На какой высоте над экватором может зависнуть искусственный спутник Земли над одной точкой поверхности? Радиус Земли принять равным 6400 км.

Дано: ;

Найти: h

Решение

Иллюстрация к задаче

Рис.1. Иллюстрация к задаче

Спутник может зависнуть над экватором Земли в том случае, если он движется по окружности вокруг центра Земли и период его обращения равен периоду обращения Земли вокруг своей оси:

То есть, если взять точку на экваторе (A), то спутник должен двигаться с ней синхронно в одном направлении (см. рис. 1).

Период обращения по окружности (в данном случае спутника) равен отношению длины окружности к скорости:

Скорость спутника найдем из закона всемирного тяготения. Сила, действующая на спутник равна:

,

где – гравитационная постоянная; – масса спутника; – масса Земли; – расстояние от центра Земли до спутника.

Эта сила является центростремительной, то есть:

Следовательно:

Домножаем числитель и знаменатель на :

Как известно – это ускорение свободного падения у поверхности Земли :

Данное значение скорости подставляем в формулу периода:

Возведем обе части уравнения в квадрат:

и – близкие по значению числа, и их можно сократить:

Ответ: .