Классы
Предметы

Основы молекулярно-кинетической теории. Базовый уровень

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 150 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Основы молекулярно-кинетической теории. Базовый уровень

В данном уроке мы рассмотрим движение наименьших частиц в природе и научимся его описывать математически, решив при этом несколько задач.

Молекулярно-кинетическая теория строения вещества

Как передается теплота и что это вообще такое? Казалось бы, понятно, мы ее можем «пощупать» руками. Не так, как вещество, но органами чувств мы теплоту ощущаем. Мы греемся на Солнце; воспринимаем, много или мало теплоты в предмете, который занесли зимой с улицы; чувствуем, как он ею «наполняется» возле батареи.

А вот когда одно тело соприкасается с другим, как тепло переходит между ними?Люди провели аналогию с веществом, нашли что-то общее: как жидкость перетекает из одного сосуда в другой, при этом сохраняясь, так и теплота «перетекает», передается от одного тела к другому. Поэтому около 300 лет назад считали, что теплота – это некая тонкая материя, наподобие вещества, которая наполняет тело при нагревании и покидает при охлаждении. Эту тонкую материю – «носитель теплоты» – назвали флогистоном (от греч. «горючий, воспламеняемый»).

Когда мы чего-то не понимаем, есть соблазн не разбираться в явлении, а дать ему название и считать, что вопрос решен. Но такой путь названий не дает объяснений, а только отодвигает это объяснение на один шаг. Например, если мы сгибаем-разгибаем проволоку, то она нагревается. Но откуда там взялся флогистон? Как объяснить в этой модели, что в теплоту переходит движение? Кажущееся на первый взгляд правильным не всегда оказывается таковым при тщательной проверке. Передаваться может не обязательно материя. Мы уже знаем примеры: звук – это механическая волна, в которой движутся не сами частицы, а их смещение. Или пример с маятником из шариков – сами шарики, кроме крайнего, не сдвинулись, но нечто передали – энергию, в результате чего отклонился другой крайний шарик.

Наука не останавливается на одном вопросе, ученый стремится разобраться, как именно протекает процесс, находит не названия, а объяснения. Так и с теплотой: если серьезно изучать явление, то оказывается, что тело состоит из атомов, атомы находятся в движении, это движение может передаваться и т. д. И никакой дополнительной субстанции-флогистона там нет. Это движение атомов, и передается оно от атома к атому при столкновениях. А тепловые явления – это проявления этого движения.

Описывая движение частиц вещества, мы сможем объяснить, почему газ оказывает давление, как оно передается во все стороны (то, что уже давно заметили и сформулировали в виде закона Паскаля), как передается теплота, и мы это сможем описывать количественно. Но факт, на котором эта модель основывается, мы упомянули вскользь: это то, что вещество состоит из атомов.

Мы не просто так говорим об этом как о чем-то само собой разумеющемся. В младших классах мы уже обсуждали строение вещества. Но поскольку это фундамент, на котором мы будем строить нашу модель, еще раз уточним основные моменты.

1. Вещество состоит из частиц – атомов и молекул.Подробнее о частицах вещества – в ответвлении.


 

Что значит «частица»?

Вещество состоит из частиц. Что это за частицы – мы обсудили в младших классах. Само слово «частица» – это дословно «маленькая часть». Крупицы песка или сахара тоже можно назвать частицами. Мы четко определили, что молекула – это наименьшая частица, сохраняющая свойства вещества. Молекулу воды можно разделить на более мелкие частицы – атомы, а атомы – на электроны, протоны и нейтроны, но деление на молекулы – это та стадия, на которой вещество еще остается водой. А атом – это частица, сохраняющая свойства химического элемента.

Такое деление – это модель, и не все вещества можно ею описать. Некоторые вещества, например благородные газы, сохраняют свойства при делении на атомы (см. рис. 1).

Рис. 1. Атом гелия

Тогда можно условно считать, что молекула состоит из одного атома. Некоторые вещества состоят из одного типа атомов, но эти атомы соединены в сложную структуру, и для нее нет четкой границы, до которой сохраняются свойства вещества. Например, графит и алмаз состоят из атомов углерода с разной структурой, и эта структура определяет их свойства (см. рис. 2).

Рис. 2. Вещества, состоящие из атомов углерода

Непонятно, сколько нужно взять таких атомов, чтобы четко различить, где какая структура. Но эти исключения мы научились описывать.


 

2. Частицы вещества непрерывно хаотически движутся.Мы привыкли видеть, что движение прекращается, если его не поддерживать, кинетическая энергия рано или поздно переходит во внутреннюю. Но на микроуровне энергии не во что превратиться, чтобы движение прекратилось, это уже внутренняя энергия. Подробнее об этом – в ответвлении.


 

Хаотичное движение частиц вещества

Молекулы пребывают в постоянном хаотичном движении. Сравним их с бильярдными шарами. Если привести шары в движение на бильярдном столе, они рано или поздно остановятся. Но представьте, что стол и его борта тоже состоят из таких же шаров, которые пребывают в движении, – конечно, в этом случае остановки движения не будет. Поэтому на уровне молекул движение не прекращается. Рядом всегда будут другие, движущиеся молекулы, они будут «толкать» неподвижные. Избежать этого, изолировать систему нельзя, потому что все вещества состоят из молекул, которые не прекращают движение.


 

3. Частицы взаимодействуют друг с другом с силами притяжения и отталкивания (см. рис. 3).

Рис. 3. Притяжение и отталкивание

Этот пункт очевиден и следует из строения атома: если есть частицы и, тем более, если они содержат электрический заряд, он взаимодействует с зарядами других таких частиц. А как именно они взаимодействуют, как притягиваются и отталкиваются – от этого уже зависят свойства вещества.

Основываясь на этой модели, можно объяснить многие явления, связанные со свойствами вещества. Можно развивать эту модель, выделяя новые задачи и решая их. Это «семейство» моделей для удобства выделили в раздел физики, который назвали молекулярно-кинетической теорией (МКТ). Зная значение слов «молекула» и «кинетика», переводим: теория, основанная на движении молекул.

Пока какое-то утверждение не проверено, оно является гипотезой. Как можно проверить три перечисленных нами утверждения о строении вещества? Если мы решили задачу на основании данной модели и результат с удовлетворительной для нас точностью совпал с экспериментом, любая такая решенная задача подтверждает теорию. Но есть эксперименты, которые отдельно подтверждают положения МКТ. Со многими вы уже знакомы, подробнее о них – в ответвлении.


 

Экспериментальные подтверждения МКТ

1. Вещество состоит из частиц – атомов и молекул. Целая наука химия основывается на модели существования атомов и молекул, и многие явления предсказаны и объяснены с помощью этой модели. А непосредственным подтверждением можно считать изображения с электронного микроскопа, на которых отдельные атомы в молекуле стали различимы (см. рис. 4).

Рис. 4. Изображение атомов под электронным микроскопом

2. Все молекулы вещества находятся в постоянном хаотическом движении. Доказательством этому служит то, что газ занимает весь предоставленный ему объем. Что может заставить частицы газа переместиться в изначально незаполненные области? Да просто они и так постоянно в движении, и если их ничего не сдерживает, то они эти области заполняют (см. рис. 5).

Рис. 5. Заполнение газом всего объема

Явление диффузии (см. рис. 6) хорошо объясняется хаотичным движением частиц, которые при этом смешиваются и проникают между частицами другого вещества. Из младших классов вы помните броуновское движение – беспорядочное движение мельчайших видимых частиц вещества под действием молекул жидкости. Само броуновское движение – это не движение молекул, но, если частица вещества, например пылинка, достаточно мала, хаотичное движение молекул начинает на него влиять.

Рис. 6. Диффузия

3. Взаимодействие атомов и молекул. Наличие взаимодействия частиц подтверждают свойства твердых тел и жидкостей. В газах частицы между столкновениями почти не взаимодействуют. А вот возникновение сил упругости при деформации твердых тел, сохранение ими формы подтверждает наличие сил притяжения между молекулами. Поверхностное натяжение жидкостей (см. рис. 7) тоже свидетельствует о наличии притяжения между молекулами жидкостей.

Рис. 7. Поверхностное натяжение жидкостей


Инструменты для количественных характеристик молекул

Чтобы решать задачи, кроме вопросов «как?» и «что происходит?», нужно еще отвечать на вопросы «сколько?». Нужны количественные характеристики. До этого нам достаточно было массы и объема: 2 кубометра воды, 10 кг алюминия. Для удобства ввели величину плотность: сколько килограммов содержится в одном кубометре.

А теперь, когда мы заговорили об отдельных молекулах, могут возникнуть задачи, когда нам нужно знать количество этих молекул в штуках. Сколько их всего, или сколько их в каждом миллилитре объема. Мы имеем дело с огромным количеством молекул, и считать их в штуках неудобно. Мы не всегда даже вспомним названия этих секстиллионов и септиллионов, да и степени десяти записывать каждый раз тоже неудобно: «возьмем  молекул воды и  молекул сахара».

В повседневной жизни мы легко находим выход: вводим новые единицы измерения количества. Яйца считаем в десятках (а в некоторых странах – в дюжинах, то есть по 12 штук), солдат – в ротах, батальонах и т. д., картошку – в мешках. И если мешок картошки – это величина неточная, мешки бывают разного размера, как и сама картошка, то для количества вещества (его обозначили ) ввели точную единицу измерения – 1 моль. Это такое количество вещества, в котором содержится  молекул.

Это число назвали числом Авогадро:

Единицу количества ввели до того, как узнали размеры молекул и смогли их сосчитать. Изначально это было такое количество вещества, в котором молекул столько же, сколько в 12 граммах углерода .

Одно и то же количество разных молекул обладает разной массой. Это понятно, молекулы отличаются по массе. И удобно определить, какова же масса одного моля для разных веществ. Эту величину – массу одного моля вещества – назвали молярной массой и обозначили :

В СИ единица измерения молярной массы – , но исторически сложилось, что часто ее выражают в .

В таблице Менделеева указана масса атома каждого элемента в атомных единицах массы (а. е. м.) – так называемая относительная атомная масса .

Рис. 8. Относительная атомная масса химических элементов в таблице Менделеева

Одна атомная единица массы соответствует одному грамму на моль молярной массы. Например, для углекислого газа () , то есть масса молекулы равна 44 а. е. м. и молярная масса равна  или в СИ .

Запишем определения в виде уравнений. Если в 1 моль вещества содержится  молекул, значит, количество вещества  в молях означает, сколько раз это количество молекул  вмещает :

Определение молярной массы мы уже записали:

Поскольку это масса 1 моль вещества, а в 1 моль содержится  молекул, то масса одной молекулы равна:

Количество молекул в единице объема назвали концентрацией и обозначили :

Здесь нет физических закономерностей или объяснения явлений, мы просто ввели физические величины, которыми нам будет удобно пользоваться, и записали их определения математически.Мы теперь можем легко переходить от массы всего вещества к массе одной молекулы; от массы в единице объема (плотности), к количеству молекул в единице объема (концентрации) и т. д. Решим задачу в ответвлении.


 

Задача 1

Задача 1. Определить концентрацию молекул воды при плотности .

Анализ условия. В задаче не описан физический процесс или явление, речь идет о характеристиках вещества. Будем просто записывать определения физических величин в виде уравнений.

Физическая часть решения задачи. В условии задана плотность, по определению она равна массе вещества в единице объема:

Нужно найти концентрацию молекул, это, по определению, количество молекул в единице объема:

Как связать массу вещества и количество молекул? Масса всего вещества  – это масса одной молекулы , умноженная на их количество :

Мы не знаем массу одной молекулы воды. Но мы можем узнать молярную массу воды – это масса 1 моль воды, то есть масса  молекул:

Молярную массу в граммах на моль находим по таблице Менделеева: относительная атомная масса водорода равна 1, кислорода – 16, тогда для воды () молярная масса равна:

Или в СИ:

Получили простую систему уравнений, которую осталось решить, – это будет математическая часть решения. Подставим массу из третьего уравнения в первое:

Выразим из четвертого уравнения массу одной молекулы и подставим сюда же:

Видим, что  – это и есть концентрация , подставим:

И выразим:

В нашем уравнении все величины известны, вычислим:

Вот столько молекул воды содержится в одном кубическом метре, задача решена.


Температура как мера средней кинетической энергии движения частиц вещества

Мы рассматриваем вещество как множество молекул, которые движутся. Описывать движение мы научились, в разделе «Механика» мы разобрали разные модели движения и взаимодействия тел. Можем ли мы с помощью этих же моделей описать движение молекул? Оказывается, с этим возникают сложности.

Рассмотрим бильярд. Будем считать, что бильярдный стол абсолютно гладкий, так что шар катится по нему не теряя энергии, без трения. Пусть вначале на столе есть один шар, толкнем его. Можно ли проследить его движение? Да, оно прямолинейное, траектория меняется при ударах о борта, и предсказать это тоже можно (см. рис. 9).

Рис. 9. Движение одного бильярдного шара

Теперь добавим еще один шар. В промежутках между столкновениями друг с другом каждый шар будет двигаться так, будто он на столе один. А столкновения можно описать законами сохранения импульса и энергии. Да, многое будет зависеть от угла, под которым происходит столкновение, но задача решается, да и сталкиваются они редко. Используя законы динамики, мы можем точно предсказать состояние системы шаров в заданный момент времени (см. рис. 10).

Рис. 10. Столкновение двух бильярдных шаров

Пусть у нас на столе много шаров. Можно ли теперь отследить и предсказать движение каждого шара? Можно ли, зная начальное состояние системы, вычислить положение и скорость каждого шара через несколько секунд? Нет, потому что теперь даже малейшее отклонение шара приведет к тому, что он в место столкновения прилетит в немного другой момент и немного под другим углом, и результат может сильно отличаться от предсказанного (см. рис. 11).

Рис. 11. Столкновение нескольких бильярдных шаров

Если разбить одним шаром выстроенный из шаров треугольник, через какое-то время мы не сможем отличить этот стол от стола с изначально хаотично разбросанными шарами. И чем больше шаров и столкновений между ними, тем более непредсказуемым становится движение шаров в системе. Наблюдая за профессиональной игрой в бильярд, вы заметите, что даже сложные комбинации все же редко задействуют больше двух-трех шаров.

Трудно смоделировать систему с тысячей, миллионом шаров. Что уж говорить про газ, где в одном грамме порядка  частиц. Тут нужен другой подход.


 

Оценка задачи о положении всех частиц в веществе

В 1 моль газа содержится  частиц. Если даже не учитывать столкновений между ними, а только со стенками сосуда, для 1 моль газа нужно решить минимум  уравнений.

Только для перечисления скорости и положения каждой частицы, даже без решения уравнений компьютеру с быстродействием 100 млн операций в секунду потребовалось бы  секунд или 200 млн лет. Так что задача по факту неразрешима. А главное – эта информация была бы просто бесполезной: во всем этом хаосе невероятно большого для нашего воображения количества невидимых глазу частиц, которые движутся с большими скоростями, нам все равно, с какой скоростью движется каждая из них. Нам важнее оценить, как ведет себя система в целом.


Любая модель помогает решить конкретно поставленную задачу, сама модель диктуется задачей. Например, если мы строим дорогу, мы используем среднее значение автомобилей, которое будет проезжать по ней, а не траектории и скорости каждого. Если мы строим поликлинику, нам не нужны сведения о состоянии здоровья каждого жителя района, достаточно знать среднюю заболеваемость людей и их количество.

Вернемся к нашему громадному бильярду. Если мы не можем отличить случайное поведение системы от детерминированного, значит, случайная модель – хорошее приближение. Допустим, мы хотим вычислить некое среднее воздействие шаров на стенки стола или количество шаров и их среднюю скорость в некой области. Нам нужны некие средние характеристики и важно, что чем больше объектов, тем труднее решить задачу точно (то есть предсказать поведение каждого шара). Но тем точнее описывают ситуацию усредненные характеристики.

Помогает построить модель именно схожесть движения со случайным. Рассмотрим наши шары все вместе, попробуем дать некие характеристики этой совокупности. Нам не нужны траектории каждого из них, когда их миллиарды. Но мы можем вычислить, например, сколько шаров ударится о стенку в единицу времени. Можем посчитать среднюю среди шаров скорость движения.

Усредненные характеристики – это для нас не ново. Мы наблюдаем за роем пчел и говорим: «Рой был вот здесь и переместился вон туда», не отследив движение каждой пчелы. Даже если в любой момент времени часть пчел летела в противоположную сторону, мы оцениваем некую общую характеристику системы – можем охарактеризовать рой общей подвижностью, «суетливостью». Похоже выглядит толпа людей на массовом мероприятии, мы говорим о ней как о целом: толпа оживилась, успокоилась… Мы употребляем понятие народа, его культуры, хотя вклад каждого человека в культуру всего народа разный, каждый занимается чем-то своим.

Логично и для частиц вещества перейти от набора скоростей к какому-то среднему. На самом деле скорости частиц могут отличаться, у каких-то скорость чуть больше, у каких-то чуть меньше, но среднее значение можно определить.

Скорость движения молекул определяет их кинетическую энергию. Энергия нас интересует потому, что с помощью этого инструмента удобно описывать столкновения частиц. А еще потому, что мы заметили ее связь с тепловыми явлениями. Помните, мы говорили об энергии как о чем-то, что сохраняется: высота или сжатие пружины переходит в скорость, скорость переходит в нагревание. Мы выделили и подробно рассмотрели модель механической энергии и описали, как механическая энергия может превращаться в другие виды энергии, в том числе – мы тогда сформулировали не строго – в как-то связанную с нагреванием.

Чтобы охарактеризовать достаточно большую совокупность частиц, ввели статистическую величину – температуру. Как для роя пчел или толпы людей мы пытались придумать «суетливость» и «оживленность», температуру мы определили строго: она пропорциональна средней кинетической энергии частиц.

Черта над значением кинетической энергии означает «среднее», это средняя кинетическая энергия частиц,  – это масса одного атома или молекулы. Коэффициент пропорциональности обозначили : 3/2 – для удобства, немного позже поймем, зачем это было нужно. Тогда остается  – это постоянная Больцмана. Температура в этом уравнении абсолютная, по шкале Кельвина. Как перевести значение температуры в другие шкалы, вы можете вспомнить в ответвлении.


 

Градусы Цельсия, Кельвина, Фаренгейта

Для измерения физической величины нужен эталон: эталон длины, эталон массы. Или же можно выразить численное значение величины через уже введенные величины. Например, 1 Вт – это работа в 1 Дж, выполненная за 1 секунду.

Исторически понятие температуры возникло намного раньше, чем его связали со средней энергией. Поэтому градусы Цельсия не выражают через единицы энергии, джоули. Для них есть «эталон»: 0 °С – это температура плавления льда; 100 °С – температура кипения воды при нормальном атмосферном давлении. То есть тот факт, что вода замерзает при нуле и кипит при 100 °С, – это не совпадение, так Цельсий составил свою шкалу. Разбив этот интервал на 100 промежуточных делений, получили единицу измерения – один градус Цельсия.

В другой шкале, в градусах Фаренгейта, значения привязаны к другим температурам. Так, ноль в этой шкале соответствует самой низкой температуре в родном городе Фаренгейта, температура плавления льда соответствует 32 °F, а нормальная температура человеческого тела составляет 96 °F. Перевести температуру из градусов Фаренгейта в градусы Цельсия можно по формуле:

Шкала градусов Цельсия была когда-то введена и к ней привыкли во многих странах. Градусы Фаренгейта привычны для жителей США. А для научных целей используют другую шкалу – шкалу Кельвина. Величина одного градуса у нее такая же, как по шкале Цельсия. Это удобно, изменение температур будет одинаковым в обеих шкалах, а именно изменение температуры нас интересует во многих задачах.

А вот ноль шкал отличается: по шкале Цельсия ноль – это температура замерзания воды, и температура тела может быть ниже нуля. Шкала Кельвина построена следующим образом. Температура – это мера средней кинетической энергии молекул. Понижая температуру, уменьшаем кинетическую энергию молекул. И теоретически, можно дойти до состояния, когда кинетическая энергия станет равной нулю, движение частиц прекратится и меньшей температуры достичь уже будет нельзя. Температура, при этом состоянии и есть ноль градусов по шкале Кельвина. По шкале Цельсия это  градуса. То есть шкалы Фаренгейта и Цельсия просто сдвинуты друг относительно друга на 273 градуса:


Итак, мы связали кинетическую энергию одной частицы (а значит, и ее скорость), которую мы не можем напрямую измерить, с температурой, которую мы можем и воспринимать своими органами чувств, и измерять с помощью приборов – и это здорово.

Теперь мы можем решить такую задачу: найти скорость теплового движения молекул кислорода при комнатной температуре (20 ˚С). Параметры, характеризующие движение отдельной молекулы, и параметры, характеризующие свойства вещества как целого, условно разделили на микроскопические и макроскопические. К первым относятся масса молекулы, ее скорость, импульс, кинетическая энергия, а ко вторым – масса вещества, объем, давление газа, температура (так как она связана с усреднением по большому количеству частиц). И мы сможем связать микроскопические параметры с макроскопическими.

Решим задачу в ответвлении.


 

Задача 2

Задача 2. Определите скорость теплового движения молекул кислорода при температуре 20 ˚С.

Анализ условия. В задаче описан газ и идет речь о температуре и скорости движения его молекул. Мы связали температуру со средней кинетической энергией молекул (а значит, и скоростью), так что будем использовать эту связь. Там фигурирует средний квадрат скорости, и, если мы извлечем из него корень, получим среднюю квадратичную скорость молекул – ее и подразумевают под скоростью теплового движения.

Физическая часть решения задачи. Мы ввели температуру как величину, пропорциональную средней кинетической энергии частиц:

В этом уравнении неизвестна масса одной молекулы кислорода. Мы точно знаем массу 1 моль частиц – это молярная масса, для кислорода это . И мы знаем, что в 1 моль –  молекул. Значит, масса одной молекулы равна:

Получили систему из двух уравнений, из которой осталось выразить скорость.

Сделаем это в математической части решения. Подставим массу одной молекулы из второго уравнения в первое:

Выразим среднюю квадратичную скорость:

Решение готово, но добавим еще одну деталь. Произведение двух констант  встречается в уравнениях очень часто, потому его решили посчитать один раз, обозначить одной буквой  и потом использовать готовое значение:

Эту величину назвали универсальной газовой постоянной. Тогда вычислений останется меньше:

Вычислим, переведя температуру в СИ: к 20 ˚С, чтобы перевести в кельвины, нужно прибавить 273:

Как видим, молекулы движутся с большими для привычного нам мира скоростями, это больше скорости звука в воздухе. А задача решена, ответ получен.


Основное уравнение МКТ. Решение задач

Мы сравнили молекулы и атомы вещества с бильярдными шарами. Мы знаем, чем отличается поведение частиц вещества в разных агрегатных состояниях, и бильярдные шары ведут себя как молекулы газа: они взаимодействуют друг с другом только во время столкновений, свободно перемещаются, расстояния между ними больше их самих. Это не значит, что к твердым телам и жидкостям неприменимо понятие температуры. Ее мы тоже ощущаем, измеряем и количественно связываем с кинетической энергией частиц. Да, частицы связаны между собой и не могут свободно перемещаться в пространстве, но тем не менее они находятся в движении, колеблются, сталкиваются с другими частицами при контакте. Но мы пока рассмотрим более простую модель:

  • молекулы рассматриваем как материальные точки;
  • силы притяжения между молекулами отсутствуют (то есть молекулы взаимодействуют друг с другом только в моменты столкновений, столкновения считаются упругими).

Такую модель назвали идеальным газом. Такого газа в реальности не существует, молекулы на самом деле обладают ненулевым размером и взаимодействуют друг с другом. Однако размеры молекул достаточно малы по сравнению с расстояниями между ними, а влияние сил притяжения достаточно мало, так что модель идеального газа описывает реальные газы с точностью, достаточной для решения многих задач.

Среди макропараметров, которыми мы описываем газ, с объемом все понятно. Плотность, концентрацию и т. д. мы ввели для удобства. С температурой разобрались. А что такое давление? По определению это сила на единицу площади. Но что создает эту силу?

Вот надули шарик. Что там происходит, почему он стал объемным? Что-то изнутри на него давит, сопротивляется нашему пальцу, если придавить снаружи. Ненадутый шарик не сопротивлялся – стенка шарика, сама резинка, не мешала сдавливать его как угодно. Значит, дело не в стенке, дело в воздухе, который внутри.

И как это объяснить? Нужно посмотреть на это с точки зрения модели МКТ: воздух состоит из молекул, они движутся, сталкиваются со стенкой шарика – вот и воздействие, та самая сила, которую мы рассчитали на единицу площади и получили давление (см. рис. 12).

Рис. 12. Давление молекул газа на стенки шарика

Представим это на примере бильярдного стола с шарами: шары бьются о борта и создают «давление». Только шаров не так уж много, и они толкают борт стола прерывисто, в моменты ударов. А представьте, сколько в воздушном шаре молекул воздуха, и при скоростях в сотни метров в секунду представьте, сколько происходит таких столкновений. Конечно, мы не можем различить эти столкновения, и на макроскопическом уровне это воспринимается как постоянное воздействие.

Как видите, многие законы можно понять на простом уровне, если применить модель, по которой вещество состоит из подвижных молекул. Мы поняли, как это происходит, это хорошо. Но нужно еще описать этот процесс математически.

Эта задача решается с помощью закона сохранения импульса. Давление – это сила, деленная на площадь (а точнее – перпендикулярная поверхности составляющая силы).

При упругом столкновении молекулы с поверхностью меняется импульс молекулы, изменение импульса равно импульсу силы: той самой силы взаимодействия молекулы и поверхности:

 – это сила удара одной молекулы, и если за время  произошло  ударов, то все они в сумме создали силу :

(Удары не одинаковые, поэтому мы взяли среднюю силу одного удара (см. рис. 13).)

Рис. 13. Механика столкновения молекулы со стенкой сосуда

Эта задача решается, мы же запишем готовый конечный результат:

Это уравнение назвали основным уравнением молекулярно-кинетической теории идеального газа. Из этого уравнения понятно то, что мы немного раньше описали без математической записи: давление  высокое, если частицы часто ударяются о стенки (а это происходит при высокой концентрации частиц ), и понятно, что частицы с большими массами и скоростями будут действовать сильнее.

Заметьте: масса частицы на квадрат скорости есть в формуле для кинетической энергии:

 – это средняя кинетическая энергия молекул:

Подставим в уравнение:

Мы сегодня уже связали температуру со средней кинетической энергией молекул: . Подставим энергию, выраженную через температуру:

Именно для этого и нужен был коэффициент 3/2. В основном уравнении МКТ 1/3 возникла из-за того, что в трехмерном пространстве в давлении на данную поверхность играет роль только одно направление движения частиц из трех (x, y, z). Двойка появилась, потому что в формуле  есть деление на 2. Все сократилось, и уравнением  мы еще много будем пользоваться. Решим еще одну задачу в ответвлении. А на этом наш урок окончен, спасибо за внимание.


 

Задача 3

Задача 3. Идеальный газ оказывает на стенки сосуда давление, равное атмосферному. Тепловая скорость молекул равна 480 м/с. Найдите плотность газа.

Анализ условия. В задаче описан идеальный газ, говорится о его давлении (макропараметре) и тепловой скорости (микропараметре). Связь давления с тепловой скоростью описывается основным уравнением МКТ.

Физическая часть решения задачи. Запишем основное уравнение МКТ:

С давлением все понятно, атмосферное давление принимают приблизительно равным , скорость тоже известна, но у нас нет ни концентрации молекул, ни массы одной молекулы, и надо найти плотность. Запишем в виде формул, что означают эти определения. Плотность – это масса единицы объема:

Концентрацию молекул – это, по определению, количество молекул в единице объема:

Перепишем основное уравнение МКТ, расписав концентрацию:

Масса одной молекулы, умноженная на количество молекул, – это масса всего вещества :

Получили  – это и есть плотность газа:

Осталось выразить и вычислить плотность:

Задача решена.


 

Список литературы

  1. Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. Физика 10. – М.: Просвещение, 2008.
  2. Касьянов В.А. Физика 10. – М.: Дрофа, 2000.
  3. М.М. Балашов, А.И. Гомонова, А.Б. Долицкий и др. Физика: Механика 10. – М.: Дрофа, 2004.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал Класс!ная физика
  2. Интернет-портал Класс!ная физика
  3. Интернет-портал Класс!ная физика
  4. Интернет-портал Класс!ная физика
  5. Интернет-портал Класс!ная физика

 

Домашнее задание

  1. Посчитайте примерное количество молекул воздуха в комнате, в которой вы находитесь. При неизвестных размерах комнаты, давлении и температуре воздуха возьмите приблизительные или усредненные значения.
  2. Определите плотность кислорода при давлении 2 • 105 Па, если средний квадрат скорости его молекул равен 106 (м/с)2.