Автомобиль ехал прямолинейно в течение часа. В начале часа его скорость была 10 км/ч, а в конце – 100 км/ч (см. рис. 11).

Рис. 11. Рисунок к задаче

Скорость изменялась равномерно. Сколько километров проехал автомобиль?

Проанализируем условие задачи.

Скорость автомобиля изменялась равномерно, то есть всё время пути его ускорение было постоянным. Ускорение по определению равно:

Автомобиль ехал прямолинейно, поэтому мы можем рассматривать его движение в проекции на одну ось координат:

Найдем перемещение.

Пример возрастающей скорости

На стол кладут орехи, по одному ореху в минуту. Понятно: сколько минут пройдет, столько орехов на столе окажется. А теперь представим, что скорость накладывания орехов равномерно возрастает с нуля: первую минуту орехов не кладут, во вторую кладут один орех, потом два, три и так далее. Сколько орехов окажется на столе через какое-то время? Понятно, что меньше, чем если бы максимальная скорость поддерживалась всегда. Причем хорошо видно, что меньше в 2 раза (см. рис. 12).

Рис. 12. Количество орехов при разной их скорости выкладывании

Так же и с равноускоренным движением: допустим, сначала скорость была равна нулю, в конце стала равна (см. рис. 13).

Рис. 13. Изменение скорости

Если бы тело постоянно двигалось с такой скоростью, его перемещение было бы равно , но поскольку скорость равномерно возрастала – то в 2 раза меньше.

Мы умеем находить перемещение при РАВНОМЕРНОМ движении: . Как обойти эту проблему? Если скорость изменяется не на много, то движение можно приближенно считать равномерным. Изменение скорости будет небольшим за небольшой интервал времени (см. рис. 14).

Рис. 14. Изменение скорости

Поэтому разобьем время в пути T на N небольших отрезков длительностью (см. рис. 15).

Рис. 15. Разбиение отрезка времени

Подсчитаем перемещение на каждом отрезке времени. Скорость прирастает на каждом интервале на:

На каждом отрезке мы будем считать движение равномерным и скорость приближенно равной начальной скорости на данном отрезке времени. Посмотрим, не приведет ли к ошибке наше приближение, если на небольшом промежутке движение будем считать равномерным. Максимальная ошибка будет равна:

и суммарная ошибка за всё время пути -> . При больших N принимаем ошибка близка к нулю. Это мы увидим и на графике (см. рис. 16): на каждом интервале будет ошибка, но суммарная ошибка при достаточно большом количестве интервалов будет пренебрежимо мала.

Рис. 16. Ошибка на интервалах

Итак, каждое следующее значение скорости на одну и ту же величину больше предыдущего. Из алгебры мы знаем, что это арифметическая прогрессия с разностью прогрессии :

Путь на участках (при равномерном прямолинейном движении (см. рис. 17) равен:

Рис. 17. Рассмотрение участков движения тела

На втором участке:

На n-м участке путь равен:

Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой каждое следующее число отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Арифметическая прогрессия задается двумя параметрами: начальный член прогрессии и разность прогрессии . Тогда последовательность записывается так:

Сумма первых членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

Просуммируем все пути. Это будет сумма первых N членов арифметической прогрессии:

Т. к. мы разбили движение на много интервалов, то можно считать, что , тогда:

У нас было множество формул, и, чтобы не запутаться, мы не писали каждый раз индексы х, но рассматривали всё в проекции на координатную ось.

Итак, мы получили главную формулу равноускоренного движения: перемещение при равноускоренном движении за время T, которую мы наряду с определением ускорения (изменение скорости за единицу времени) будем использовать для решения задач:

Мы занимались решением задачи об автомобиле. Подставим в решение числа и получим ответ: автомобиль проехал 55,4 км.

Математическая часть решения задачи

Вычислим ускорение:

Перемещение равно:

Подставим числа и получим ответ: