Вспомним основные сведения про модель идеального газа:

молекулы движутся хаотически;
механизм давления идеального газа – это соударение отдельных молекул со стенками сосуда.

Пусть идеальный газ находится в цилиндрическом сосуде (см. рис. 1). Определим давление p этого газа на поршень.

Рис. 1. Идеальный газ (молекулы) в цилиндрическом сосуде

По определению давление – величина, равная отношению силы (F), действующей перпендикулярно поверхности, к площади этой поверхности (S).

Вычислим силу (F), с которой молекулы действуют на поршень:

1. Определим силу удара одной молекулы о стенку сосуда.

Пусть молекула идеального газа массой движется в плоскости XOYсо скоростью и, ударившись о поршень, отскакивает от него со скоростью (см. рис. 2). Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на молекулу со стороны поршня во время удара, равна:

,

где a – ускорение молекулы при ударе; – изменение скорости движения молекулы при ударе; – продолжительность удара.

Рис. 2. Столкновение молекулы с поршнем

Проекция скорости на ось OY не изменяется, поэтому всё изменение скорости равно изменению скорости вдоль оси X:

Так как:

То:

Согласно третьему закону Ньютона, сила, с которой молекула действует на поршень, равна по модулю силе , с которой поршень действует на молекулу. Следовательно:

2. Рассчитаем число молекул N, ударившихся о поршень за интервал .

За интервал времени до поршня успеют долететь только те молекулы, которые движутся в направлении поршня и удалены от него на расстояние (см. рис. 3). То есть фактически половина числа молекул, заключённых в цилиндре объёмом . Следовательно, число молекул, ударившихся о поршень за интервал , равно:

– общее число молекул, которое равно произведению концентрации на объём:

Рис. 3. Молекулы, ударившиеся о поршень за время

3. Определим общую силу ударов молекул о поршень.

Эта сила будет равна произведению силы удара одной молекулы на общее число ударов:

Мы живём в трёхмерном мире, то есть любая молекула имеет проекцию скорости . Так как все молекулы двигаются хаотично, то направления их движения равноправные, поэтому можно написать, что в среднем, для средней квадратичной скорости, одинаковые (). Следовательно, заменяем квадрат проекции скорости на средний квадрат проекции скорости:

Подставляем это значение в формулу силы ударов молекул о поршень:

Значение данной силы подставим в формулу давления:

– основное уравнение МКТ идеального газа,

где макропараметры ;

микропараметры .