Задача 1
При решении задач мы будем придерживаться стандартной схемы решения, которую мы применяем к задачам курса физики:
- Проанализировать условие. Определить, какие процессы происходят.
- Определить закономерности, которым подчиняются происходящие процессы, записать эти закономерности в виде уравнений, выбрать систему координат. Посмотреть на величины, входящие в эти формулы: определить, какие из них даны в условии, а какие нужно дополнительно выразить. При необходимости перевести величины в СИ.
- Математическая часть: решаем полученную систему уравнений. Получаем ответ, подставив численные значения переменных.
Задача 1. Бильярдный шар движется со скоростью 5 м/с до лобового столкновения с таким же покоящимся шаром. Определите скорости шаров после столкновения, если при столкновении потери механической энергии составляют 10 %.
Анализ условия. В задаче описано столкновение шариков, можно ли применять к ним закон сохранения импульса? На каждый из шаров действует сила тяжести и сила реакции опоры, но их действие скомпенсировано и на движение шаров не влияет, поэтому на них сразу не обращаем внимания. Сила трения на реальные бильярдные шары действует, они ведь рано или поздно останавливаются. Но мы ищем скорости шаров сразу после столкновения. «Сразу после» означает через короткий промежуток времени, на протяжении которого действием силы трения можно пренебречь, импульс силы невелик. Поэтому можно считать, что шары взаимодействуют только друг с другом – к такому процессу удобно применить закон сохранения импульса (см. рис. 1).
Рис. 1. Шары до и после столкновения
В условии задачи сказано о потерях механической энергии, значит, во время удара в системе действуют неконсервативные силы. Будем применять закон сохранения энергии с учетом указанных потерь (потерями на трение мы уже договорились пренебречь).
Физическая часть решения задачи. Применим закон сохранения импульса, суммарный импульс шаров до столкновения равен суммарному импульсу шаров после столкновения. Шары одинаковые, обозначим их просто 
. Начальную скорость первого шара обозначим 
, начальная скорость второго шара равна нулю, он покоился, а скорости шаров после столкновения обозначим 
и 
.
Применим закон сохранения механической энергии с учетом потерь. До столкновения кинетическая энергия первого шара была равна 
, она перешла в кинетические энергии шаров и в потери, равные по условию задачи 10 % от . Запишем это:
Чтобы решить уравнения, осталось записать закон сохранения импульса в проекции на оси координат. Столкновение лобовое, все скорости направлены вдоль одной прямой, поэтому достаточно одной оси х, направим ее вдоль движения первого шара. Мы не знаем, в какую сторону движутся после столкновения шары, но предположим, что оба вправо. Тогда в проекциях на ось х запишем:
На этом физика закончилась, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, и осталось только решить эту систему. Сделаем это в ответвлении.
Математическая часть решения задачи 1
Запишем систему уравнений, сразу разделив обе части на m, а во втором уравнении еще умножим обе части на 2:
Приведем подобные во втором уравнении:
Для удобства подставим значение 
, равное 5 м/с, и возведем обе части первого уравнения в квадрат:
Вычтем второе уравнение из первого и перепишем первое уравнение в первоначальном виде:
Выразим из второго уравнения 
и подставим в первое:
Решаем квадратное уравнение.
И получаем два корня. Первый:
И ему соответствует скорость второго шара из второго уравнения:
И вторая пара решений:
Как видите, получили пару значений, но где скорость первого шара, где второго – непонятно, есть оба варианта.
В обоих вариантах проекции скоростей получились положительные, значит, с направлениями скоростей мы угадали. И теперь смотрите: может ли при лобовом столкновении, двигаясь вдоль одной прямой, первый шар обогнать второй? Очевидно, нет, для этого ему пришлось бы пройти сквозь него. Поэтому выбираем одно решение: 
, 
. Задача решена.
Ответ: , .
Получили ответ: , . Подобную картину мы наблюдаем в реальности при наличии небольших потерь энергии: второй шар отлетит от первого почти с такой же скоростью, как двигался первый, а первый шар полностью не остановится, продолжая немного катиться. Если решить задачу для идеального случая (мы делали это на предыдущих уроках), без потерь, получится, что первый шар остановится, а второй приобретет скорость 5 м/с.
Задача 2
Задача 2. Бильярдный шар со скоростью 5 м/с направляют на второй такой же шар так, чтобы после удара второй шар двигался под углом 
к направлению начальной скорости первого шара. В каком направлении и с какой скоростью будет двигаться после столкновения первый шар, если второй шар отлетает со скоростью 2,5 м/с (см. рис. 2)?
Рис. 2. Шары после столкновения в задаче 2
Анализ условия. В задаче описано столкновение шариков, можем считать, что в процессе столкновения они взаимодействуют только друг с другом, будем применять к ним закон сохранения импульса. В задаче ничего не сказано ни о том, что столкновение абсолютно упругое, ни о потерях энергии, поэтому, как записать закон сохранения энергии, непонятно. Пока оставим этот вопрос.
Физическая часть решения задачи. Применим закон сохранения импульса: суммарный импульс шаров до столкновения равен суммарному импульсу шаров после столкновения. Обозначим массы и скорости шаров как в предыдущей задаче, не будем повторяться, и запишем:
Как видим на рисунке (см. рис. 3), одной оси координат уже недостаточно, выберем две, и направим их вот так.
Рис. 3. Система координат для решения задачи 2
Обозначим угол, на который отклонится первый шар, 
. В задаче спрашивается: «в каком направлении будет двигаться первый шар» – угол и будет ответом. Перепишем наше уравнение в проекции на ось х, сразу сократив на массу m:
И в проекции на ось у:
Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, их достаточно для решения, и применять закон сохранения энергии нам не понадобится. На этом физика закончилась, а математическая часть – решение системы уравнений – находится в ответвлении.
Математическая часть решения задачи 2
Запишем полученную систему уравнений:
Перенесем неизвестные в обоих уравнениях в левую часть:
Разделим первое уравнение на второе:
Все значения в правой части заданы в условии, можем подставить и вычислить угол:
Теперь легко воспользоваться вторым уравнением и найти 
:
Задача решена.
Ответ: 
, .
Задача 3
Задача 3. Санки с ребенком с общей массой стоят на ледяной горке, как показано на рисунке (см. рис. 4). Чтобы санки, съехав с первой горки, заехали на вторую, друзья подталкивают санки на пути разгона 
. С какой минимальной силой 
нужно толкать санки? Высоты горок равны 
и 
. Трением пренебречь.
Рис. 4. Условие задачи 3
Анализ условия. В задаче описано движение санок. Нас интересует состояние санок в нескольких основных состояниях: в начале движения на первой горке и в конце движения на второй. Этот промежуток удобно разбить на два: первый – пока санки толкали друзья, и второй, когда санки стали двигаться без помощи. Почему мы так сделали? Теперь на втором участке удобно применить закон сохранения полной механической энергии: работу по перемещению санок выполняет только сила тяжести – консервативная сила.
Что же с первым участком? Здесь работу по перемещению санок выполняет неконсервативная сила 
, ведь силы тяжести и реакции опоры направлены перпендикулярно перемещению, их работа равна нулю. И работа силы равна изменению полной механической энергии санок (см. рис. 5).
Рис. 5. Обозначение проекций действующих сил
Можно применить другую модель: рассмотреть равноускоренное движение санок под действием сил , 
и 
и применить второй закон Ньютона, что позволит найти скорость в конце участка. Применим первую модель, а вы, чтобы поупражняться, можете применить вторую и сравнить результаты.
Физическая часть решения задачи. Итак, запишем для первого участка:
Распишем работу силы как 
.
С энергиями будем работать в системе отсчета, связанной с Землей, в которой нулевой уровень потенциальной энергии – тот, относительно которого в условии указаны высоты. Тогда распишем изменение полной механической энергии как конечная механическая энергия (кинетическая плюс потенциальная) минус начальная механическая энергия:
Теперь применим закон сохранения энергии на втором участке (см. рис. 6). В первом положении кинетическая энергия санок равна к концу разгона 
, а потенциальная – 
. А во втором интересующем нас положении потенциальная энергия равна 
, а кинетическая – нулю (ведь нас по условию интересует минимальная сила F, достаточная для того, чтобы сани только заехали на горку, не более).
Рис. 6. Применение закона сохранения энергии на разных участках
Запишем:
На этом физика закончилась: подставим вместо кинетической энергии из предыдущего уравнения и получим простое уравнение с одним неизвестным:
Выразим силу:
Численных значений в условии не задано, поэтому задача решена.
Ответ: 
.
Задача 3.1 (профильный уровень)
Задача 3.1. Конькобежец, разогнавшись до скорости 
, въезжает на ледяную гору. На какую высоту от начального уровня въедет конькобежец с разгона, если подъем горы составляет 
на каждые 
по горизонтали и коэффициент трения коньков о лед 
?
Рис. 7. Условие задачи 3.1
Анализ условия. В задаче описано движение конькобежца, на него действует неконсервативная сила – сила трения, и его полная механическая энергия уменьшается. Будем записывать изменение полной механической энергии при выполнении работы неконсервативными силами:
Чтобы найти силу трения на наклонной плоскости, придется расписать все силы, действующие на конькобежца, и применить второй закон Ньютона, такие задачи мы уже решали.
Физическая часть решения задачи. На конькобежца действует сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, и его скорость уменьшается, он движется с ускорением 
, направленным вниз вдоль плоскости горки. Запишем:
Нас интересует сила трения, а она равна 
.
Рис. 8. Проекции сил
Поэтому направим ось у вдоль направления силы и запишем в проекции на эту ось:
Где 
– угол наклона плоскости, мы это уже рассматривали на уроке динамики. Запишем, что работа силы трения, равная 
(
– перемещение конькобежца вдоль плоскости) или 
, равна изменению механической энергии:
Получили уравнение, в котором нам не хватает только и угла . Их мы найдем, рассмотрев малый треугольник и треугольник из условия, построенный на сторонах 
и . Поэтому физика здесь закончилась, осталось немного геометрии и вычисления. Упомянутые треугольники подобны, они оба прямоугольные, и у них есть общий острый угол . Из подобия треугольников можем записать пропорцию:
А 
– это, по определению косинуса, 
. Подставим 
вместо в уравнение:
Разделим обе части на и перенесем все члены с неизвестным в одну сторону:
Вынесем за скобки:
Вычислим, переведя скорость в СИ, 7,5 м/с:
Ответ: 2 м.
Задача 4
Задача 4. Игрушка массой , привязанная к веревке длиной , вращается в вертикальной плоскости. Скорость игрушки в верхней точке траектории такова, что сила натяжения веревки в этой точке по модулю равна весу игрушки в обычных условиях. Найдите перегрузку, которую испытывает игрушка в нижней точке траектории.
Анализ условия. В задаче описано движение игрушки по окружности под действием силы тяжести и силы натяжения нити. Речь идет о силе натяжения нити в двух положениях игрушки, поэтому есть смысл применить к ней второй закон Ньютона в обоих положениях. Движение по окружности – это движение с центростремительным ускорением 
.
Перегрузка – это отношение веса тела в рассматриваемом состоянии (в нашем случае вес по модулю равен силе натяжения нити) к mg. Скорость тела не постоянна, так как вертикально вниз действует сила тяжести. Это консервативная сила, она выполняет работу (сила натяжении перпендикулярна перемещению), поэтому можем применять закон сохранения полной механической энергии (см. рис. 9).
Рис. 9. Задача 4
Физическая часть решения задачи. Рассмотрим верхнее положение тела. На тело действуют силы и 
, под их действием тело движется с центростремительным ускорением 
(радиус окружности, очевидно, равен длине нити). Применим второй закон Ньютона:
Все силы и ускорение направлены вертикально вниз, ось координат у направим туда же. Запишем в проекции, сразу подставив ускорение, и по условию задачи 
по модулю равно 
:
Рассмотрим нижнее положение. Сила тяжести не изменилась, сила натяжения, действующая вдоль нити к месту крепления, теперь направлена вверх, и ускорение направлено к центру окружности.
Запишем в проекции на ту же ось у:
Применим закон сохранения энергии, рассмотрев те же два положения (см. рис. 10).
Рис. 10. Проекции сил и энергия
Уровень нулевой потенциальной энергии будем отсчитывать от нижней точки окружности. Тогда в верхней точке высота тела над этим уровнем будет равна диаметру окружности. Запишем:
Получили систему уравнений, из которой осталось найти 
и ее отношение к :
Математическая часть решения – в ответвлении.
Математическая часть решения задачи 4
Запишем полученную систему уравнений:
Выразим из первого уравнения квадрат скорости 
:
А из второго уравнения – 
:
Подставим их в третье уравнение, предварительно разделив обе его части на m и умножив на 2:
Найдем силу натяжения нити :
Получили ответ: семикратная перегрузка. Задача решена.
Ответ: 
.
Задача 5
Задача 5. Пуля, летящая с определенной скоростью, углубляется в стенку на расстояние 
. На какое расстояние 
углубится в ту же стенку пуля, которая будет иметь скорость, вдвое большую? Силу сопротивления, которая оказывается движению пули, считайте постоянной.
Анализ условия. В задаче описано движение пули при взаимодействии со стеной. Стена фиксирована, ее скорость не меняется, так как она взаимодействует с фундаментом, значит, закон сохранения импульса для системы «пуля – стена» применить нельзя. Рассмотрим движение пули под действием силы сопротивления стены. Мы догадываемся, что силы там большие, поэтому силой тяжести, действующей на легкую пулю, можем пренебречь (см. рис. 11).
Рис. 11. Задача 5
Можно рассмотреть равноускоренное движение пули в стене, применить второй закон Ньютона и уравнения кинематики. А можно рассмотреть изменение кинетической энергии пули при выполнении работы неконсервативной силой. Нас не интересует процесс движения, как именно и за какое время изменялась скорость, нас интересуют два состояния: пуля подлетает к стене и пуля останавливается внутри стены. Поэтому удобнее рассматривать изменение энергии.
Физическая часть решения задачи. В первом случае пуля подлетает к стене со скоростью 
, ее кинетическая энергия равна . Сила сопротивления, действующая на пулю, совершает работу 
(сила и перемещение направлены в противоположные стороны). Сила неконсервативная, она равна изменению механической энергии: конечная (0) минус начальная (). Запишем:
Во втором случае работа силы равна 
, а скорость по условию равна 
. Запишем:
Получили простую систему уравнений, из которой можно найти :
Разделим первое уравнение на второе:
Задача решена.
Ответ: 40 см.
Задача 6
В рамках кинематики мы решали задачу профильного уровня о движении тела, брошенного под углом к горизонту, для базового уровня ее рассмотрение было по желанию. Задачи, в которых нас интересует переход тела между двумя состояниями, но не интересует сам процесс перехода, иногда можно решить, применяя закон сохранения энергии. И в решении получаются более простые уравнения, чем в модели кинематики. Решим такую задачу.
Задача 6. Тело брошено под углом к горизонту с начальной скоростью 
. Найдите максимальную высоту подъема тела, применив законы сохранения.
Рис. 12. Тело, брошенное под углом к горизонту
Анализ условия. В задаче описано движение тела под действием только силы тяжести, а значит, тело движется с ускорением свободного падения 
с начальной скоростью 
. Можем описать это движение как равноускоренное с помощью привычных нам уравнений кинематики:
Но в условии задачи указано, какую модель применить – применим ее. Тело движется под действием силы тяжести, это консервативная сила, значит, выполняется закон сохранения полной механической энергии. Рассмотрим первое положение тела – в момент броска, а второе – в верхней точке траектории, в которой скорость минимальна.
Физическая часть решения задачи. Примем за уровень нулевой потенциальной энергии уровень земли. Тогда начальная кинетическая энергия будет равна 
, а потенциальная энергия равна нулю. В верхней точке кинетическую энергию тела обозначим 
, а потенциальная энергия равна 
. Запишем:
Что мы можем сказать о скорости ? На тело действует только сила тяжести, действующая вертикально вниз, значит, изменяется только вертикальная составляющая скорости. В верхней точке скорость минимальна, значит, то, что может измениться, изменилось до нуля, а с тем, что не меняется, ничего не поделать. Не меняется горизонтальная составляющая скорости, ее можно найти из этого треугольника (см. рис. 13).
Рис. 13. Горизонтальная составляющая скорости
Это и будет скорость в верхней точке при нулевой вертикальной составляющей:
Этот же вывод можно сделать из того, что скорость всегда направлена по касательной к траектории, значит, в верхней точке она направлена горизонтально. Так мы получили два простых уравнения, которые уже можно решить. Подставим скорость в первое уравнение, сразу сократив массу и умножив обе части на 2:
Задача решена.
Ответ: 15 м.
Как мы увидели сегодня на примере нескольких задач, у нас уже достаточно инструментов для их решения, и мы могли выбирать между разными способами, какой удобнее и проще. Тем не менее результат получали один и тот же, потому что работали в одной и той же модели классической механики.
Список литературы
- Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
- Касьянов В.А. Физика 10. – М.: Дрофа, 2000.
- М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. Физика: Механика 10. – М.: Дрофа, 2004.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
- Интернет-портал «Класс!ная физика»
- Интернет-портал «Класс!ная физика»
- Интернет-портал «Класс!ная физика»
Домашнее задание
- Для равномерного поднятия груза массой m = 100 кг вверх по наклонной плоскости с углом α = 30° необходимо приложить силу F = 600 Н, направленную вдоль плоскости. С каким ускорением будет скатываться груз, если его отпустить?
- Найти линейную и угловую скорости движения точек экватора Земли, зная ее радиус.
