Итак, несколько моделей в нашем наборе инструментов уже есть: это равномерное и равноускоренное прямолинейное движение материальной точки и равномерное движение по окружности. И некоторые задачи мы уже умеем решать.

На уроках математики мы успели овладеть новыми математическими инструментами, такими, как вектор и система координат, с помощью которых мы можем создать более удобные физические модели и решать с их помощью больше задач. Давайте упорядочим информацию о тех инструментах кинематики, которые у нас уже есть, и заодно научимся пользоваться новыми.

Рис. 6. Определение материальной точки

Здесь мы под точкой понимаем то же, что и в геометрии: дать определение точке нельзя, это базовое понятие, но мы можем сформулировать, что мы с её помощью будем описывать – объект, на размеры которого мы при решении данной задачи можем не обращать внимания, но на положение которого мы можем указать. Только в отличие от точки в геометрии, в физике мы ей приписываем еще и массу.

Обратите внимание, что само по себе выражение «материальная точка» - оксюморон (как, например, «живой труп»). Действительно, сама по себе точка не может быть материальной, у неё нет длины, ширины, мы, в принципе, не можем на неё указать. Но в этом и заключается смысл модели – не существовать в реальности, а приближать с достаточной точностью множество реальных ситуаций и помогать их описывать.

Мы говорим о движении, то есть об изменении положения точки со временем. Но изменение положения может быть только относительно других объектов. В жизни, чтобы обозначить положение чего-либо, мы говорим: возле окна, в десяти километрах от города. Можем указать адрес: улица Пушкина, и номер дома и квартиры. Можем указать место в театре: ряд 7, место 15. В зависимости от задачи, которую мы решаем, мы выбираем точку отсчёта и систему координат.

Воспользуемся уже готовым математическим инструментом – декартовой (прямоугольной) системой координат. Но система координат позволяет задать положение точки относительно какого-то объекта, то есть нужно еще задать этот объект – тело отсчета.

Добавим к системе координат и телу отсчета часы, чтобы рассматривать процессы с течением времени, и получим систему отсчета. Раздел физики, механика, занимается решением следующей задачи, которая так и называется:

Основная задача механики – точно определять положение тела в пространстве в любой момент времени.

В этой стандартной формулировке все слова следует пояснить.

Абсолютно точно мы в реальном мире ничего не определяем. Точность всегда конечна: иногда нас устраивает определить положение чего-то с точностью до метра, иногда – до миллиметра, а ведь можно и до десятой, и до тысячной доли миллиметра – на чём-то всё равно остановимся. И, как мы уже много раз говорили, точность определяется конкретной задачей, которую мы сейчас решаем.
Для тела можно использовать разные модели, мы договорились изучать модель материальной точки.
Нас не интересует любой момент времени, нас интересует конкретный период в рамках решаемой задачи. Если автомобиль едет с постоянной скоростью 70 км/ч, то через 5 часов он будет в 350 километрах от начала пути. В решение мы действительно можем подставить любое время и получить ответ: за 10 часов проедет 700 км, а за месяц обогнёт земной шар. Только эти результаты лишены смысла, автомобиль не будет ехать дальше пункта назначения, и уж тем более плыть во время кругосветного путешествия по океану.

На математическом языке основная задача механики звучит так: определить положение точки в пространстве в данной системе отсчёта, описав изменение её координат x, y, z от времени: то есть, найдя функции x(t), y(t), z(t). Зададим положение точки в пространстве с помощью вектора.

Рассмотрим для простоты точку на плоскости с координатам (x, y) – в пространстве будет то же самое, только на одну координату больше, (x, y, z).

Рис. 7. Трехмерная система координат

Проведем вектор из начала координат (0, 0) в эту точку, и мы получим радиус-вектор, обозначим его , с координатами (x, y). Положение точки в любой момент времени определяется зависимостью радиус-вектора от времени .

Рис. 8. Радиус-вектор

Зависимость положения материальной точки от времени называют её законом движения.

Рис. 9. – закон движения

Можно задать положение точки в виде координат, и эти координаты зависят от времени: x(t), y(t) (и, если в пространстве, то еще z(t)). Это будет закон движения в координатной форме. Можно записать закон движения в векторной форме, . Причем проекции вектора на оси координат и и будут координатами точки , , и для них мы записали, как они изменяются со временем, x(t), y(t)! Так мы с лёгкостью переходим от одной формы к другой.

Точка движется, меняет положение. Вы помните, что если последовательно соединить все положения материальной точки в процессе её движения, то получим кривую, которую назвали траекторией. Длина участка траектории называется путь, а если соединить отрезком начальную и конечную точки движения, то получим перемещение.

Рис. 10. Путь и перемещение

У нас тогда не было удобной модели, чтобы описать перемещение. Мы говорили о нём как об отрезке, который имеет направление, и это направление мы обозначали знаком плюс или минус – мы рассматривали движение вдоль одной прямой, и этого было достаточно, так как при движении вдоль прямой возможны всего два направления.

Сейчас мы можем строго определить перемещение как вектор, проведённый из начального положения материальной точки в конечное. А в другом обозначении – проведённый из конца радиус-вектора в конец радиуса-вектора .

Рис. 11. Перемещение как разность радиусов-векторов

Такой вектор – это вектор разности, запишем:

Используя свойства векторов, несложно получить из определения:

Если записать проекции радиус-векторов и перемещения на оси координат, то получим то, что мы записывали для движения вдоль одной оси. Проекции вектора перемещения равны разностям проекций радиусов-векторов:

Проекция перемещения – это скаляр, равный разности координат точки. А знак скаляра соответствует направлению составляющей вектора перемещения: параллельной оси х или у.

Рис. 12. Проекции перемещения

Модуль перемещения можно найти, как и модуль любого вектора, по его координатам:

Если вектор перемещения параллелен одной из осей, например, х, то составляющая , и: