Выделим в воде объем, например, V м³ воды (см. рис. 1). Этот объем со всех сторон окружен водой, и, значит, вода давит на него по закону Паскаля. Мы рассматриваем объем воды в воде, он находится в равновесии, не тонет и не всплывает.

Рис. 1. Выполнение закона Паскаля

Значит, окружающая вода должна давить на этот объём с такой силой, чтобы она уравновешивала действующую вниз силу тяжести этого объёма воды (см. рис. 2). Получаем, что выталкивающая сила равняется:

где массу воды можно выразить через плотность и объем .

Эту силу называют выталкивающей, так как она мешает выделенному объёму утонуть.

Рис. 2. Уравновешивание силы тяжести

Теперь представим, что вместо воды, там находится такой же объем, но железа (см. рис. 3). Вода вокруг кубика будет давить на него с точно такой же силой. То есть выталкивающая сила на данный объём железа действует такая же, как на равный объём воды, и равна:

Рис. 3. Железное тело в воде

Теперь тело утонет, хотя на него действует такая же выталкивающая сила. Сила тяжести поменялась: плотность железа больше, значит, железо будет весить больше такого же объёма воды. В результате равнодействующая силы тяжести и выталкивающей силы для железа не будет равна 0 и будет направлена вниз, поэтому железо будет тонуть, пока не достигнет дна сосуда.

Рассмотрим другой случай – вместо воды, там находится такой же объем, но дерева (см. рис. 4). Поскольку сила тяжести, которая действует на дерево, будет меньше той, которая действовала на воду (плотность дерева меньше плотности воды), то дерево будет всплывать.

Рис. 4. Деревянный брусок в воде

Этот процесс не будет продолжаться до бесконечности. Часть дерева окажется над водой. В этом случае объём дерева, находящийся в воде, начнёт уменьшаться, а, значит, будет уменьшаться и выталкивающая сила (см. рис. 5). Когда выталкивающая сила и сила тяжести уравновесятся, движение остановится, и дерево будет плавать, частично выступая над поверхностью воды.

Рис. 5. Действие силы Архимеда на деревянный брусок

Сила тяжести выделенного объёма воды не зависит от формы этого объёма. Из-за этого выталкивающая сила, которая действует на единицу объёма, также не зависит от формы погружённого тела – только от плотности жидкости.

Другой подход к выводу формулы для выталкивающей силы

Поместим в жидкость брусок. Со всех сторон на него давит жидкость. Сила, с которой она действует на тело, распределяется по всей поверхности параллелепипеда. Силы, действующие на его боковые грани, уравновешиваются (см. рис. 6).

Рис. 6. Действие сил на брусок в воде

В вертикальной плоскости действуют сила тяжести и силы давления на верхнюю и нижнюю грани (давление передаётся во всех направлениях).

Из определения давления получаем силы давления на верхнюю и нижнюю грани (см. рис. 7). Давление жидкости определяется глубиной (чем глубже находится рассматриваемая точка, тем большее давление оказывает жидкость в этой точке). Эти две силы можно заменить одной силой (их равнодействующей), которая направлена вверх, противоположно силе тяжести. Отсюда выталкивающая сила будет равна:

Рис. 7. Расчет давления и силы на брусок

В формуле: ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.

Рассмотрим тот же самый брусок (см. рис. 8). Действующие на боковые грани силы по-прежнему уравновешиваются, на верхнюю грань жидкость не давит. Давление на нижнюю грань и выталкивающая сила равна будут равны:

Рис. 8. Давление и действие выталкивающей силы на брусок

Где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, – объём погружённой в жидкость части тела.

Рассмотрим некоторое тело произвольной формы и силы, с которыми жидкость действует на отдельные участки поверхности тела. Теперь в роли таких участков будут уже не грани параллелепипеда:

Рис. 9. Брусок произвольной формы в воде

Возьмем небольшой участок поверхности тела, такой, чтобы можно было:

А) считать его плоским;

Б) считать постоянным давление на него.

Тогда сила, которая на него действует будет направлена перпендикулярно поверхности выбранного участка:

Рис. 10. Сила, действующая на произвольный брусок

Для тела любой формы можно применять ту же модель выталкивающей силы, что и для бруска. То есть:

А) итоговая выталкивающая сила направлена вверх;

Б) силы давления, которые действуют на тело горизонтально, уравновешиваются.

Разложим силу на две составляющих – горизонтальную и вертикальную. Нужно сложить силы, которые действуют на каждый из таких малых участков.

А) горизонтальные составляющие уравновесятся (их сумма будет равна 0);

Б) вертикальные составляющие в сумме дадут выталкивающую силу, которую можно вычислить по той же формуле, что и для бруска:

Рис. 11. Действие выталкивающей силы

Выталкивающая сила равна силе тяжести, которая действует на объём жидкости, равный объёму тела (этот объём жидкости вытесняется телом, поэтому говорят: погружённая часть тела вытесняет равный объём жидкости). Сила тяжести, которая действует на объём жидкости, в свою очередь, численно равна весу жидкости. Поэтому говорят, что выталкивающая сила численно равна весу вытесненной жидкости.

Данные утверждения верны не только для воды, но и для любой другой жидкости, а также газов (в них тоже верен закон Паскаля).

Вывод: на погруженное в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (или газа), вытесненной погруженным телом.

Силу можно вычислить по формуле:

Индекс «А» используется для обозначения силы в честь Архимеда. По легенде Архимед первым применил на практике модель выталкивающей силы: помог царю Гиерону определить, что в его золотой короне есть примесь серебра.

Способ проверить подлинность золотой короны

По прошествии более двух тысяч лет трудно воссоздать точный ход эксперимента, который проделал Архимед. Широко известна легенда: Архимед залез в ванну и заметил, что из неё вылилась вода. Тогда ему пришла в голову идея: объём вылившейся воды равен объёму погружённого тела, независимо от формы самого тела.

Многие знают возглас Архимеда, который легенда приписывает ему в момент озарения: «Эврика!».

Рассмотрим, как Архимед мог непосредственно применить свою идею для определения состава короны царя Гиерона.

Положим на одну чашу весов корону, а на другую – слиток золота так, чтобы чаши находились в равновесии. Если корона целиком состоит из золота, то она должна занимать тот же объем, что и слиток (массы и плотности короны и слитка одинаковы). Если же в короне содержится серебро, то оно занимает больший объем, чем золото той же массы (так как плотность серебра меньше). Значит, объем короны с примесью должен быть больше объема золотого слитка. Как проверить, равны ли объемы слитка и короны?

Опускаем чаши весов в воду (см. рис 12). На слиток и на корону действует выталкивающая сила, которая зависит от объема погруженного тела. Если равновесие не нарушится, то на тела действуют одинаковые выталкивающие силы, то есть, у тел одинаковые объёмы. Значит, корона целиком сделана из золота.

Рис. 12. Равные объемы короны и слитка золота

Если равновесие нарушится – чаша с короной окажется выше чаши со слитком – то выталкивающая сила короны больше (см. рис. 13).

Рис. 13. Объемы короны и слитка золота отличаются

Значит, объём короны больше объёма слитка. И в ней содержится примесь, например, серебра. Так и был разоблачен обман ювелира, который делал корону царю Гиерону.

Вес в воде

Вес - сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда мы держим предмет в руках, его вес равен силе тяжести и направлен, как и сила тяжести, к центру Земли.

Когда мы опускаем руки с этим предметом в воду, то чувствуем, что это тело как будто становится легче. Что меняется? Масса не уменьшается (значит, не меняется сила тяжести), почему тогда становится меньше вес? И что такое вес в воде?

Какие силы действуют на тело в каждом из случаев?

В первом случае: сила тяжести и сила реакции опоры. На тело в воде действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила Архимеда.

Нас интересует вес тела, то есть, по определению, та сила, с которой тело действует на руки. Он будет численно равен силе реакции опоры.

Чтобы тело пребывало в равновесии, сумма сил, которые на него действуют, должна равняться нулю. Силы направлены в разные стороны, значит, складывать их нужно с разными знаками.

Рис. 14. Силы реакции опоры в воздухе и воде

Вес груза в воде стал меньше, чем он был в воздухе, на величину силы Архимеда. Также изменится вес, если тело будет лежать не на руке, а на другой поверхности, или висеть на пружине динамометра.

Сила Архимеда, с которой воздух действует на тело в первом случае, не учитывалась. Конечно, поскольку воздух – это газ, то на тела в воздухе действует сила Архимеда. Но при решении большинства задач мы не будем учитывать эту силу: обычно плотность тела гораздо больше плотности воздуха, поэтому численное значение силы Архимеда по сравнению со значением силы тяжести пренебрежимо мало.