Необходимо выяснить, откуда берется энергия и как ее рассчитать.

Рассмотрим опыт. Пусть имеется электрическая цепь, в которой катушка с индуктивностью () последовательно соединена с лампочкой и через переключатель может быть замкнута либо на источник постоянного тока (), либо на резистор с сопротивлением () (рис. 2).

Рис. 2. Схема

Если в цепь включить амперметр, то можно получить график зависимости тока в цепи от времени. Сначала замкнем катушку на источник ЭДС – в цепи будет протекать ток (рис. 3).

Рис. 3. График изменения тока

Затем, в некоторый момент времени переключим ключ, замыкая катушку на резистор – в цепи будет протекать убывающий ток. С момента времени до полного исчезновения тока пройдет определенное время, в течение которого будет происходить перенос заряда в цепи катушки и резистора. Следовательно, будет совершаться работа: убывание тока в катушке вызовет явление самоиндукции, и в ней возникнет ЭДС самоиндукции. Разобьем участок 2 графика изменения тока на бесконечно малые интервалы времени , такие, что на каждом интервале изменения тока можно считать линейными (рис. 4).

Рис. 4. Разбиение участка 2 на интервалы

На каждом таком участке будет совершаться работа, численно равная произведению ЭДС индукции на переносимый за этот интервал времени заряд:

Подставим выражение для ЭДС самоиндукции в выражение для работы на интервале времени :

Отношение перенесенного заряда к интервалу времени является средним значением тока на этом элементарном интервале времени:

Тогда выражение для работы на элементарном интервале времени примет вид:

Если просуммировать работу по всем элементарным участкам от до 0, получим выражение для полной работы за весь интервал времени:

Такая работа пойдет на нагревание проводников внутри катушки, замкнутой на резистор.

Выразим энергию магнитного поля через параметры магнитного поля. Для катушки индуктивность равна:

Модуль магнитной индукции катушки определяется соотношением:

Тогда для энергии магнитного поля получим выражение:

Разделим выражение для энергии магнитного поля катушки на ее объем, считая, что все магнитное поле сосредоточено в объеме катушки:

Развивая теорию электромагнетизма, Джеймс Кларк Максвелл показал, что полученное выражение для длинной катушки справедливо для любых магнитных полей, а полученная величина называется плотностью энергии магнитного поля.