Графический способ описания движений

График с пятью участками

Рассмотрим график, на котором представлены пять участков движения (рис. 1). По графику вы должны уметь ответить на вопросы:

- как называется движение, указанное на графике;

- как меняется скорость на каждом из участков графика;

- чему равен путь, пройденный на каждом участке.

 

Рис. 1. График с пятью участками движений (Источник)

Тип движения необходимо определять, зная, что наклон графика определяет величину скорости. Скорость измеряется тангенсом угла наклона графика:

Тогда мы можем сказать, что первое движение – это движение, в котором наклон уменьшается, значит, это движение замедленное, в конце наклона совсем нет, значит, к концу движения тело остановилось. За первый участок, указанный на графике, тело прошло путь от 10 до 30 метров за 2 секунды, имея какую-то начальную скорость и конечную скорость, равную нулю. Как видите, мы из графика нашли три величины: пройденный путь – 20 метров; конечную скорость – ноль; время – 2 секунды. Можно установить все остальные характеристики движения – начальную скорость и ускорение. Это движение замедленное, но в положительном направлении – координата увеличивается.

Второй участок графика – тело стоит, так как координата не меняется, а время идет.

Третий участок графика – равномерное движение в отрицательном направлении, так как наклон отрицательный, угол φ₃ ниже оси абсцисс. При необходимости можем вычислить скорость на этом участке:

 V₃ = Δх / Δt = -50 / 3 ≈ -17 м/с

Четвертый участок является ускоренным движением, потому что наклона сначала не было, а потом наклон начинает увеличиваться и становится равным на девятой секунде от начала движения.

На пятом участке движение происходит равномерное в положительном направлении.

Умение описывать движение по графику для координаты очень важно, так как оно составляет довольно значительную часть заданий.

График зависимости скорости от времени

 

Рис. 2. График зависимости скорости тела от времени (Источник)

По таким графикам (рис. 2) допускается масса ошибок: даже на вопрос, сколько участков движения представлено на графике, отвечают неверно. Разберем их подробно.

Первые две секунды тело двигалось равноускоренно в положительном направлении, так как проекция скорости положительна и равномерно увеличивается. На этом графике ускорение является тангенсом угла наклона графика и определяется:

 а = tg φ = ΔV / Δt

Второй участок график,а от второй до четвертой секунды, – это движение равномерное, потому что скорость не меняет своего значения.

Третий участок, от четвертой до шестой секунды, представляет собой равнозамедленное движение в положительном направлении. Здесь также допускают ошибки, говоря, что график смотрит вниз. Необходимо смотреть на знак скорости, на этом участке скорость положительна, значит, движение осуществляется в положительном направлении оси V_х.

 а₃ = - 30 / 2 = = 15 м/с²

 С шестой по восьмую секунду скорость равна нулю, это означает, что тело стоит.

От восьмой до десятой секунды тело движется равноускоренно, но в отрицательном направлении. Часто и здесь ошибочно принимают это за замедленное движение, но начальная скорость на этом участке равна нулю, а конечная – нет. Не может быть замедленного движения с начальной скоростью, равной нулю, знак минус означает, что тело движется в направлении, противоположном направлению оси.

Последний участок графика от десятой до двенадцатой секунды – это два участка движения: сначала, от десятой секунды, тело движется равнозамедленно в отрицательном направлении и его скорость становится равной нулю. Затем скорость увеличивается, и тело движется равноускоренно в положительном направлении, но легко видеть, что наклон этих двух участков одинаков и ускорение будет иметь одно и то же значение.

 а₆ = а₇ = 20 / 1 = 20 м/с²

График ускорения для данного графика скорости отображен на рис. 3.

 

Рис. 3. График ускорения (Источник)

Вычисляется ускорение на каждом участке предыдущего графика, и мы видим, что:

на первом участке ускорение 10 м/с²;

на втором ускорение равно нулю;

на третьем участке ускорение отрицательно;

на четвертом ускорение отсутствует;

на пятом ускорение имеет знак минус, но движение будет равноускоренным, а может ли быть равноускоренное движение с отрицательным ускорением? Может, если скорость тоже имеет знак минус, в этом случае выполняется условие, что ускорение коллинеарно скорости;

на шестом и седьмом участках ускорение имеет одно и то же значение.

Пример решения задачи 1

Дан график координаты материальной точки, необходимо выбрать из четырех предложенных графиков (рис. 4) график скорости, соответствующий этому движению.

Мы видим, что координата увеличивается. Помним, что скорость определяет угол наклона участка графика, в данный момент он положительный, но ко второй секунде наклон исчезает, угол наклона равен нулю. Значит, на второй секунде скорость тела становится равной нулю. Это первое основание для браковки предложенных графиков. Скорость равна нулю на второй секунде на втором, третьем и четвертом графиках, значит, первый график нам не подходит. Далее смотрим, как меняется скорость и какой знак она имеет. В начальный момент координата растет и скорость уменьшается, это значит, что начальная скорость имеет знак плюс. На четвертом графике скорость отрицательна – он нам тоже не подходит. На графиках два и три скорость положительна и на второй секунде равна нулю, смотрим, какой же по величине была скорость.

Рис. 4. Пример решения задачи 1 (Источник)

Для этого вспоминаем уравнение кинематики, которое говорит о том, что средняя скорость – это полусумма начальной и конечной скорости, при равнопеременном движении она зависит от пройденного пути и времени и является отношением пройденного пути ко времени: ΔV =  = .

Мы видим, что за первый участок тело проходит расстояние от 25 до 45 метров, то есть проходит путь 20 метров за две секунды:

  =  

Это полусумма скоростей, начальная скорость не равна нулю, конечная скорость равна нулю, тогда получаем, что начальная скорость равна 20 метрам.

Таким образом, мы видим, что правильный график – номер 2.

Пример решения задачи 2

Дан график скорости движения тела. Какой путь тело проходит за 30 секунд? Варианты ответа:

1. 275 м; 2. 350 м; 3. 425 м; 4. 525 м.

При нахождении пройденного пути по графику скорости самый оптимальный вариант решения состоит не в нахождении кинематических данных и применении формул, а в вычислении площади фигуры, ограниченной этим графиком. По графику (рис. 5) мы видим, что такими фигурами у нас являются трапеция и треугольник. Можно к площади трапеции прибавить площадь треугольника, независимо от знака скорости путь всегда имеет только положительное значение.

Разбиваем эту фигуру на трапецию высотой 30 и нижним основанием 15, при этом видим три абсолютно равных треугольника по площади с катетами по 30 и 5, поэтому пройденный путь можно вычислить по формуле площади трапеции и трех площадей треугольника:

S = 30 + 3·  · 5 · 30 = 300 + 225 = 525 (м)

Это четвертый ответ.

Отметим, что по графику скорости задают вопросы, связанные с ускорением, например, чему равно ускорение в первые десять секунд движения?

 

Рис. 5. Пример решения задачи 2 (Источник)

В этом случае начальная скорость равна нулю, конечная скорость 30 и мы получаем:

 а =  =  = 3 м/с²

Таким образом, мы можем найти ускорение на всех участках. Видно, что на участке от 10 до 15 секунды ускорения нет, потому что скорость имеет одно и то же значение.

Пример решения задачи 3

Найти уравнение траектории точки, движущейся из начала координат со скоростью, проекции которой на координатные оси – V_х = 2 м/с, а V_у = 4х м/с. Чему равен радиус кривизны этой траектории в начальный момент времени?

Запишем краткое условие задачи (рис. 6).

Рис. 6. Пример решения задачи 3 (Источник)

х = V_х· t = 2t (м) V_у = 4·2t = 8t (м/с)

у = V_0у · t +  =  t =  у =  = х²

у = х² – уравнение траектории

а_х = V'_х (t) = 0 а_у = 8 м/с² а₀ = 8 м/с²

при t = 0 V_0х = 2 м/с V_0у = 0 V₀ = 2 м/с

 , тогда а₀ =  

R₀ =  =  = 0,5 (м)

Ответ: R₀ = 0,5 м

Найдем, как х зависит от времени. При равномерном движении х = V_х·t = 2t (м).

Подставляя эту зависимость в формулу V_у, получим:

V_у = 4 · 2t = 8t(м/с)

Это означает, что начальная скорость такого движения по оси у равна нулю, а ускорение равно восьми. Зная выражение для V_у, можно найти зависимость у от времени:

у = V_0уt +  =

Для получения уравнения траектории мы из первого уравнения х = V_х·t = 2t выразим время через х: t =  и подставим в уравнение для у: у =  = х².

Получаем уравнение траектории у = х², это уравнение представляет собой параболу, которая начинается из начала координат и направлена вверх.

Для нахождения радиуса начальной точки необходимо сначала найти ускорение, его ищем в проекциях на координатные оси. По оси х это производная от скорости по оси х по времени а_{х =} V'_х(t) = 0, скорость не меняется, соответственно, ускорение будет равно нулю, как и производная. По оси у ускорение равно восьми метрам в секунду, отсюда вывод, что начальное ускорение а₀ направлено вверх по оси у и равно 8 м/с². При t = 0 скорость V_0х = 2 м/с, она постоянна, а V_0у имеет нулевую составляющую V_0у = 0. Это означает, что в начальный момент скорость направлена по оси х и равна V₀ = 2 м/с. Но так как ускорение направлено по оси у, а скорость направлена по оси х, очевидно, что ускорение в начальный момент времени перпендикулярно скорости, тогда оно является центростремительным и равно:

а₀ =  отсюда  =  =  = 0,5 (м).

В начальный момент времени радиус кривизны траектории равен 0,5 м.

Заключение

С помощью графического метода решения механических задач мы научились не только находить нужные нам величины, но и увидели связь между математикой и физикой, как тесно эти науки связаны между собой.

 

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика – 9, Москва, Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Myshared.ru (Источник). 
2. Фестиваль педагогических идей "Открытый урок" (Источник). 
3. All-fizika.com (Источник). 
4. Rudocs.exdat.com (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Какие виды механического движения существуют?
2. Как записывается уравнение зависимости пути, проекции перемещения и координаты от времени для равномерного движения?
3. Как записывается уравнение зависимости скорости, проекции скорости, пути, проекции перемещения и координаты времени для равноускоренного движения?