При решении задач мы будем придерживаться стандартной схемы решения, которую мы применяем к задачам курса физики:

Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений, выбрать систему координат. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.

Задача 1. Бильярдный шар движется со скоростью 5 м/с до лобового столкновения с таким же покоящимся шаром. Определите скорости шаров после столкновения, если при столкновении потери механической энергии составляют 10 %.

Анализ условия. В задаче описано столкновение шариков, можно ли применять к ним закон сохранения импульса? На каждый из шаров действует сила тяжести и сила реакции опоры, но их действие скомпенсировано и на движение шаров не влияет, поэтому на них сразу не обращаем внимания. Сила трения на реальные бильярдные шары действует, они ведь рано или поздно останавливаются. Но мы ищем скорости шаров сразу после столкновения. «Сразу после» означает через короткий промежуток времени, на протяжении которого действием силы трения можно пренебречь, импульс силы невелик. Поэтому можно считать, что шары взаимодействуют только друг с другом – к такому процессу удобно применить закон сохранения импульса (см. рис. 1).

Рис. 1. Шары до и после столкновения

В условии задачи сказано о потерях механической энергии, значит, во время удара в системе действуют неконсервативные силы. Будем применять закон сохранения энергии с учетом указанных потерь (потерями на трение мы уже договорились пренебречь).

Физическая часть решения задачи. Применим закон сохранения импульса, суммарный импульс шаров до столкновения равен суммарному импульсу шаров после столкновения. Шары одинаковые, обозначим их просто . Начальную скорость первого шара обозначим , начальная скорость второго шара равна нулю, он покоился, а скорости шаров после столкновения обозначим и .

Применим закон сохранения механической энергии с учетом потерь. До столкновения кинетическая энергия первого шара была равна , она перешла в кинетические энергии шаров и в потери, равные по условию задачи 10 % от . Запишем это:

Чтобы решить уравнения, осталось записать закон сохранения импульса в проекции на оси координат. Столкновение лобовое, все скорости направлены вдоль одной прямой, поэтому достаточно одной оси х, направим ее вдоль движения первого шара. Мы не знаем, в какую сторону движутся после столкновения шары, но предположим, что оба вправо. Тогда в проекциях на ось х запишем:

На этом физика закончилась, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, и осталось только решить эту систему. Сделаем это в ответвлении.

Математическая часть решения задачи 1

Запишем систему уравнений, сразу разделив обе части на m, а во втором уравнении еще умножим обе части на 2:

Приведем подобные во втором уравнении:

Для удобства подставим значение , равное 5 м/с, и возведем обе части первого уравнения в квадрат:

Вычтем второе уравнение из первого и перепишем первое уравнение в первоначальном виде:

Выразим из второго уравнения и подставим в первое:

Решаем квадратное уравнение.

И получаем два корня. Первый:

И ему соответствует скорость второго шара из второго уравнения:

И вторая пара решений:

Как видите, получили пару значений, но где скорость первого шара, где второго – непонятно, есть оба варианта.

В обоих вариантах проекции скоростей получились положительные, значит, с направлениями скоростей мы угадали. И теперь смотрите: может ли при лобовом столкновении, двигаясь вдоль одной прямой, первый шар обогнать второй? Очевидно, нет, для этого ему пришлось бы пройти сквозь него. Поэтому выбираем одно решение: , . Задача решена.

Ответ: , .

Получили ответ: , . Подобную картину мы наблюдаем в реальности при наличии небольших потерь энергии: второй шар отлетит от первого почти с такой же скоростью, как двигался первый, а первый шар полностью не остановится, продолжая немного катиться. Если решить задачу для идеального случая (мы делали это на предыдущих уроках), без потерь, получится, что первый шар остановится, а второй приобретет скорость 5 м/с.