Классы
Предметы

Кинематика и динамика. Практика. Базовый уровень

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 150 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Кинематика и динамика. Практика. Базовый уровень

Сегодня мы потренируемся решать задачи по темам «Кинематика» и «Динамика», в которых описано равномерное и равноускоренное движение, движение по окружности, а также взаимодействие тел.

Алгоритм решения задач. Задача 1

При решении задач мы будем придерживаться нашей стандартной схемы, которую мы применяем к задачам курса физики:

  1. Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
  2. Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
  3. Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.

Используя новые, усовершенствованные математические инструменты, мы можем решать более широкий круг задач. Приступим.

Задача 1. Пловец переплывает реку шириной 50 м, направляясь перпендикулярно берегу и не обращая внимания на течение реки. Найдите перемещение пловца относительно земли, если скорость течения равна 0,3 м/с, а скорость пловца относительно воды – 0,5 м/с.

Анализ условия. В задаче описано движение пловца в воде, которая сама движется относительно земли. Будем применять закон сложения скоростей. Запишем его для нашей задачи:

Движение пловца и течение реки будем считать равномерным, ничего другого не сказано. Поэтому описывать его будем уравнением:

Физическая часть решения задачи

Начертим рисунок (рис. 1).

Рис. 1. Условие задачи 1

Пловец плывет, не учитывая течение, то есть его скорость относительно воды направлена перпендикулярно берегу. Скорость течения реки направлена вдоль берега. Скорость пловца относительно земли мы уже записали, это сумма векторов, начертим ее по правилу параллелограмма (см. рис. 1).

В задаче идет речь о перемещениях: перемещение пловца относительно реки нужно найти, можем записать сразу без векторов, нам сейчас нужно связать численные значения:

А перемещение пловца в системе отсчета, связанной с водой, – это ширина реки, запишем:

Время в обоих уравнениях – это одно и то же время, на протяжении которого пловец плыл. Физика на этом закончилась, мы описали движение с помощью уравнений, и перед тем как начать их решать, запишем еще одно, для модуля скорости . Так как векторы образуют прямоугольный треугольник, можем применить теорему Пифагора:

Решим полученную систему уравнений в ответвлении.


 

Математическая часть решения задачи 1

Получили систему уравнений:

Выразим из третьего уравнения время t:

Подставим полученное время и скорость из первого уравнения во второе:

Осталось подставить численные значения, они в условии задачи даны в СИ, и получить ответ:

Задача решена.


Задача 2

Задача 2. Уравнение движения тела задано в виде , где все величины заданы в СИ. Определите начальную скорость и ускорение движения тела, а также координату и скорость движения тела через 6 с.

Анализ условия. В задаче описано равноускоренное движение тела, так как оно по условию задачи описано с помощью квадратичной функции. Равноускоренное движение мы описываем с помощью уравнений:

В условии задачи описано движение вдоль одной оси, х, поэтому сразу перепишем уравнения:

Физическая часть решения задачи

По порядку ответим на вопросы задачи. Начальная скорость тела, как мы видим из уравнения  в общем виде, – это множитель при . В заданном по условию уравнении этот множитель равен 9 м/с (т. к. величины указаны в СИ). Так и запишем: .

Множитель при  равен , и в заданном уравнении он равен . Значит,

Зная начальную скорость и ускорение, можем записать зависимость :

У нас есть зависимости и , с помощью которых можно узнать координату и скорость тела в любой момент времени, в том числе через 6 с после начала движения. Просто подставим в зависимости  и получим:

Математическую часть решения выделять отдельно не будем, мы сделали простые вычисления попутно с физической частью.

Задача 3

Задача 3. С каким промежутком времени оторвались от карниза две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между ними было 25 м? Трением о воздух пренебречь.

Анализ условия. В задаче описано движение капель под действием только силы тяжести, трением воздуха сказано пренебречь. В таких условиях тела движутся с постоянным ускорением – ускорением свободного падения, направленным вниз. Как обычно, будем применять уравнения для равноускоренного движения:

Физическая часть решения задачи

Рис. 2. Условие задачи 3

Выберем систему координат. Речь идет о падении капель вертикально вниз, поэтому можно ограничиться одной осью координат. Направим ее в направлении движения капель, а начало координат удобно совместить с карнизом. В условии задачи не все однозначно с отсчетом времени, определимся. Речь идет о моменте времени через 2 с после начала падения второй капли, поэтому начало падения второй капли и примем за ноль.

Запишем уравнения движения капель сразу в проекциях на ось .

Начнем со второй капли: она оторвалась без начальной скорости из точки , а ее ускорение – это ускорение свободного падения, сонаправленное с осью координат. Запишем:

Первая капля оторвалась из той же нулевой начальной координаты, тоже без начальной скорости, но так как она оторвалась на какое-то время раньше (обозначим его , его как раз нужно найти), то она находится в полете на  дольше, то есть:

В момент времени  расстояние между каплями равно 25 м, обозначим его . Расстояние между каплями – это разность из координат:

Полученную систему уравнений можно решить, в ней три уравнения и три неизвестных, так что выражение для скорости нам даже не понадобилось.


 

Математическая часть решения задачи 3

Запишем полученную систему уравнений:

Подставим в третье уравнение выражения из первых двух:

Возведем скобку в квадрат:

Чтобы было удобнее решать уравнение, подставим значения, ускорение свободного падения примем равным :

Разделим обе части на 5:

Решения этого уравнения – 1 с и –5 с. Ответ –5 с отбрасываем, потому что, если первая капля оторвалась на –5 секунд раньше, значит, она оторвалась на 5 секунд позже, а это не подходит под нашу модель. Поэтому оставляем ответ: интервал между отрывом капель составим 1 с.

Задача решена.


Задача 4

Задача 4. Первый искусственный спутник Земли («Спутник-1») делал полный оборот вокруг Земли за 1 час 36 минут. Найдите радиус его орбиты.

Анализ условия. В задаче описано движение спутника по круговой орбите (а значит, движение с центростремительным ускорением) под действием одной силы – силы притяжения к Земле. Будем использовать второй закон Ньютона, а силу гравитационного взаимодействия с Землей найдем по закону всемирного тяготения. Массу и радиус Земли можно узнать из справочника.

Физическая часть решения задачи

Рис. 3. Условие задачи 4

Запишем по второму закону Ньютона, как связана сила, действующая на спутник со стороны Земли, с его ускорением. С направлениями нам все понятно, запишем сразу по модулю:

Центростремительное ускорение мы умеем находить, оно равно:

Сила гравитационного притяжения, по закону всемирного тяготения, равна:

где m и M – массы спутника и Земли соответственно.

 – это радиус орбиты, который нам нужно найти, и расстояние между центрами спутника и Земли.

В условии задачи дано время полного оборота спутника вокруг Земли, то есть период вращения. Запишем, как связан период с линейной скоростью спутника. Спутник за время T проходит путь, равный длине орбиты . Значит, скорость, по определению, равна:

Получили систему уравнений, математическая часть решения – в ответвлении.


 

Математическая часть решения задачи 4

Запишем полученную систему уравнений:

Система простая, подставим силу и ускорение из второго и третьего уравнений в первое:

Выразим скорость спутника:

Подставим скорость в четвертое уравнение:

Вычислим, переведя 1 час 36 минут в секунды. Это 60 + 36 минут или (60 + 36) * 60 секунд.

Задача решена. Используя округления при подсчетах, получили приблизительно 6967 км, что примерно соответствует реальным данным «Спутника-1», можете найти в открытых источниках и сравнить.


Задача 5

Задача 5. Тело массой  движется по поверхности стола под действием силы , направленной под углом  к горизонтали (рис. 4). Коэффициент трения скольжения между телом и поверхностью стола равен . Найдите вес тела и его ускорение.

Анализ условия. В задаче описано прямолинейное движение под действием нескольких сил. По второму закону Ньютона, ускорение тела прямо пропорционально равнодействующей сил, действующих на тело.

Физическая часть решения задачи

Рис. 4. Условие задачи 5

На тело действуют сила тяжести , сила реакции опоры , в условии задана сила , с которой тащат тело, и задан коэффициент трения – это подсказка, что силу трения  тоже учитываем, она по модулю равна:

Изобразим перечисленные силы на рисунке. Нужно найти вес тела – это сила, с которой тело действует на опору. По третьему закону Ньютона, вес равен по модулю силе реакции опоры, с которой опора действует на тело. Мы описываем движение тела, значит, будем записывать силы, которые действуют на это тело, и поиск веса тела сведем к поиску силы реакции опоры.

Выберем систему координат. Удобно направить ось  вертикально вверх, а ось  – в направлении движения бруска. Применим второй закон Ньютона:

Запишем в проекциях на выбранные оси координат. Сначала в проекции на ось . Проекции сил тяжести и реакции опоры равны нулю, силы трения направлена против оси , ее проекция будет со знаком минус:

В проекции на ось :

Тело движется вдоль поверхности, поэтому проекция ускорения равна нулю, как и силы трения. На записи второго закона Ньютона в проекциях на выбранные оси координат физика закончилась. Осталось решить систему уравнений, математическая часть решения в ответвлении.


 

Математическая часть решения задачи 5

Получили систему уравнений, запишем сразу с силой трения:

Выразим из второго уравнения силу реакции опоры:

Вес по модулю равен силе реакции опоры, поэтому его мы только что нашли.

Подставим  в первое уравнение:

Разделим обе части уравнения на :

Задача решена.


 

Список литературы

  1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. В.А. Касьянов. Физика 10. – М.: Дрофа, 2000.
  3. М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. Физика: Механика 10. – М.: Дрофа, 2004.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «Класс!ная физика»
  2. Интернет-портал «Класс!ная физика»

Домашнее задание

  1. Определите силу, под действием которой тело с массой 5 кг движется по закону  . Единицы измерения заданы в СИ.
  2. Тело прижимают к горизонтальной поверхности с силой 10 Н и одновременно с этим тянут горизонтально с силой 17 Н. Под каким углом к горизонту направлена равнодействующая этих двух сил?
  3. Найдите радиус земной орбиты, считая её круговой. Массу Солнца найдите в справочнике.