Классы
Предметы

Динамика материальной точки. Базовый уровень

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 150 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Динамика материальной точки. Базовый уровень

На данном уроке мы вспомним основные законы и формулы динамики, подкрепив их новыми формулами и понятиями, а также решим несколько задач, чтобы научиться применять эти знания на практике.

Модель и инструменты динамики

Земля, как и остальные планеты Солнечной системы, вращается вокруг Солнца. Мы уже можем это объяснить: движение по окружности – это движение с центростремительным ускорением, а ускорение, как мы помним из младших классов, создается при взаимодействии тел. Солнце действует на Землю посредством гравитации, и Земля удерживается гравитационной силой на своей орбите (см. рис. 1).

Рис. 1. Движение Земли с центростремительным ускорением

Мы привыкли к такому объяснению, и оно нам кажется естественным. Но обратим внимание на масштабы Солнечной системы. Кажется, что это плотное скопление планет и других космических объектов (спутников планет, астероидов и т. д.) вокруг Солнца. Заглянем в справочник и сравним размеры Солнца и планет Солнечной системы с расстояниями между ними (см. рис. 2).

Рис. 2. Размеры планет Солнечной системы и расстояние между ними

Окажется, что это скопление не такое уж и плотное, пустота заполнена планетами реже, чем кажется. Для сравнения, если уменьшить Солнце до размеров яблока с диаметром 10 см, то Земля будет размером с круглую песчинку диаметром около миллиметра и находиться она будет от Солнца на расстоянии чуть больше 10 м. И это Земля, третья по расстоянию от Солнца планета. А Плутон, еще более мелкая песчинка, будет на расстоянии около 400 метров от нашего яблока (см. рис. 3).

Рис. 3. Аналогия размеров планет и Солнца относительно расстояния между ними

Трудно представить, чтобы это яблоко-Солнце так сильно влияло на песчинку-Землю, которая находится в 10 метрах от яблока (на разных концах небольшого бассейна). Но зато это сравнение помогает понять, какую огромную энергию должно выделять Солнце, чтобы она доходила до Земли и создавала условие для жизни живым организмам.

Вернемся к механике. На движение планет влияют все небесные тела, учесть все взаимодействия невозможно. Но мы уже неоднократно говорили, что учесть всё мы не можем, да это и не нужно. В жизни не бывает задач без конкретной привязки, всегда есть цель. А раз есть цель, то ясна и необходимая точность решения задачи. Задача физики – разработать модель, которая будет решать данную задачу с необходимой точностью. Оказывается, движение планет определяется взаимодействием с Солнцем, и это можно посчитать. В самой простой модели мы учитываем только взаимодействие Земли и Солнца. В более сложной модели можно учесть действие других планет.

А если перед нами другая задача, например, рассчитать движение двух шаров после столкновения? В такой задаче мы не будем учитывать ни Солнце, ни более близкую к Земле Луну, ни притяжение шаров друг к другу. Хотя, если масштабировать размеры и расстояния, шары находятся близко друг к другу и окружены множеством других объектов, в отличие от Земли и Солнца в относительно пустом космическом пространстве.

Как и в задаче с движением планет, мы не будем рассматривать взаимодействие шаров со всеми окружающими объектами, это невозможно и не нужно – так мы не решим ни одну задачу. Мы воспользуемся простой моделью: взаимодействие одного рассматриваемого тела с несколькими другими (остальные отбросим, так как посчитаем, что их влияние на движение данного тела незначительное). Чтобы рассматривать такую простую модель, нужны инструменты: понятия массы, силы, математические инструменты, такие как сложение сил.

Речь поведем о причинах движения. Несколько моделей, позволяющих описать движение, мы рассмотрели и выделили их в раздел механики – кинематику. Там мы говорили: тело движется с такой-то скоростью, с таким-то ускорением. Но не уточняли, почему оно так движется, при каких условиях его скорость не меняется или меняется именно так. И как эти условия количественно описать: разогнать многотонный танкер и двухметровый плот до скорости 1 м/с – это разные ситуации, хотя в модели кинематики это объекты, которые движутся с одной и той же скоростью 1 м/с. Модели, которые помогают описать причины, определяющие характер движения, мы выделили в раздел механики – динамику.

Вы можете вспомнить, как мы вводили понятия массы тела и силы взаимодействия. Мы тогда определили взаимодействие тел как причину изменения их скоростей. Очевидно, что изменить скорость разных тел не одинаково легко: мы уже упоминали танкер и плот. Вот это свойство тел, что при воздействии на тело его скорость изменяется не мгновенно, назвали инертностью, а меру инертности назвали массой (см. рис. 4).

Рис. 4. Проявление инертности у тел с разной массой

Сравнивать массы, а значит, и измерять их, сравнивая с эталоном, решили по изменению скорости при одном и том же воздействии на тело на протяжении одного и того же времени:

А так как мы задали скорость как вектор, то в общем случае изменение скорости тоже вектор и сравнивать мы можем их модули:


 

Инерциальная и гравитационная массы

Мы говорим об инертных свойствах тел. Для этих свойств придумали меру – это масса. Чем больше масса тела, тем труднее изменить его скорость, это понятно. Конечно, измерять массу по изменению скорости не всегда удобно. Все знают: чтобы сравнить массы тел, достаточно положить их на весы. Мы измеряем, как сильно тело притягивается к Земле. Будет ли правильным, что мы измеряем массу, меру инертности, но ни о какой инертности при взвешивании речь не идет, ничто не разгоняется? Оказывается, да.

Помимо меры инертности, у массы есть еще одно проявление, она одновременно является мерой другого свойства тел – способности притягиваться. Любые два тела притягиваются, и сила притяжения зависит от масс обоих тел. Такое взаимодействие называют гравитационным.

Получается, масса является мерой одновременно инертных и гравитационных свойств, иногда даже говорят отдельно об инерциальной и гравитационной массах, подчеркивая, о какой именно мере говорят. Тем не менее при самом точном, какое только может позволить современная техника, измерении массы по инертным и по гравитационным свойствам получается один и тот же результат. Поэтому, взвешивая, по гравитационным свойствам тела мы тоже правильно определим массу.


Мы определили массу, используя инструмент из кинематики – скорость. В дальнейшем мы будем также использовать ускорение – оба этих инструмента мы вводили для материальной точки. Поэтому мы и дальше будем говорить о динамике материальной точки. В этой модели мы однозначно задаем расстояния между точками, их координаты, скорости и т. д.

Причиной движения является воздействие одного тела на другое. Меру воздействия назвали силой. Величина силы позволяет количественно оценивать: это тело действует сильнее, а это слабее во столько-то раз. Силу мы определили как изменение скорости тела с единичной массой, которое происходит за единицу времени:

Законы Ньютона

Когда мы говорим о массе и силе, главных инструментах динамики, мы связываем их с изменением скорости. А скорость относительна, мы не можем задать скорость без системы отсчета. Но вот изменение скорости не будет зависеть от системы отсчета, если она движется с постоянной скоростью (потому что скорость движения самой системы будет как в начальной, так и в конечной скорости движения тела, поэтому на разницу этих скоростей влиять не будет). То есть ускорение уже не будет относительным (см. рис. 5).

Рис. 5. Изменение скорости в разных системах отсчета одинаково

Рассмотрим автомобиль, который едет по платформе вагона со скоростью  относительно вагона (см. рис. 6). Сам вагон едет относительно земли со скоростью .

Рис. 6. Пример перехода между системами отсчета

Совместим начало отсчета в обеих системах с точкой, из которой автомобиль начал движение. За время  автомобиль совершит перемещение по платформе , и его радиус-вектор в системе отсчета , связанной с вагоном, будет равен:

А относительно Земли сама система отсчета  за это же время совершила перемещение со своей скоростью, . Тогда радиус-вектор автомобиля в системе отсчета , связанной с Землей, будет равен:

Это выражение, которое связывает переход от одной системы отсчета к другой, называют преобразованиями Галилея. Обратите внимание, что система отсчета  движется относительно  с постоянной скоростью.

Время в разных системах отсчета, согласно преобразованиям Галилея, является единым: . Мы уже говорили об этом ограничении модели классической механики, оно выполняется при скоростях, намного меньших скорости света. Тогда можно разделить обе части уравнения на время и получить уже знакомый нам закон сложения скоростей:

Теперь проследим, как происходит взаимодействие тел в разных системах отсчета. Взаимодействие тел проявляется в изменении скорости: мы сравнивали массы по изменению скорости, мы задали силу через изменение скорости. Сравним, как эти процессы описываются в разных системах отсчета.

Предположим, мы описали взаимодействие тел в одной системе отсчета. В ней изменение скорости обозначим , это конечная скорость минус начальная скорость в этой системе отсчета:

Перейдем ко второй системе отсчета, относительно которой первая движется со скоростью . В этой системе отсчета начальную и конечную скорости найдем по закону сложения скоростей:

То есть если скорость системы отсчета  постоянна, начальная скорость равна конечной, то изменение скорости в таких системах отсчета одинаково. А значит, мы одинаково опишем силы, пронаблюдаем инерцию, найдем меру инертности – массу, то есть законы классической динамики выполняются одинаково, независимо от выбранной системы отсчета.

Четко сформулируем вывод, к которому мы пришли: если у нас есть система отсчета, для которой мы выявили некоторые закономерности (законы динамики), то эти же закономерности будут выполняться одинаково во всех других системах отсчета, которые движутся с постоянной скоростью относительно первой (или покоятся, нулевая скорость тоже постоянная скорость).

В этом состоит принцип относительности Галилея. Но в этой модели кое-чего не хватает. Она показывает: если законы динамики выполняются в одной системе отсчета, то они одинаково выполняются в других таких же. А таких же – это каких? Мы безболезненно переходим между системами отсчета, но не определена такая система отсчета, от которой изначально переходить к другим. Этот пробел заполнил Исаак Ньютон в первом из своих трех законов динамики. Он сформулирован так:

Существуют системы отсчета, называемые инерциальными, в которых все тела в отсутствие внешних воздействий движутся равномерно прямолинейно или покоятся.

Такая неочевидная формулировка закона, утверждающая, что что-то «существует», – это на самом деле создание модели: некой идеальной системы отсчета, для которой сформулированы другие законы динамики и в которой они идеально выполняются. Но в реальности таких идеальных систем отсчета нет, реальные системы отсчета можно описать с помощью идеальной модели с той или иной степенью точности – это справедливо для любой модели в физике.


 

Первый закон Ньютона и сложности его понимания

Это неочевидный факт, что тело движется равномерно прямолинейно, если на него не действуют силы. В реальном мире мы не сталкиваемся с такими ситуациями, чтобы на тело не действовали никакие силы, поэтому нам это сложно представить. Что бы мы ни разгоняли, если тело не подталкивать, оно остановится. Может показаться, что для поддержания постоянной скорости как раз нужна сила, и так долгое время считали, достаточно почитать труды ученых до Ньютона: времен античности, эпохи Возрождения… И им трудно было понять, почему тела движутся по инерции, когда на них ничего не действует.

На самом же деле тела останавливаются не сами по себе, а из-за взаимодействия с другими телами. Автомобиль с заглушенным мотором, шайба, скользящая по льду, – их скорости уменьшаются при взаимодействии с поверхностью дороги или льда под действием силы трения. А если завести мотор так, чтобы сила тяги уравновешивала силу трения, то автомобиль будет ехать с постоянной скоростью, как и описано в первом законе Ньютона.


Для множества задач инерциальной достаточно считать систему отсчета, связанную с Землей, а значит, и все другие системы отсчета, которые покоятся или движутся равномерно прямолинейно относительно Земли. Здесь мы пренебрегаем тем, что Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца с центростремительным ускорением. О том, какие системы использовать, когда нужна бóльшая точность, можно узнать в ответвлении.


 

Об инерциальных системах отсчета

Инерциальной является любая система отсчета, которая покоится или движется равномерно прямолинейно относительно некой абсолютной инерциальной системы отсчета. Такой абсолют – это идеальная модель, в реальности таких систем отсчета не существует, но можно выбрать систему отсчета, которая с нужной нам степенью точности может считаться инерциальной. Чем точнее должно быть решение задачи, тем строже требования к системе отсчета.

Из всех используемых систем отсчета наиболее приближены к абсолюту далекие звезды, и для решения очень точных задач астрономии даже четко определили, к каким именно звездам привязаться. С достаточно высокой точностью инерциальными можно считать и системы отсчета, связанные с Солнцем и с Землей.

Из-за вращения Земли вокруг своей оси точки ее поверхности движутся по окружности (кроме разве что полюсов), а движение по окружности – это движение с центростремительным ускорением. Это ускорение мало, и в повседневной жизни мы его просто не замечаем, для большинства задач им можно пренебречь. Но некоторые явления нельзя объяснить, не рассматривая вращение Земли. Например, поведение маятника Фуко. Это груз, подвешенный на длинной нити, который колеблется в вертикальной плоскости, и эта плоскость со временем поворачивается. Мы не будем подробно рассматривать физику этого процесса, но это пример, показывающий неинерциальность системы отсчета, связанной с Землей.


Вспомним формулировки второго и третьего законов. По второму закону Ньютона:

В инерциальных системах отсчета ускорение, приобретаемое материальной точкой, прямо пропорционально вызывающей его силе, совпадает с ней по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (см. рис. 7).

Рис. 7. Второй закон Ньютона

В виде уравнения его можно записать так:

Под силой  подразумевается равнодействующая всех сил, которые действуют на тело. Обратите внимание, что сила – вектор, сонаправленный с ускорением, которое эта сила создает.


 

Действуют ли на тело силы?

Физики часто говорят: на тело действует сила. Давайте разберемся, верно ли это утверждение. Сила – это векторная физическая величина, мера воздействия. То есть на тело действует не сила, а другое тело. Сила – это число, оно не действует, а показывает меру того, как действует одно тело на другое.

Можно привести такую аналогию: если мы на катке столкнулись с другим конькобежцем, то некорректно говорить, что мы столкнулись с его скоростью или массой. Хотя в скорости и массе можно измерить масштабы столкновения, но сталкиваемся мы с конькобежцем.

Однако в языке устоялось выражение «действует сила». Не всегда удобно говорить, что на тело «в результате гравитационного взаимодействия действует Земля», чаще говорят «действует сила тяжести», и мы должны понимать, что это значит.


Остановимся немного подробнее на понятии равнодействующей силы. Тело движется с ускорением, и это ускорение вызвано взаимодействием данного тела со всем миром. Мир един, и в нем для этого тела созданы такие-то условия, в которых оно движется вот так (см. рис. 8).

Рис. 8. Взаимодействие тела с окружающим миром

Но нам удобно этот единый мир разделить на отдельные объекты, это наш инструмент мышления, и мы так часто делаем. Мы выделяем рассматриваемое тело, которое взаимодействует отдельно, например с веревкой, за которую его тащат, с Землей, и отдельно рассматриваем его трение с поверхностью, по которой оно движется (см. рис. 9).

Рис. 9. Выбранный набор сил, действующих на тело

Отдельно можно выделить все остальные объекты, влиянием которых мы пренебрегаем: от соударения с молекулами воздуха до притяжения к Луне и Солнцу. У нас есть для этого математический инструмент: сложение векторов. Мы выделяем отдельные силы, которые действуют на тело, складываем их и получаем равнодействующую, например:

А в общем виде второй закон Ньютона бывает удобнее записать через сумму сил:

Следующее ответвление, в котором будет подробнее рассмотрено сложение сил с точки зрения математики, обязательно к просмотру для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.


 

Принцип суперпозиции и преобразования Галилея

Возможность сложения сил (и наоборот, разложения силы на составляющие) заложена в преобразованиях Галилея. Мы наблюдаем за телом в одной системе отсчета, относительно Земли, в ней тело совершает перемещение . Представим, что мы идем рядом с этим телом и наблюдаем за его движением (см. рис. 10).

Рис. 10. Сложение перемещений

Тогда перемещение тела относительно Земли можно представить как его перемещение относительно нас плюс наше перемещение относительно Земли:

Так как мы рассматривали движение тела относительно Земли, относительно себя и свое движение относительно Земли одновременно на протяжении одного и того же промежутка времени , то можно перейти от сложения перемещений к сложению скоростей:

Мы ввели дополнительную систему отсчета, мысленно шли рядом с движущимся телом, для того чтобы оправдать разложение скорости и перемещения на составляющие, чтобы это было не разложение одного вектора на две составляющие, ничем не обоснованное, а переход между системами отсчета по Галилею. Мы можем этот шаг пропускать и просто представлять векторы скоростей и перемещений как сумму, раскладывать их на составляющие. Мы так уже делали, когда рассматривали движение тела, брошенного под углом к горизонту. Вспомните: нам было удобно разложить скорость на две составляющие: постоянную горизонтальную и равномерно изменяющуюся вертикальную (см. рис. 11).

Рис. 11. Две составляющие скорости

Можно также сложить скорости, если они изменяются: к каждой составляющей добавится свое изменение  за одно и то же время наблюдения . И если перейти к ускорению, окажется, что его тоже можно разложить на составляющие:

Ускорение пропорционально создающей его силе, обе части уравнения можно умножить на массу тела (мы ведь рассматриваем одно и то же тело) и перейти к силам:

Этот принцип, согласно которому несколько действующих на одно и то же тело сил можно сложить (и наоборот, одну силу можно разложить на составляющие), назвали принципом суперпозиции. И, как видим, он согласуется с преобразованиями Галилея.

Поскольку мы все равно искусственно выделяем отдельные составляющие равнодействующей силы, мы можем выделять их, как нам удобно (см. рис. 12).

Рис. 12. Суммарное действие сил

Можем выделить отдельно силу реакции опоры, перпендикулярную поверхности, и силу трения, направленную вдоль поверхности. А можем объединить их в одну силу взаимодействия с поверхностью.


Третий закон Ньютона звучит так:

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению (см. рис. 13).

Рис. 13. Третий закон Ньютона

В виде уравнения это можно записать так:

Где  – это сила, с которой второе тело действует на первое, а  – это сила, с которой первое тело действует на второе.

Таким образом, законы Ньютона либо напрямую следуют из того, какой мы приняли модель классической механики, либо дополняют эту модель. Но, четко сформулированные, они становятся инструментом для решения множества задач.

Движение тела под действием разных сил

Перед тем как приступить к решению задач, вспомним несколько модельных взаимодействий. Начнем с закона всемирного тяготения. Любые два тела притягиваются друг к другу, причем сила притяжения прямо пропорциональна массам этих тел и обратно пропорциональна расстоянию между их центрами масс (см. рис. 14).

Рис. 14. Закон всемирного тяготения

Математически закон всемирного тяготения записывается так:

где  – массы взаимодействующих тел, а r – расстояние между их центрами масс. Силы всемирного тяготения также называют гравитационными силами, а коэффициент пропорциональности G в законе всемирного тяготения называют гравитационной постоянной. Она равна .

Можно договориться, как везде до этого, что мы применяем к телам модель материальной точки, и сформулировать закон тяготения для точек. Но фактически мы и в данной формулировке применили модель материальной точки: мы подставляем в формулу расстояние между центрами масс, это нужно понимать.

В уроке мы рассмотрели взаимодействие Земли и тела вблизи ее поверхности и, используя закон всемирного тяготения, вычислили ускорение свободного падения. Попробуйте проделать это сами и в случае необходимости обратитесь к указанному уроку. Там же рекомендуем ознакомиться с решением задачи об ускорении свободного падения на Марсе, здесь его повторять не будем.


 

Гениальность закона всемирного тяготения

Обсудим то, каким переворотом в мышлении было открытие закона всемирного тяготения. Сложность была в том, что люди все время видели одно проявление: все тела притягиваются к Земле. Людям казалось очевидным, что все падает вниз, на то и «низ». А вот что два яблока притягиваются не только к Земле, но и друг к другу – как это заметить? Сила этого притяжения настолько мала, что заметить ее действие было невозможно. Нужно было догадаться, что притягиваются друг к другу все тела, просто масса тел, которые мы наблюдаем, настолько мала по сравнению с массой близкой к нам Земли, что замечаем мы только взаимодействие с Землей. И притягиваются тела не просто «вниз», как к чему-то очевидному, а к центру масс Земли. А когда мы рассматриваем объекты с огромными массами, такие как Солнце и планеты, то, даже несмотря на большие расстояния и малую гравитационную постоянную, возникают силы, достаточные для удержания планет на орбитах, на этом строится вся механика небесных тел. И будь гравитационная постоянная немного больше или немного меньше, Земля не удерживалась на своей орбите: она бы или упала на Солнце, или отдалилась от него, или вращалась бы вокруг него с другой скоростью и на другом расстоянии. В любом случае мир был бы не таким, какой он есть сейчас, так что это фундаментальная вещь.


Продолжим перечислять модели взаимодействий. Как мы уже сказали, часто гравитационное взаимодействие Земли с телом вблизи ее поверхности выделяют в отдельную модель и говорят о силе тяжести, действующей на тело (см. рис. 15).

Рис. 15. Сила тяжести

Ее удобнее всего рассчитать, зная массу тела и ускорение свободного падения:

Следующая часто встречающаяся модель – взаимодействие тела и опоры, на которой оно лежит. Силу, с которой тело действует на опору (или подвес), назвали весом и обозначили , а силу, с которой опора действует на тело перпендикулярно поверхности, назвали силой нормальной реакции опоры и обозначили . По третьему закону Ньютона .

Рис. 16. Сила реакции опоры и вес тела

Еще одна модель – упругая деформация тела, которая описывается законом Гука. При упругой деформации тела возникает сила упругости, модуль которой  пропорционален удлинению тела  и направление которой противоположно направлению деформации (см. рис. 17):

Рис. 17. Сила упругости

Часто, чтобы учесть направление силы упругости, закон записывают в виде проекции векторов на ось координат (так как сила и деформация все равно направлены вдоль одной прямой):

Также мы рассматривали трение тел. Выпишем только формулу, по которой можно рассчитать силу трения скольжения (см. рис. 18):

Рис. 18. Сила трения скольжения

Этими моделями описание взаимодействия тел не ограничивается, это лишь набор, позволяющий решать некоторые типовые задачи. Если в задаче тело будут толкать рукой, мы не должны описывать силу действия руки с помощью модели из нашего набора и искать здесь признаки, например, силы упругости. Мы можем ввести, если это будет удобно для решения задачи, «силу толкания»  и использовать ее. Другие такие модели – сила тяги двигателя автомобиля, сила натяжения нити (когда ее деформация слишком мала, чтобы применять закон Гука) и т. д.

Мало того, сама модель, лежащая в основе второго закона Ньютона, ограничена. Запишем его в таком виде, это уравнение называют следствием из второго закона Ньютона:

Считаем, что на тело с постоянной массой действует сила, которая создает ускорение. А что, если масса тела меняется? Например, когда при полете ракеты расходуется топливо. Кроме того, меняться может и сила – например, если мы на автомобиле увеличиваем силу нажатия на педаль газа, увеличивая тем самым силу тяги. Как тогда меняется скорость? И тогда создают новые модели, вводят упрощения, чтобы задачу можно было как-то решить: равномерное уменьшение массы, равномерное увеличение силы и т. д.

Решение задач по динамике

Задача 1. Человек, масса которого 60 кг, едет в лифте. Лифт некоторое время после начала движения движется с постоянным ускорением , направленным вниз. Найдите силу давления на пол лифта (вес). Ускорение свободного падения округлите до .

Проанализируем условие. В задаче описано движение человека под действием нескольких сил. По второму закону Ньютона, ускорение тела, движущегося в инерциальной системе отсчета, прямо пропорционально равнодействующей сил, действующих на тело. Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей, и решим задачу в ней (см. рис. 19).

Рис. 19. Действие сил в лифте

Физическая часть решения задачи. Выпишем силы, действующие на человека: силу тяжести  и силу реакции опоры  (с которой пол лифта действует на человека). По третьему закону Ньютона, вес человека равен по модулю силе реакции опоры, ее и найдем. В системе отсчета, связанной с Землей, человек вместе с лифтом движется с ускорением , направленным вниз. Запишем по второму закону Ньютона, сумма сил равна:

Силы направлены вдоль одной прямой, вдоль которой происходит движение, поэтому достаточно одной оси координат, направим ее вертикально вниз. В проекции на ось координат запишем:

Остается выразить и вычислить силу реакции опоры, она же равна по модулю весу, это будет короткая математическая часть решения.

Задача решена.

Обратите внимание, что вес тела уменьшился по сравнению с весом тела на покоящейся горизонтальной поверхности. Если бы ускорение лифта было равно нулю, вес был бы по модулю равен силе тяжести: .

Рис. 20. Различие в весе человека в покоящемся и движущемся лифте

То есть человек в нашей задаче давит на пол с такой силой, с которой в обычной комнате давит на пол человек с массой 48 кг. А если бы лифт двигался с ускорением, равным ускорению свободного падения, вес был бы равен нулю. Такое состояние называется невесомостью, человек двигался бы под действием только силы тяжести. Конечно, лифт может двигаться так лишь непродолжительное время, чтобы не разбиться. А например, на МКС, которая тоже движется под действием только силы притяжения к Земле, такое состояние наблюдается продолжительное время. И это не состояние, в котором сила тяжести не действует, как можно ошибочно предположить. Предлагаем самостоятельно решить эту же задачу о лифте, только для движения с ускорением, направленным вверх (см. рис. 21).

Рис. 21. Задача при условии, что ускорение направлено вверх

 

Задача 2. Два бруска, массы которых равны, соответственно,  и , связаны нитью и лежат на гладком столе. К первому бруску приложена сила , направленная параллельно плоскости стола. При каком максимальном значении силы  нить оборвется? Нить выдерживает максимальную силу натяжения . Трением пренебречь.

Анализ условия

В задаче описано движение двух тел, связанных нитью. Чтобы описать движение каждого из них, применим к каждому из них второй закон Ньютона (в инерциальной системе, связанной с покоящимся относительно Земли столом). Для этого выделим силы, действующие на каждое тело.

Физическая часть решения задачи

На первый брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры , сила натяжения нити  и сила . На второй брусок действует сила тяжести , сила реакции опоры  и сила натяжения нити  Обозначим силы на рисунке (см. рис. 22).

Рис. 22. Задача 2

По третьему закону Ньютона, силы натяжения одной и той же нити, приложенные к двум брускам, по модулю равны, . Нам нужно решить задачу для случая, когда нить вот-вот разорвется, поэтому при вычислениях подставим значение . Грузы жестко связаны нерастяжимой нитью, значит, они оба движутся с одинаковым ускорением.

Выберем систему координат. Удобно направить ось х в сторону движения тел, а ось у – перпендикулярно оси х вверх (см. рис. 19). Применим второй закон Ньютона для каждого тела:

Запишем в проекциях на оси координат. Сразу подставим значения сил  и  и получим систему уравнений:

Вторая пара уравнений не информативна, а первую решим в ответвлении.


 

Математическая часть решения задачи 2

Выразим из второго уравнения ускорение :

Подставим в первое и выразим :

Вычислим:


Получим конечную формулу  и ответ 16,3 Н. Задача решена.

 

Список литературы

  1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. Касьянов В.А. Физика 10. – М.: Дрофа, 2000.
  3. М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. Физика: Механика 10. – М.: Дрофа, 2004.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «Класс!ная физика»
  2. Интернет-портал «Класс!ная физика»
  3. Интернет-портал «Класс!ная физика»
  4. Интернет-портал «Класс!ная физика»
  5. Интернет-портал «Класс!ная физика»

Домашнее задание

  1. Чем отличается кинематика от динамики?
  2. Что такое инерциальная система отсчета?
  3. Под действием постоянной силы, равной 10 Н, тело движется прямолинейно так, что зависимость координаты тела от времени описывается уравнением х = 3 – 2t + t2. Определите массу тела.