Найти уравнение траектории точки, движущейся из начала координат со скоростью, проекции которой на координатные оси – V_х= 2 м/с, а V_у = 4х м/с. Чему равен радиус кривизны этой траектории в начальный момент времени?

Запишем краткое условие задачи (рис. 6).

Рис. 6. Пример решения задачи 3 (Источник)

х = V_х· t = 2t (м) V_у = 4·2t = 8t (м/с)

у = V_0у · t + = t = у = = х²

у = х² – уравнение траектории

а_х = V'_х (t) = 0 а_у = 8 м/с² а₀ = 8 м/с²

при t = 0 V_0х= 2 м/с V_0у= 0 V₀= 2 м/с

, тогда а₀=

R₀= = = 0,5 (м)

Ответ: R₀= 0,5 м

Найдем, как х зависит от времени. При равномерном движении х = V_х·t = 2t (м).

Подставляя эту зависимость в формулу V_у, получим:

V_у = 4 · 2t = 8t(м/с)

Это означает, что начальная скорость такого движения по оси у равна нулю, а ускорение равно восьми. Зная выражение для V_у, можно найти зависимость у от времени:

у = V_0уt + =

Для получения уравнения траектории мы из первого уравнения х = V_х·t = 2t выразим время через х: t = и подставим в уравнение для у: у = = х².

Получаем уравнение траектории у = х², это уравнение представляет собой параболу, которая начинается из начала координат и направлена вверх.

Для нахождения радиуса начальной точки необходимо сначала найти ускорение, его ищем в проекциях на координатные оси. По оси х это производная от скорости по оси х по времени а_{х =}V'_х(t) = 0, скорость не меняется, соответственно, ускорение будет равно нулю, как и производная. По оси у ускорение равно восьми метрам в секунду, отсюда вывод, что начальное ускорение а₀ направлено вверх по оси у и равно 8 м/с². При t = 0 скорость V_0х = 2 м/с, она постоянна, а V_0у имеет нулевую составляющую V_0у = 0. Это означает, что в начальный момент скорость направлена по оси х и равна V₀ = 2 м/с. Но так как ускорение направлено по оси у, а скорость направлена по оси х, очевидно, что ускорение в начальный момент времени перпендикулярно скорости, тогда оно является центростремительным и равно:

а₀ = отсюда = = = 0,5 (м).

В начальный момент времени радиус кривизны траектории равен 0,5 м.