Соображения Ньютона состояли в следующем.

Если сила притяжения тела к Земле пропорциональна массе тела F_тяг = mg, а каждой силе действия есть сила противодействия F_1,2 = F_2,1и если тело притягивается к Земле, то и Земля притягивается к телу. Тогда сила тяготения должна быть пропорциональна как массе одного тела, так и массе второго тела F_тяг ~ m₁m₂, то есть сила тяготения пропорциональна произведению масс, взаимодействующих тел.
Ньютон заметил, что ускорение на планете Земля, ускорение свободного падения

g = F_тяг/ m – это примерно 10 м/с², а ускорение, с которым движется Луна по своей орбите а_л = F_тяг / М_л = g / 3600, – это центростремительное ускорение, в 3600 раз меньше ускорения свободного падения. Ньютон догадался, почему такая разница в числах: дело в том, что расстояние от Земли до Луны составляет примерно шестьдесят земных радиусов r_з-л ≈ 60R_з. Их, а также ускорение 3600 Ньютон объединил следующим выводом: сила тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния между взаимодействующими телами F_тяг ~ 1 / r².

Учитывая эти два посыла, Ньютон дал общую формулировку: сила всемирного тяготения прямо пропорциональна массам взаимодействующих тел и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

= γ (-)

γ – коэффициент пропорциональности (гамма), а направление силы – это сила притяжения друг к другу, и направление в этой формуле дается следующим образом: это единичный вектор, приведенный из первого тела ко второму, то есть отношение самого вектора к его модулю. Знак минус означает, что сила тяготения направлена не от первого тела ко второму, а от второго тела к первому.

Коэффициент пропорциональности измерил Кавендиш в своем эксперименте:

γ = G = 6,62 · 10^-11 Нм² / кг²

Из закона всемирного тяготения следуют формулы ускорения свободного падения:

1. Ускорение свободного падения у поверхности планеты:

g₀ = F_тяг/ m = γmМ_з / R²_з · m = γ · М_з / R²_з.

Зная ускорение на планете Земля, радиус Земли, значение гравитационной постоянной, можно при необходимости вычислить массу Земли.

2. Ускорение свободного падения на каком-то расстоянии h от поверхности планеты:

g_h = γ· М_з / (R_з + h)² = (γ · М_з / R²_з) · R²_з / (R_з + h)².

Так как в такой форме ее трудно применить, то пользуются приведенной формулой:

g_h = g₀ · (R_з / R_з + h)²

3. Ускорение свободного падения на глубине: g_h↓ = g₀ · (R_з - h / R_з).

На основе закона всемирного тяготения можно рассчитать скорость спутников планет (рис. 1).

Рис. 1. Пример расчета скорости спутника (Источник)

m ┴ => g_h = ; g₀ = ; V_h =

при h << V_h = ≈ 7,9 км/с

В этом случае сила притяжения будет перпендикулярна скорости спутника при движении по круговой орбите, она вызывает центростремительное движение. Зная ускорение свободного падения на высоте h, получаем формулу скорости спутника на высоте h. Очевидно, что с ростом высоты скорость будет уменьшаться, а у самой поверхности Земли при очень малых h по сравнению с радиусом Земли применяется упрощение. То есть h пренебрегают, вносят радиус Земли под корень, производят сокращения и получают формулу первой космической скорости, которая равна 7,9 км/с. При такой скорости спутник недалеко от поверхности Земли может двигаться по круговой орбите.