Решение задач на равнопеременное движение в проекциях на координатные оси

Тема урока

Мы знаем, что основным законом динамики является второй закон Ньютона, который имеет векторную форму записи: сумма всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:  m.

Векторные уравнения при решении задач не применяются, а проецируются на координатные оси, причем одну из координатных осей, обычно это ох, выбирают коллинеарно ускорению или, при отсутствии ускорения, – скорости движения тела:

 ох ↑↑∩

В таком случае ускорение будет иметь проекцию только на ось х: а_х = а, а_у = 0

Векторное уравнение второго закона Ньютона сводится к двум скалярным уравнениям:

  

По оси х сумма проекций всех сил на ось х равна произведению массы тела на ускорение, и проекция на ось у – сумма проекций всех сил на ось у – равна нулю.

Эти два уравнения положены в основу решения задач.

Задача 1

Какую силу тяги развивает жук массой 2 г при горизонтальном полете со скоростью 1,2 м/с, если коэффициент сопротивления движению равен 0,46?

Запишем краткое условие задачи и поясняющий чертеж (рис. 1).

Рис. 1. Решение задачи 1 (Источник) 

а = 0; ох: F_тх - F_c = 0

оу: F_ту - mg = 0 => F_тх = F_c = к_с·mg; F_ту = mg

F_т=  = = mg 

F_т = 2·10^-3·10 = 20· ·10^-3 = 22·10^-3 (Н)

Ответ: F_т = 22 мН.

Очень часто эту задачу решают неверно, считая, что сила тяги развивается в направлении движения, но, если скорость направлена по оси х, сила сопротивления направлена против скорости, на жука действует сила тяжести и силу тяги жук должен развивать таким образом, чтобы не упасть (погасить силу тяжести) и преодолеть силу сопротивления, то есть двигаться вперед. Поэтому силу тяги на чертеже необходимо показывать под некоторым углом к горизонту. В этой задаче нам неизвестен угол, под которым развивается сила тяги, и, если мы не будем фигурировать углом, сила тяги проецируется на координатные оси F_ту и F_тх.

Уравнения в проекциях второго закона Ньютона примут вид с учетом движения жука равномерно: ускорение равно нулю, тогда:

по оси х: сила тяги в проекции на ось х минус сила сопротивления равно нулю;

по оси у: сила тяги в проекции на ось у минус сила тяжести равно нулю.

Выразим силу тяги из первого уравнения, получаем, что она равна силе сопротивления, которую можно выразить через коэффициент сопротивления на mg.

Сила тяги по оси у по второму уравнению будет равна mg.

Для вычисления силы тяги применяют обычный метод: вектор имеет модуль, величина которого равна корню квадратному из суммы квадратов проекций этого вектора на координатные оси, подставляя уже полученные выражения, находим, что жук развивает силу тяги 22 мН.

Задача 2

Тело массой 2 кг лежит на горизонтальной поверхности, коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,2. Какую силу надо приложить под углом 30⁰ к горизонту, чтобы сообщить телу ускорение 2 м/с за секунду?

Запишем краткое условие задачи и поясняющий чертеж (рис. 2).

 

Рис. 2. Решение задачи 2 (Источник) 

m +  + = m

ох: -μN + F_т·cosα = ma; оу: - mg + N + F_т·sinα = 0

N = mg - F_т·sinα

-μ(mg - F_т·sinα) + F_т·cosα = ma

F_т =  =  =  ≈ 8,3 (Н)

Ответ: F_т ≈ 8,3 Н.

На чертеже показаны силы: сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила тяги, которую нам необходимо определить.

По второму закону Ньютона сумма всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение. В таком случае проецируем этот закон на координатные оси, ось ох выбираем в направлении ускорения, ось оу перпендикулярна ему и каждую из сил векторной записи мы проецируем на соответствующие оси.

По оси х сила трения имеет проекцию со знаком минус, записываем силу трения через выражение силы реакции опоры, сила тяги проецируется на ось х через cosα.

По оси у mg проецируется со знаком минус, так как она противоположна направлению оси, и сила тяги F_т проецируется через sinα.

Из второго уравнения выражаем силу реакции опоры N и подставляем это выражение в первое уравнение. В полученном выражении производим алгебраические, математические преобразования, подставляем числовые значения и находим силу тяги.

Задача 3

Мотоцикл начал торможение со скорости 7 м/с. Средняя сила трения, действующая на мотоцикл, равна 980 Н. Какой путь пройдет мотоцикл до полной остановки, если его масса – 240 кг?

Запишем краткое условие задачи и выполним поясняющий чертеж (рис. 3).

Рис. 3. Решение задачи 3 (Источник) 

m +  + = m 

ох: -F_тр = ma; a = -  ; S = ;

S = -  =  =  = 6 (м)

Ответ: 6 м.

На мотоцикл действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила трения, направленная в сторону противоположную скорости.

В этом случае ось х лучше выбрать в направлении движения, имея в виду то, что надо найти путь, который проходит в положительном направлении, то есть по оси х. Тогда сумма всех сил, действующих на мотоцикл, равна произведению массы на ускорение. Уравнение записываем только по оси х, так как по оси у у нас никакого перемещения не происходит. Их этого уравнения находим ускорение как отношение силы трения к массе, взятое со знаком минус, так как ускорение направлено против скорости.

Вспоминаем формулу кинематики, где пройденный путь связан с ускорением, начальной и конечной скоростями, то есть разности квадратов конечной и начальной скорости, деленной на удвоенное ускорение. Подставляя в эту формулу значение ускорения, полученное ранее, мы видим, что конечная скорость у нас равна нулю, знак минус уходит из выражения. Используя числовые данные, находим, что тормозной путь мотоцикла составит 6 метров.

Задача 4

Из пневматического ружья, сообщающего пульке массой 1 г скорость 40 м/с, стреляют в коробок массой 2 кг и длиной 6 см, лежащий на столе. Пуля пробивает коробок и вылетает со скоростью, равной половине начальной. При каком минимальном коэффициенте трения между столом и коробком он не сдвинется?

Запишем краткое условие задачи и выполним поясняющий чертеж (рис. 4).

Рис. 4. Решение задачи 4 (Источник) 

= -  · Δt = Δ; ох: - = m(V - V₀)

Δt =  =  => F_к =  

M +  + =  => ox: -μN + F_п = 0

оу: -Мg + N = 0

μMg = F_п = F_к =  

μ =  =  = 0,5

Ответ: μ ≥ 0,5.

Здесь происходит взаимодействие двух тел: пуля действует на коробок с силой, а, по третьему закону Ньютона, коробок в этот момент действует на пулю с силой . Пуля летит со скоростью  (начальная скорость) и  при вылете. На коробок еще действуют силы притяжения Мg, сила реакции опоры  и сила трения , удерживающая коробок от смещения по столу.

Записываем третий закон Ньютона, который позволяет нам сделать заключение о том, что по модулю сила действия равна силе противодействия, то есть  и  одинаковы по величине.

Мы можем найти по второму закону Ньютона, с какой силой коробок действует на пулю, так как импульс этой силы,  · ∆t, равен изменению импульса пули ∆.

Пуля летит по оси х и уравнение достаточно написать только по одной координатной оси. В уравнении мы видим, что разность скоростей будет отрицательна, так как конечная скорость в два раза меньше начальной по условию задачи, поэтому знак минус из уравнения уйдет.

Чтобы найти время движения пули в коробке, ∆t, надо применить уравнение из раздела кинематики, где путь делится на среднюю скорость, и, подставив это значение в формулу записи уравнения динамики по оси ох, можно получить уравнение для силы , с которой коробок действует на пулю.

Уравнение для коробка – это сумма сил, действующих на коробок, равная нулю. В этом случае упрощается уравнения в проекциях на ось. По оси ох всего две силы: сила трения, которую мы расписываем сразу через коэффициент трения и силу реакции опоры μN, и сила , действующая на коробок со стороны пули. Знак минус говорит о том, что сила трения направлена в сторону, противоположную оси ох.

По оси оу остается тоже два слагаемых – Мg и N, в таком случае мы можем легко выразить силу трения и далее коэффициент трения. Подставляя числовые значения, получим, что минимальный коэффициент трения будет 0,5.

 

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика – 9, Москва, Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Rudocs.exdat.com (Источник). 
2. Sites.google.com (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Каким законом мы пользуемся при составлении уравнений?
2. Как применяются векторные уравнения при решении задач?