Рассматривать изменение переменной от двух других не очень удобно. У нас есть подходящий математический инструмент для описания одной переменной от другой – функция. В рассмотренных в начале урока примерах мы фиксировали один из трех параметров газа (например, температуру) и рассматривали зависимость двух других. Подробно рассмотрим все три случая.

Начнем с фиксированной температуры и рассмотрим связь давления и объема в этом случае. Процессы, в которых мы считаем неизменным один из параметров состояния газа, назвали изопроцессами, от древнегреческого ἴσος, что означает «одинаковый, равный». А процесс, в котором сохраняется температура (const), называется изотермическим (несложно запомнить: термос – то, что сохраняет температуру).

Умножим обе части уравнения Клапейрона на температуру:

Если умножить постоянную температуру на константу, то получим тоже константу, только другую:

Нам даже не нужно знать ее значение, главное, что произведение p на V каким было в начале процесса, таким и осталось в конце:

Из уравнения видно: при уменьшении объема (сжатии) при постоянной температуре увеличивается давление, и наоборот (на математике мы говорили, что такая зависимость называется обратной пропорциональностью).

Мы получили это уравнение, воспользовавшись математической моделью, но еще в XVII веке эту закономерность экспериментально выявили англичанин Бойль и француз Мариотт, поэтому ее назвали в их честь законом Бойля – Мариотта:

Для газа данной массы при постоянной температуре произведение давления газа на его объем постоянно.

Как это выглядит на практике? Представьте шар с мягкой резиновой оболочкой или цилиндр со скользящим поршнем, в которых находится определенная масса газа. Как добиться того, чтобы при сжатии газа его температура оставалась постоянной? Газ должен обмениваться теплотой с большим телом с неизменной температурой – термостатом (см. рис. 2).

Рис. 2. Сжатие газа, отвод теплоты для постоянной температуры

Реально ли поддерживать таким способом постоянную температуру? Нет, для этого газ нужно сжимать очень медленно, чтобы он успевал остывать, едва начиная нагреваться. Но если не будет разности температур, то и теплообмена не будет: тепло передается от теплого холодному. Поэтому процесс сможет протекать так: небольшими шагами сжимаем газ, чтобы на каждом таком шаге он немного нагревался и это тепло тут же забирал термостат. Постоянная температура – это приближение, тем не менее достаточно точно описывающее реальный процесс и позволяющее решать задачи.

Зафиксируем второй параметр – давление, при этом меняться будут температура и объем. Давление мы ассоциируем с древнегреческим βαρύς – «тяжелый», вы знаете, что атмосферное давление измеряют барометром, поэтому процесс с постоянным давлением (onst) назвали изобарным.

Разделим обе части уравнения Клапейрона на давление:

Если разделить константу на постоянное давление, то получим тоже константу:

А если рассмотреть объем и температуру в начале и в конце изобарного процесса, можно записать:

Из уравнения видно: при увеличении температуры (нагревании) при постоянном давлении увеличивается объем (газ расширяется), и наоборот, при охлаждении – сжимается. Это пример прямой пропорциональности. До того как вывели этот закон математически, его экспериментально получил Гей-Люссак (это двойная фамилия одного человека, французского ученого), поэтому его назвали законом Гей-Люссака:

Для данной массы газа при постоянном давлении отношение объема к температуре постоянно.

Пример реального процесса, который можно описывать как изобарный: газ, который находится в цилиндре под поршнем, который свободно перемещается и на который снаружи действует постоянное давление, например атмосферное. Тогда, если нагреть этот газ, он будет расширяться, но давление как было равным атмосферному (плюс давление самого поршня), так и останется.

На самом деле, если давление газа совсем не будет увеличиваться, у поршня не будет причин двигаться, давления будут все время уравновешены. Так что давление немного увеличивается, но под его действием поршень сдвигается вверх, и оно тут же понижается до прежнего значения. Эти изменения небольшие, так что для решения многих задач давление можно действительно считать постоянным.

И остался третий параметр, который мы еще не фиксировали, – объем, при этом изменяются температура и давление. Называется такой процесс, при котором (onst), изохорным, от древнегреческого χῶρος – «место, пространство». Разделим обе части уравнения Клапейрона на объем:

Справа получилась константа:

Теперь можно связать давление и температуру в начале и в конце изохорного процесса:

Из уравнения видно: при увеличении температуры (нагревании) при постоянном объеме увеличивается давление газа, и наоборот. Это тоже прямая пропорциональность. И этот закон тоже сначала был получен экспериментально, французским ученым Шарлем, поэтому и назван его именем – закон Шарля:

Для газа данной массы отношение давления к температуре постоянно, если объем не меняется.

Для этого процесса модель точнее описывает реальный процесс: в закрытом жестком сосуде объем действительно можно считать постоянным с хорошей точностью. Пример – металлический баллон. Если газ в нем нагреть, давление увеличится, но при большой жесткости баллона он практически не деформируется (по крайне мере настолько, чтобы внести заметную погрешность в расчеты).