Закон всемирного тяготения. Движение планет и спутников

Закон всемирного тяготения

Соображения Ньютона состояли в следующем.

- Если сила притяжения тела к Земле пропорциональна массе тела F_тяг = mg, а каждой силе действия есть сила противодействия F_1,2 = F_2,1 и если тело притягивается к Земле, то и Земля притягивается к телу. Тогда сила тяготения должна быть пропорциональна как массе одного тела, так и массе второго тела F_тяг ~ m₁m₂, то есть сила тяготения пропорциональна произведению масс, взаимодействующих тел.

- Ньютон заметил, что ускорение на планете Земля, ускорение свободного падения

g = F_тяг / m – это примерно 10 м/с², а ускорение, с которым движется Луна по своей орбите а_л = F_тяг / М_л = g / 3600, – это центростремительное ускорение, в 3600 раз меньше ускорения свободного падения. Ньютон догадался, почему такая разница в числах: дело в том, что расстояние от Земли до Луны составляет примерно шестьдесят земных радиусов r_з-л ≈ 60R_з. Их, а также ускорение 3600 Ньютон объединил следующим выводом: сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими телами F_тяг ~ 1 / r².

Учитывая эти два посыла, Ньютон дал общую формулировку: сила всемирного тяготения прямо пропорциональна массам взаимодействующих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

  = γ (-)

γ – коэффициент пропорциональности (гамма), а направление силы – это сила притяжения друг к другу, и направление в этой формуле дается следующим образом: это единичный вектор, приведенный из первого тела ко второму, то есть отношение самого вектора к его модулю. Знак минус означает, что сила тяготения направлена не от первого тела ко второму, а от второго тела к первому.

Коэффициент пропорциональности измерил Кавендиш в своем эксперименте:

γ = G = 6,62 · 10^-11 Нм² / кг²

Из закона всемирного тяготения следуют формулы ускорения свободного падения:

1. Ускорение свободного падения у поверхности планеты:

g₀ = F_тяг / m = γmМ_з / R²_з · m = γ · М_з / R²_з.

Зная ускорение на планете Земля, радиус Земли, значение гравитационной постоянной, можно при необходимости вычислить массу Земли.

2. Ускорение свободного падения на каком-то расстоянии h от поверхности планеты:

g_h = γ· М_з / (R_з + h)² = (γ · М_з / R²_з) · R²_з / (R_з + h)².

Так как в такой форме ее трудно применить, то пользуются приведенной формулой:

g_h = g₀ · (R_з / R_з + h)²

3. Ускорение свободного падения на глубине: g_h↓ = g₀ · (R_з - h / R_з).

На основе закона всемирного тяготения можно рассчитать скорость спутников планет (рис. 1).

 

Рис. 1. Пример расчета скорости спутника (Источник) 

m ┴  => g_h =  ; g₀ = ; V_h =  

при h <<  V_h =  ≈ 7,9 км/с

В этом случае сила притяжения будет перпендикулярна скорости спутника при движении по круговой орбите, она вызывает центростремительное движение. Зная ускорение свободного падения на высоте h, получаем формулу скорости спутника на высоте h. Очевидно, что с ростом высоты скорость будет уменьшаться, а у самой поверхности Земли при очень малых h по сравнению с радиусом Земли применяется упрощение. То есть h пренебрегают, вносят радиус Земли под корень, производят сокращения и получают формулу первой космической скорости, которая равна 7,9 км/с. При такой скорости спутник недалеко от поверхности Земли может двигаться по круговой орбите.

Пример решения задачи 1

У поверхности Луны на космонавта действует сила тяготения 120 Н. Какая сила тяготения действует со стороны Луны на того же космонавта в космическом корабле, движущемся по круговой орбите вокруг Луны на расстоянии трех лунных радиусов от ее центра?

1. 0 Н; 2. 39 Н; 3. 21 Н; 4. 13 Н.

Запишем краткое условие задачи и рассмотрим решение:

Ответ: вариант 4. 13 Н.

Пример решения задачи 2

Два тела массой по 1000 тонн удалены на 0,1 км друг от друга. Найти силу их гравитационного притяжения.

1. 6,7 мН; 2. 0,67 Н; 3. 6,7 Н; 4. 6,7 кН.

Записываем краткое условие задачи, переводя тонны в килограммы, расстояние в метры, и решение.

Ответ: вариант 1. 6,7 мН.

Применяя закон всемирного тяготения, мы получаем правильный ответ 1.

Пример решения задачи 3

Чему равна скорость спутника Земли на круговой орбите на высоте 500 км от ее поверхности? Радиус Земли принять равным 6400 км.

1. 7,6 км/с; 2. 7,8 км/с; 3. 7,9 км/с; 4. 8,2 км/с.

Записываем краткое условие задачи и вычисления.

Ответ: вариант 1. 7,6 км/с.

Используя формулу спутника на высоте, мы вносим радиус планеты под знак радикала и разбиваем его на два множителя. У нас под корнем получилась первая космическая скорость, которую мы можем вынести за знак радикала и, подставив значения, получим, что скорость будет равна 7,6 км/с – это соответствует 1 ответу.

Движение планет и спутников

На основе закона всемирного тяготения рассчитывают период обращения спутников, как естественных, так и искусственных. Зная период обращения, мы можем найти массу спутников. Период обращения находится по формуле: Т = 2πR / V, то есть длина окружности, деленная на скорость по орбите. При малых высотах по сравнению с радиусом Земли для вычисления скорости спутника, который летит недалеко от поверхности Земли, период мы находим по формуле:

Т_о =  = 2π

Помним о том, что в числителе у нас длина экватора, а в знаменателе первая космическая скорость. Произведя расчеты мы получим, что Т_о ≈ 5060 с ≈ 1 ч 24 мин = 1,4 ч – это время, за которое искусственный спутник Земли, двигающийся недалеко от поверхности, совершает полный оборот. Если спутник летит по орбите, высота которой соизмерима с радиусом Земли, мы пользуемся формулой:

Т_h =  = 2π  = Т_о ( )^3/2

Эту формулу мы получили, внеся (R + h) под знак радикала и используя уже полученное значение Т_о.

Рассмотрим задачу, по которой была вычислена масса Солнца.

Радиус земной орбиты составляет 1,5 · 10¹¹ м. Чему равна масса Солнца?

Обычно эта задача вызывает затруднение, так как дан всего лишь один параметр, но нужно помнить, что Земля вокруг Солнца совершает один оборот за 365 дней, в сутках у нас 24 часа и в каждом часе 3600 секунд, так что нам известен период обращения Земли как спутника Солнца. Поэтому записываем краткое условие задачи и решение.

Ответ: 2·10³⁰ кг.

Сила, с которой Земля притягивается к Солнцу, приводит к центростремительному ускорению, поэтому применяем формулу, которая выражается через период обращения. С другой стороны, это сила тяготения, и по закону всемирного тяготения выражается через гравитационную постоянную, массу Земли и массу Солнца, деленные на квадрат расстояния между ними. Сокращаем массу Земли в двух последних членах этого равенства, неизвестным остается только масса Солнца, которую мы можем вычислить, подставляя все данные.

Рассмотрим еще одну задачу.

В результате перехода с одной круговой орбиты на другую центростремительное ускорение спутника Земли уменьшается. Как изменяются в результате этого перехода радиус орбиты спутника, скорость его движения по орбите и период обращения вокруг Земли? Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1. увеличилась; 2. уменьшилась; 3. не изменилась.

При решении задач с выбором ответа необходимо перед решением выписать формулы величин, которые фигурируют в условии задачи. Сказано о том, что центростремительное ускорение уменьшилось, а центростремительное ускорение спутника есть не что иное, как ускорение свободного падения на его орбите: g_h = g₀ · (R_з / R_з + h)², если g уменьшилось, значит, h увеличилось.

Скорость спутника на орбите, находящегося на высоте, – V_h =  , если h увеличивается, то скорость уменьшается.

Формулу для периода обращения применяем Т_h = Т_о ()^3/2, по которой видно без вычислений, что произошли изменения.

Ответ: в результате перехода радиус орбиты спутника увеличился, скорость его движения по орбите уменьшилась, период обращения вокруг Земли увеличился.

Заключение

Наличие всемирного тяготения объясняет устойчивость Солнечной системы, движение планет и других небесных тел. С открытием закона всемирного тяготения к людям пришло понимание принципа строения вселенной. Ярчайшим примером применения закона всемирного тяготения является запуск искусственного спутника Земли. Спутник все время находится на равном расстоянии над поверхностью Земли. Земля притягивает одинаково во всех направлениях.

 

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика – 9, Москва, Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Refoteka.ru (Источник). 
2. Physics.ru (Источник). 
3. Koledj.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Сформулируйте закон всемирного тяготения. Поясните его физический смысл.
2. Какие формулы ускорения свободного падения следуют из закона всемирного тяготения?