Представьте, что вы столкнулись с идущим навстречу человеком. Очевидно, чем быстрее он шел вам навстречу, тем более сильный толчок вы ощутите. Был ли это быстро бегущий легкий ребенок или медленно идущий тяжелый взрослый – толчки по ощущениям отличаться не будут. Логично предположить, что играет роль произведение массы на скорость. Это подтверждается экспериментально и согласуется с законами динамики Ньютона.

Рассмотрим случай, когда на материальную точку действует сила , постоянная на протяжении времени .

Рис. 2. Изменение скорости, вызванное действием силы

По второму закону Ньютона, точка будет двигаться с постоянным ускорением: . За время скорость материальной точки изменится с до:

Перенесем в левую часть уравнения и умножим обе части на :

Как видим, в левой части у нас изменение некой величины: было начальное значение , стало – конечное . Эту величину мы назвали импульсом, , а изменение импульса происходит при действии на тело постоянной силы на протяжении времени .

Величину назвали импульсом силы, и записанное выражение можно сформулировать так: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы:

Такую запись называют законом изменения импульса или вторым законом Ньютона, записанным в импульсной форме.

Задача 1. Найти среднее значение силы взаимодействия шаров, если замедленная съемка соударения показана на видеозаписи (см. рис. 3).

Рис. 3. Условие задачи

Масса бильярдных шаров равна 280 г, начальная скорость битка (это шар, который сталкивается с неподвижным) равна 7 м/с.

Анализ условия

В задаче описано движение бильярдного шара и его изменение скорости при взаимодействии с другим шаром. На биток действует сила тяжести и сила реакции опоры, их сумма равна нулю, поэтому их можем не рассматривать. Нас интересует время взаимодействия шаров. Речь о средней силе, значит, считаем, что сила взаимодействия за время не меняется. Кстати, время взаимодействия легко найти из видеозаписи, глядя на таймер. Оно равно 300 мкс. Сила трения за это время не успеет повлиять на скорость шаров, ее импульсом за это короткое время можем пренебречь и рассмотреть только взаимодействие шаров.

По третьему закону Ньютона, сила, с которой один шар действует на второй, равна по модулю силе, с которой второй шар действует на первый. Нам здесь удобно рассмотреть биток и силу, которая действует на него, ее значение и будет ответом на вопрос задачи.

Мы здесь заострили внимание и на силе тяжести, уравновешенной силой реакции опоры, и на предположении, что сила взаимодействия шаров постоянна, и на малом импульсе силы трения – после одной-двух задач мы научимся сразу видеть эти ограничения модели. А теперь перейдем к физической части решения задачи.

Применим закон изменения импульса для битка:

На видео видно, что шар после соударения остановился, значит, его импульс стал равен нулю. А начальный импульс запишем через массу и скорость:

Выберем систему координат. Начальная скорость шара и сила направлены вдоль одной прямой, достаточно одной оси координат, направим ее слева налево (см. рис. 4).

Рис. 4. Система координат

Проекция начальной скорости на эту ось будет равна , т. к. скорость направлена против оси , а значение силы получим положительное:

Все величины известны, осталось выразить и вычислить силу:

Подставим значения, переведя в СИ:

Как видите, для заданного изменения импульса тела, если малó время взаимодействия, должна быть великá сила. Чтобы разогнать тело, можно его либо медленно толкнуть, либо быстрее, но сильнее ударить. А наша задача решена.

Ответ: 6533 Н.

Рассмотрим такую модель: система тел, которые взаимодействуют только друг с другом. Такую систему назвали замкнутой. Это модель, идеализация, не существующая в реальности. Но с ее помощью можно описать реальные системы, если мы решаем, что взаимодействием с телами вне системы можно пренебречь. В модели же этого взаимодействия просто нет. В такой системе векторная сумма импульсов всех тел, входящих в систему, остается постоянной. Другими словами, суммарный импульс замкнутой системы тел сохраняется (см. рис. 5).

Рис. 5. Замкнутая система тел

Следующее ответвление, в котором мы с помощью математических преобразований получим закон сохранения импульса, обязательно к ознакомлению для учеников профильного уровня, для всех остальных – по желанию.

Математический вывод закона сохранения импульса

Мы записали для одной материальной точки, что изменение ее импульса (конечный импульс минус начальный) равен импульсу силы, которая действует на эту материальную точку:

Рассмотрим систему из тел, которые в общем случае взаимодействуют между собой и с телами вне этой системы. Запишем для первого тела:

– это сумма всех сил, действующих на это тело. Запишем силы, с которыми на это тело действуют все тела этой системы: , , и т. д., и силу, с которой на первое тело действуют внешние тела, .

Запишем:

Для второго тела аналогично, для третьего:

И так далее, всего уравнений. Последнее:

Когда мы находим, например, для третьего тела вот эту сумму , там перебираются все , в том числе и 3. Просто считаем, что , сила действия тела самого на себя, равна нулю.

Введем понятие суммарного импульса системы тел: это сумма импульсов всех тел системы, что логично. Он был равен:

а стал равен:

Сложим левые и правые части уравнений, которые мы записали для каждого тела. Слева получится изменение суммарного импульса системы тел, а справа суммарный импульс силы. Силы подчиняются принципу суперпозиции, поскольку мы считаем систему тел как одно целое, поэтому имеем право складывать силы, действующие на его части. Получим слева:

– изменение суммарного импульса. А справа:

Сумма (возьмем без , на него умножается каждая сила) – это сумма сил , где и – это все пары из тел, и среди них будет как сила, скажем, , так и , и так для любой пары тел. А силы из каждой такой пары, по третьему закону Ньютона, равны по модулю и противоположны по направлению, , и их сумма равна нулю. Помните, мы говорили, что эти силы мы не складываем, так как они действуют на разные тела? Так вот, здесь мы считаем эти тела частью одной системы и, чтобы найти суммарную силу, действующую на эту систему, складываем все силы. Таким образом, сумма , в которой складываются все пары сил между телами системы, равна нулю, остается сумма внешних сил:

Другими словами, изменение суммарного импульса системы тел равно суммарному импульсу внешних сил, действующих на систему. А если сумма внешних сил равна нулю, то есть тела в системе взаимодействуют только между собой (другими словами, система замкнута), то и

Или

В таком виде мы чаще всего и будем применять закон сохранения импульса к замкнутой системе тел.

Часто мы решаем задачи, в которых нам не важен процесс изменения скорости, каким было ускорение и т. д. Нас интересуют два состояния тела: начальное и конечное. Как раз для решения таких задач и удобен этот инструмент – импульс. Мы даже не рассматриваем силы, с которыми взаимодействуют тела, и тем более ускорения, изменение скорости со временем – мы смотрим, что до взаимодействия импульсы были такими-то, а стали такими-то. Две такие задачи мы решим на этом уроке чуть позже, а пока рассмотрим еще один закон сохранения.