Уравнения кинематики прямолинейного движения тела с ускорением свободного падения

Уравнения кинематики прямолинейного движения тела с ускорением свободного падения

Рассмотрим рисунок такого движения (рис. 1).

 

Рис. 1. Прямолинейное движение тела с ускорением свободного падения (Источник) 

Движение происходит по вертикали – по оси у с некоторой точки, расположенной на высоте h.

Начальная скорость V₀ направлена вверх, ускорение равно ускорению свободного падения и направлено вниз. Тогда уравнение кинематики, с учетом того, что а_у = -g и направлено против координатной оси, принимает вид:

для скорости V(t) = V₀ - gt (1);

для координаты тела с учетом того, что у₀ = h у = h + V₀t -  (2);

время движения тела до верхней точки t_↑ =  (3);

время движения тела до падения на землю является корнем квадратного уравнения (2), учитываем то, что время отрицательным быть не может:

t_п =  (4)

скорость момента падения находится по формуле V_п =  (5);

максимальная высота траектории тела H = h +  (6).

Эти шесть формул определяют решение всех задач, которые рассматриваются по этой теме.

Задача 1

Тело, падающее без начальной скорости с некоторой высоты, прошло последние 300 м за 5 с. Найти время падения тела.

Запишем краткое условие задачи, рисунок и решение (рис. 2).

 

Рис. 2. Решение задачи 1 (Источник) 

H = ; H - ΔS =  

  - ΔS =  ;  - 2ΔS =  - 2Δt + gΔt²

  =  =  = 8,5 (c) H = 5·8,5² ≈ 361 (м)

Ответ:  = 8,5 с; Н = 361 м.

Нам необходимо найти время падения и высоту, с которой упало тело. Нам известно, что последние 300 м – ΔS – тело прошло за 5 с – Δt, ускорение равно ускорению свободного падения, и в таких задачах оно принимается равным 10 м/с². Начальная скорость равна нулю, так как тело свободно падающее.

Записываем уравнение кинематики от начальной точки: начальная скорость равна нулю и весь путь будет равен высоте H.

Второе уравнение записываем как участок, предшествующий пути ΔS, учитывая и время падения.

Мы видим, что у нас получилась система уравнений с двумя неизвестными H и t_п. Воспользуемся первым уравнением для подстановки H во втором уравнении, тогда во втором уравнении неизвестным будет только t_п, которое мы после алгебраических преобразований и определим. Далее, подставляя время падения в исходную формулу, находим высоту, с которой падало тело. Задача решена.

Задача 2

Аэростат равномерно поднимается со скоростью 4 м/с. На высоте 40 м от земли из него бросили вверх предмет со скоростью 6 м/с относительно аэростата. Через сколько времени предмет упадет на землю?

Запишем краткое условие задачи, схему и решение (рис. 3).

 

Рис. 3. Решение задачи 2 (Источник) 

у = h + V₀t_п -  = 0

  - 2 V₀t_п - 2h = 0                                      

 =  =  = 4 (c)

Ответ:  = 4 с.

Необходимо найти время падения предмета, брошенного с высоты 40 м, причем аэростат движется вверх со скоростью V_А = 4 м/с, тело бросили с аэростата со скоростью V_т = 6 м/с,

ускорение равно ускорению свободного падения. Для решения задачи используем уравнение кинематики, но для начала определим скорость V₀ относительно земли, которую приобрело тело, для этого складываем скорости аэростата и тела. Далее записываем уравнение для координаты у, ускорение свободного падения у нас будет со знаком минус, так как движение направлено против оси у. Из уравнения находим время падения, произведя алгебраические преобразования и подставляя данные, вычисляем и получаем ответ: предмет упадет на землю через 4 секунды.

Задача 3

Ученик, проведя эксперимент по определению ускорения свободного падения, записал результат в виде g = (10,2 ± 0,6) м/с². Это означает:

1. при проведении эксперимента допущены ошибки;

2. истинное значение g либо 9,6 м/с², либо 10,8 м/с²;

3. измерить ускорение свободного падения невозможно в таком эксперименте;

4. истинное значение ускорения свободного падения g  [9,6; 10,8] м/с².

Мы видим, что ученик получил результат и погрешность, которую он вычислил, то есть результат может быть больше на 0,6 или меньше. Это верный результат, потому что g лежит в интервале от 9,6 до 10,8 м/с², истинное значение g = 9,8 м/с² попало в этот результат, поэтому можно сказать, что лабораторная работа имеет большую погрешность при получении измерений и правильный ответ – 4.

Задача 4

Два тела, свободно падающие с разных высот, достигают земли одновременно. Время падения первого тела – 3 с, а второго – 1 с. На какой высоте было первое тело, когда второе начало падать?

Выполним краткую запись условия задачи, схему и решение (рис. 4).

 

Рис. 4. Решение задачи 4 (Источник) 

1. h₁ = ΔS₃ =  · (2·3 – 1) = 25 (м)

2. H₁ =  = 5·9 = 45 (м)

S_{1 за 2с} = 5·4 = 20 (м)

h₁ = 45 – 20 = 25 (м)

Ответ: h₁ = 25 м.

Нам необходимо найти h₁, начальных скоростей тела не имеют. Тела упали одновременно, но первое тело находилось по времени в полете 2 секунды, когда начало падать второе тело. Решить задачу можно двумя способами.

1. Для первого тела искомая высота h₁ – это путь, который прошло свободно падающее тело за третью секунду от начала падения. Две секунды оно падало в одиночестве, а потом начало падать второе тело, в третью секунду они падают параллельно и одновременно ударяются о землю. Тогда можно применить формулу пути, пройденного за третью секунду от начала движения ΔS₃, и, подставляя данные, получить результат 25 метров.

2. Тело падало с высоты H₁, подставляя в формулу данные, найдем ее. Предыдущий путь S_{1 за 2 с} тело прошло за две секунды, и по этой же формуле найдем путь, который прошло тело за первые две секунды. Произведя вычитание, получим необходимую нам высоту.

Заключение

При решении задач необходимо помнить, что все заданные величины нужно привести к одной системе единиц. При этом нужно заметить, что как в системе МКГСС (технической), так и в СИ единицы всех кинематических величин одинаковы:

расстояние S измеряется в м, время t – в с, скорость V – в м/с.

 

Список литературы

1. Тихомирова С.А., Яворский Б.М. Физика (базовый уровень) – М.: Мнемозина, 2012.
2. Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И. Физика 10 класс. – М.: Мнемозина, 2014.
3. Кикоин И.К., Кикоин А.К. Физика – 9, Москва, Просвещение, 1990.

 

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Teoretmeh.ru (Источник). 
2. Sites.google.com (Источник). 
3. Web-physics.ru (Источник). 

 

Домашнее задание

1. Какие формулы определяют решение задач прямолинейного движения тела с ускорением свободного падения?
2. Почему значение ускорения свободного падения разное на разных широтах Земли?