчитано по формуле:

Угловая скорость нам не известна, но мы прекрасно знаем, что угловая скорость связана с периодом вращения таким соотношением:

Получим:

Само по себе это значение может ничего нам не говорить, но сравним его с величиной ускорения свободного падения g = 9,8 и тоже вызванной земным притяжением. Итак, находим отношение:

Почему выделяем именно 60²? Дело в том, что Луна по отношению к поверхности Земли расположена как раз на расстоянии приблизительно в 60 раз больше, чем сам радиус Земли.

На тот момент из исследований Галилео Галилея было хорошо известно, что ускорение, приобретаемое телами в результате притяжения Землей, не зависит от их массы, т. е. если яблоко у поверхности Земли обладает ускорением 9,8, вызванным земным притяжением:

то, помещенное на орбиту Луны, оно будет обладать точно таким же ускорением, как и Луна, т. е. в 3600 раз меньшим, чем ускорение свободного падения у поверхности Земли:

Исходя из наших расчетов, мы с вами получаем, что сила, с которой Земля притягивает Луну, обратно пропорциональна квадрату расстояния между центрами этих объектов:

Кроме этого, из второго закона Ньютона мы знаем, что сила прямо пропорциональна массе объекта. Т. е. в данном случае сила прямо пропорциональна массе Луны или другого небесного тела:

Из третьего закона Ньютона мы знаем, что сила действия вызывает аналогичное противодействие, направленное в противоположную сторону, значит, сила взаимодействия между Землей и Луной будет пропорциональна не только массе Луны, но и массе Земли тоже:

Объединяя все это в одну пропорциональность, мы можем получить, что сила, с которой взаимодействуют Земля и Луна, пропорциональна произведению их масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

А если обобщать и говорить не только о Земле и Луне, то запишем аналогичную пропорциональность, но уже для двух произвольных масс. Итак, сила взаимодействия между ними пропорциональна произведению этих масс и обратно пропорциональна квадрату расстояния между этими телами:

Если же перейти к строгому равенству, то мы получаем ту самую формулировку, которая впервые появилась в знаменитом труде Ньютона «Математические начала натуральной философии» (1687) и носит название закона всемирного тяготения.

Формулировка

Закон всемирного тяготения: тела притягиваются друг к другу с силой, модуль которой пропорционален произведению их масс и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей центры тел.

Математическая запись этой формулы

Как Луна влияет на Землю

Несмотря на то, что Луна расположена от Земли достаточно далеко, расстояние составляет порядка 400 000 км, ее влияние на Землю все-таки весьма ощутимо. Итак, поговорим о том, как Луна влияет на вес тел, находящихся на Земле. Сразу оговоримся: мы не будем учитывать влияние Солнца и других небесных тел, так как оно по сравнению с влиянием Луны значительно меньше.

Мы не будем сейчас вдаваться в детальные подробности того, как мы получили те данные, о которых сейчас поговорим, а остановимся лишь на результате. Если подсчитать, воспользовавшись законом всемирного тяготения, влияние Луны на вес тел на Земле, то окажется что в наиболее близкой к Луне и в наиболее удаленной от Луны точках земной поверхности вес тела несколько уменьшается, а в точке, лежащей на средней линии, вес тела немного увеличивается. При этом изменение веса, показанное на рисунке 4 красным цветом, в два раза меньше, чем изменение веса, показанное на рисунке 5 также красным цветом, для точек наиболее близкой и наиболее удаленной.


Рис. 4. Изменение веса в зависимости от расстояния до Луны	Рис. 5. Изменение веса в зависимости от расстояния до Луны

Если бы Луны вообще не было на земной орбите, то вес тела уменьшился бы совершенно незначительно. Если перейти от ньютонов к единицам ускорения , то эта величина составляла бы всего лишь 0,0001 . По сравнению, например, с ускорением свободного падения 10 (мы здесь его округлили от 9,8 до 10), вы видите, что разница составляет порядка одной стомиллионной доли. Немного? Да, немного, но если сравнивать с радиусом Земли те изменения, которые привносит такое небольшое измерение ускорения в результате отсутствия Луны, то мы получим, что Rз = 6400 км. И эти стомиллионные доли изменения приводят к тому, что высота уровня воды в точках, показанных на рис. 4, поднимается на 54 см, в точках, показанных на рис. 5, она падает на 27 см (см. рис. 3).

Речь идет о явлении приливов и отливов. Именно Луна определяет наличие приливов и отливов на Земле.

Благодаря вращению Земли места подъемов и опусканий уровня воды постоянно перемещаются. Именно такие постоянные перемещения мы и ощущаем в виде приливов и отливов. Конечно же, приливы и отливы зависят и от географического места на Земле, например, на Черном море или на Каспийском море приливы практически не наблюдаются, однако в Охотском море есть бухта, в которой высота приливных волн достигает нескольких метров.

Еще одно интересное влияние Луны на Землю – в результате приливов и отливов, волна, которая бежит вдоль земли трется о поверхность земли и, значит, несколько замедляет вращение Земли. Интересно, что тот факт, что мы всегда видим Луну повернутой к нам одним боком, тоже предопределил теперь уже влияние Земли на Луну.