Найти длину волны электрона, ускоренного разностью потенциалов .

Дано: – заряд электрона; – масса электрона; ; ; – напряжения ускоряющего электрического поля; – скорость света.

Найти: – длину волны

Решение

Для решения задачи применяем уравнение де Бройля:

Из курса электродинамики известна формула работы электрического поля, которая идет на повышение кинетической энергии электрона:

Из этого уравнения выражаем скорость, которую получает электрон в электрическом поле:

Если провести расчёт, то можно увидеть что при напряжении скорость электрона намного меньше скорости света, а при напряжении и – больше скорости света, и в таком случае решать задачу с помощью данной формулы нельзя.

1. Вычислим длину волны для первого напряжения.

– нерелятивистское выражение для импульса

Подставляем его в уравнение де Бройля:

2. Для выведения формулы импульса в релятивистском случае вспомним выражение полной энергии из раздела «Основы теории относительности».

– конечная энергия

– начальная энергия

То есть ускоряющее электрическое поле совершило работу и из-за этого произошло изменение массы. Для того чтобы выбрать способ решения (релятивистский или нерелятивистский), необходимо оценить изменение массы:

Если будет мало по сравнению с массой покоя электрона, то можно использовать нерелятивистскую формулу для импульса.

Если соизмерима с массой покоя электрона, то используем релятивистский способ решения, который основан на следующем соотношении (из раздела «Основы теории относительности»):

Из этого выражения необходимо выразить импульс p:

Так как

То:

Подставляем выражение для импульса в уравнение де Бройля:

В данную формулу подставляем физические постоянные:

Мы получили формулу вычисления длины волны электрона в релятивистском случае при любом значении напряжения.

3. Для напряжения длина волны электрона равна:

Для напряжения длина волны электрона равна:

Ответ: ;

Список литературы

Г. Я. Мякишев, А. З. Синяков. Физика: Оптика. Квантовая физика. 11 кл.: Учеб. для углубленного изучения физики – М.: Дрофа, 2002.
Касьянов В. А. Физика. 11 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений. – М.: Дрофа, 2005.
Анциферов Л. И. Физика: Электродинамика и квантовая физика. 11 кл. – М.: 2004.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Интернет-портал «Slideshare.net» (Источник)
Интернет-портал «Class-fizika.spb.ru» (Источник)
Интернет-портал «Msk.edu.ua» (Источник)

Домашнее задание

Определите длину волны де Бройля электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.
Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля L была равна 0,1 нм?
Определить длину волны де Бройля для электрона, находящегося в атоме водорода на третьей боровской орбите.