Введение
Маленький металлический шарик в воде тонет, а большие массивные брёвна – нет. Значит, дело не в массе. При этом современные корабли делают не из дерева, а из металла. Почему они не тонут? От чего это зависит? И почему вообще некоторые тела остаются на плаву, а некоторые тонут?
Выталкивающая сила
Выделим в воде объем, например, V м3 воды (см. рис. 1). Этот объем со всех сторон окружен водой, и, значит, вода давит на него по закону Паскаля. Мы рассматриваем объем воды в воде, он находится в равновесии, не тонет и не всплывает.
Рис. 1. Выполнение закона Паскаля
Значит, окружающая вода должна давить на этот объём с такой силой, чтобы она уравновешивала действующую вниз силу тяжести этого объёма воды (см. рис. 2). Получаем, что выталкивающая сила равняется:
где массу воды 
можно выразить через плотность 
и объем 
.
Эту силу называют выталкивающей, так как она мешает выделенному объёму утонуть.
Рис. 2. Уравновешивание силы тяжести
Теперь представим, что вместо 
воды, там находится такой же объем, но железа (см. рис. 3). Вода вокруг кубика будет давить на него с точно такой же силой. То есть выталкивающая сила на данный объём железа действует такая же, как на равный объём воды, и равна:
Рис. 3. Железное тело в воде
Теперь тело утонет, хотя на него действует такая же выталкивающая сила. Сила тяжести поменялась: плотность железа больше, значит, железо будет весить больше такого же объёма воды. В результате равнодействующая силы тяжести и выталкивающей силы для железа не будет равна 0 и будет направлена вниз, поэтому железо будет тонуть, пока не достигнет дна сосуда.
Рассмотрим другой случай – вместо воды, там находится такой же объем, но дерева (см. рис. 4). Поскольку сила тяжести, которая действует на дерево, будет меньше той, которая действовала на воду (плотность дерева меньше плотности воды), то дерево будет всплывать.
Рис. 4. Деревянный брусок в воде
Этот процесс не будет продолжаться до бесконечности. Часть дерева окажется над водой. В этом случае объём дерева, находящийся в воде, начнёт уменьшаться, а, значит, будет уменьшаться и выталкивающая сила (см. рис. 5). Когда выталкивающая сила и сила тяжести уравновесятся, движение остановится, и дерево будет плавать, частично выступая над поверхностью воды.
Рис. 5. Действие силы Архимеда на деревянный брусок
Сила тяжести выделенного объёма воды не зависит от формы этого объёма. Из-за этого выталкивающая сила, которая действует на единицу объёма, также не зависит от формы погружённого тела – только от плотности жидкости.
Другой подход к выводу формулы для выталкивающей силы
Поместим в жидкость брусок. Со всех сторон на него давит жидкость. Сила, с которой она действует на тело, распределяется по всей поверхности параллелепипеда. Силы, действующие на его боковые грани, уравновешиваются (см. рис. 6).
Рис. 6. Действие сил на брусок в воде
В вертикальной плоскости действуют сила тяжести и силы давления на верхнюю и нижнюю грани (давление передаётся во всех направлениях).
Из определения давления получаем силы давления на верхнюю и нижнюю грани (см. рис. 7). Давление жидкости определяется глубиной (чем глубже находится рассматриваемая точка, тем большее давление оказывает жидкость в этой точке). Эти две силы можно заменить одной силой (их равнодействующей), которая направлена вверх, противоположно силе тяжести. Отсюда выталкивающая сила будет равна:
Рис. 7. Расчет давления и силы на брусок
В формуле: ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения.
Рассмотрим тот же самый брусок (см. рис. 8). Действующие на боковые грани силы по-прежнему уравновешиваются, на верхнюю грань жидкость не давит. Давление на нижнюю грань и выталкивающая сила равна будут равны:
Рис. 8. Давление и действие выталкивающей силы на брусок
Где ρ – плотность жидкости, g – ускорение свободного падения, 
– объём погружённой в жидкость части тела.
Рассмотрим некоторое тело произвольной формы и силы, с которыми жидкость действует на отдельные участки поверхности тела. Теперь в роли таких участков будут уже не грани параллелепипеда:
Рис. 9. Брусок произвольной формы в воде
Возьмем небольшой участок поверхности тела, такой, чтобы можно было:
А) считать его плоским;
Б) считать постоянным давление на него.
Тогда сила, которая на него действует будет направлена перпендикулярно поверхности выбранного участка:
Рис. 10. Сила, действующая на произвольный брусок
Для тела любой формы можно применять ту же модель выталкивающей силы, что и для бруска. То есть:
А) итоговая выталкивающая сила направлена вверх;
Б) силы давления, которые действуют на тело горизонтально, уравновешиваются.
Разложим силу на две составляющих – горизонтальную и вертикальную. Нужно сложить силы, которые действуют на каждый из таких малых участков.
А) горизонтальные составляющие уравновесятся (их сумма будет равна 0);
Б) вертикальные составляющие в сумме дадут выталкивающую силу, которую можно вычислить по той же формуле, что и для бруска:
Рис. 11. Действие выталкивающей силы
Выталкивающая сила равна силе тяжести, которая действует на объём жидкости, равный объёму тела (этот объём жидкости вытесняется телом, поэтому говорят: погружённая часть тела вытесняет равный объём жидкости). Сила тяжести, которая действует на объём жидкости, в свою очередь, численно равна весу жидкости. Поэтому говорят, что выталкивающая сила численно равна весу вытесненной жидкости.
Данные утверждения верны не только для воды, но и для любой другой жидкости, а также газов (в них тоже верен закон Паскаля).
Вывод: на погруженное в жидкость (или газ) тело действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (или газа), вытесненной погруженным телом.
Силу можно вычислить по формуле:
Индекс «А» используется для обозначения силы в честь Архимеда. По легенде Архимед первым применил на практике модель выталкивающей силы: помог царю Гиерону определить, что в его золотой короне есть примесь серебра.
Способ проверить подлинность золотой короны
По прошествии более двух тысяч лет трудно воссоздать точный ход эксперимента, который проделал Архимед. Широко известна легенда: Архимед залез в ванну и заметил, что из неё вылилась вода. Тогда ему пришла в голову идея: объём вылившейся воды равен объёму погружённого тела, независимо от формы самого тела.
Многие знают возглас Архимеда, который легенда приписывает ему в момент озарения: «Эврика!».
Рассмотрим, как Архимед мог непосредственно применить свою идею для определения состава короны царя Гиерона.
Положим на одну чашу весов корону, а на другую – слиток золота так, чтобы чаши находились в равновесии. Если корона целиком состоит из золота, то она должна занимать тот же объем, что и слиток (массы и плотности короны и слитка одинаковы). Если же в короне содержится серебро, то оно занимает больший объем, чем золото той же массы (так как плотность серебра меньше). Значит, объем короны с примесью должен быть больше объема золотого слитка. Как проверить, равны ли объемы слитка и короны?
Опускаем чаши весов в воду (см. рис 12). На слиток и на корону действует выталкивающая сила, которая зависит от объема погруженного тела. Если равновесие не нарушится, то на тела действуют одинаковые выталкивающие силы, то есть, у тел одинаковые объёмы. Значит, корона целиком сделана из золота.
Рис. 12. Равные объемы короны и слитка золота
Если равновесие нарушится – чаша с короной окажется выше чаши со слитком – то выталкивающая сила короны больше (см. рис. 13).
Рис. 13. Объемы короны и слитка золота отличаются
Значит, объём короны больше объёма слитка. И в ней содержится примесь, например, серебра. Так и был разоблачен обман ювелира, который делал корону царю Гиерону.
Вес в воде
Вес - сила, с которой тело действует на опору или подвес. Когда мы держим предмет в руках, его вес равен силе тяжести и направлен, как и сила тяжести, к центру Земли.
Когда мы опускаем руки с этим предметом в воду, то чувствуем, что это тело как будто становится легче. Что меняется? Масса не уменьшается (значит, не меняется сила тяжести), почему тогда становится меньше вес? И что такое вес в воде?
Какие силы действуют на тело в каждом из случаев?
В первом случае: сила тяжести и сила реакции опоры. На тело в воде действуют сила тяжести, сила реакции опоры и сила Архимеда.
Нас интересует вес тела, то есть, по определению, та сила, с которой тело действует на руки. Он будет численно равен силе реакции опоры.
Чтобы тело пребывало в равновесии, сумма сил, которые на него действуют, должна равняться нулю. Силы направлены в разные стороны, значит, складывать их нужно с разными знаками.
Рис. 14. Силы реакции опоры в воздухе и воде
Вес груза в воде стал меньше, чем он был в воздухе, на величину силы Архимеда. Также изменится вес, если тело будет лежать не на руке, а на другой поверхности, или висеть на пружине динамометра.
Сила Архимеда, с которой воздух действует на тело в первом случае, не учитывалась. Конечно, поскольку воздух – это газ, то на тела в воздухе действует сила Архимеда. Но при решении большинства задач мы не будем учитывать эту силу: обычно плотность тела гораздо больше плотности воздуха, поэтому численное значение силы Архимеда по сравнению со значением силы тяжести пренебрежимо мало.
Сила Архимеда в жидкости
Как понять, утонет груз, или будет оставаться на плаву? Некоторые тела тонут потому, что сила тяжести, которая на них действует, больше, чем выталкивающая сила. Математически это выглядит так:
Массу груза можно выразить через его среднюю плотность:
Так как для полностью погруженного тела объем жидкости и груза один и тот же, мы получаем:
Можно провести все эти рассуждения в обратном порядке и получить обратное утверждение: если средняя плотность тела больше плотности жидкости, то тело будет тонуть. Аналогично, если плотность тела будет меньше плотности жидкости, то тело будет всплывать.
Значит, можно понять, что произойдет с телом, погруженным в жидкость, сравнив плотность жидкости и среднюю плотность исследуемого тела.
Как поднимают корабли-утопленники?
Выталкивающая сила возникает из-за того, что жидкость (газ) давит на нижнюю часть погруженного в них тела. А что, если погруженное в жидкость тело плотно прижато ко дну сосуда и между ними нет прослойки жидкости?
В этом случае жидкость не будет оказывать давление на нижнюю поверхность тела, и закон Архимеда выполняться не будет. Чтобы убедиться в этом, можно провести такой опыт: ровную нижнюю поверхность деревянного кубика натереть парафином и плотно приставить ко дну сосуда. Затем осторожно налить воду. Кубик не всплывет, так как равнодействующая сил давления воды на него направлена не вверх, а вниз, прижимая тело ко дну:
Рис. 15. Давление воды прижимает тело ко дну
На практике этого эффекта опасаются экипажи подводных лодок: если подлодка касается илистого дна, то возникает риск того, что между илом и дном не окажется воды. В этом случае мощности двигателя почти наверняка не хватит, чтобы преодолеть сумму силы тяжести и сил давления воды на подлодку.
Также это явление учитывают при подъёме затонувших кораблей. Прежде чем приступить к подъёму, корабль «отрывают» ото дна, давая воде проникнуть под корабль. В этом случае сила давления со стороны воды не только перестаёт «мешать» подъёму, но и начинает помогать:
Рис. 16. Поднятие затонувшего корабля
Чтобы еще сильнее облегчить подъем корабля, стараются уменьшить его среднюю плотность. Если есть возможность, корабль закачивают воздухом, который вытесняет воду. Тогда вес корабля уменьшается, а, значит, поднять судно на поверхность становится легче. Если корабль поврежден так, что воздух внутри него не удерживается, можно заполнить его не воздухом, а пенопластовыми шариками.
Инженер, который впервые применил данный способ на практике, естественно рассчитывал на лавры первооткрывателя и патент на своё изобретение. И получил отказ. Причиной стал утёнок Дональд Дак. Он за 15 лет до открытия инженера на страницах комикса использовал эту идею для подъёма яхты.
Плотность материалов, из которых сделан корпус корабля, больше плотности воды. Получается, что он должен тонуть. Но корабли плавают, перевозят людей и большие объёмы грузов. Все потому, что у корабля средняя плотность меньше плотности воды.
Самым первым кораблем, который изобрёл человек, был деревянный плот. Плотность дерева меньше плотности воды, поэтому выталкивающая сила будет поддерживать деревянную платформу на плаву. Однако плот трудно назвать хорошим кораблем (достаточно груза относительно небольшой массы, чтобы плот пошёл ко дну). Сделаем для платформы водонепроницаемую металлическую обшивку. Если обшивка будет достаточно тонкой и легкой, платформа останется на плаву.
Рис. 17. Обшивка платформы
Теперь «вытащим» из полученного плота дерево. Получим металлическую конструкцию, заполненную воздухом. Плот вытесняет такой же объем воды, как и раньше. Значит, сила Архимеда, которая на него действует, не изменится. Только плотность воздуха равна 1,29 кг/м3, в 500 раз меньше чем у дерева, поэтому теперь «корабль» стал почти на 100 кг легче. Значит, если разместить груз массой 100 кг, плот останется на плаву.
Если древесину внутри металлической оболочки заменить не воздухом, а водой, то средняя плотность «корабля» будет больше плотности воды, и конструкция пойдет ко дну. Если корабль получает пробоину, то внутрь начинает поступать вода. Средняя плотность корабля начинает увеличиваться и, при некотором критическом количестве воды, сила тяжести становится больше силы Архимеда, в результате чего корабль тонет.
Вывод: металлическая посудина, пустая внутри, может держаться на плаву. Конечно, чтобы спроектировать надёжный корабль, нужно разобраться с большим количеством технических деталей: обеспечить необходимую прочность, толщину стенок, подходящую форму, снабдить двигателем или поставить паруса и т.д. Но общий принцип остается неизменным: внутри любого корабля есть полости, в результате чего средняя плотность корабля меньше плотности воды, и выталкивающая сила удерживает корабль на плаву.
Сила Архимеда в газах
В газах на тела тоже действует сила Архимеда.
Например, воздух действует с силой Архимеда на все погруженные в него тела. Так как плотность воздуха мала по сравнению с плотностью большинства тел, то и выталкивающая сила чаще всего оказывается значительно меньше силы тяжести. Однако не всегда силой Архимеда в воздухе можно пренебречь.
Возьмем два воздушных шарика: один наполнен воздухом, другой – гелием. Все знают, что если отпустить шарик с гелием, то он будет подниматься вверх, и «прилипнет» к потолку. А шарик с воздухом упадет на пол. Плотность гелия меньше плотности воздуха. Поэтому, даже несмотря на резиновую оболочку, средняя плотность шарика с гелием меньше плотности воздуха. Значит и выталкивающая сила со стороны воздуха на шарик с гелием больше, чем сила тяжести.
Воздушный шарик представляет из себя объем воздуха и резиновую оболочку. Плотность резины больше плотности воздуха, поэтому средняя плотность шарика с воздухом становится, хоть и не на много, но больше плотности воздуха. Сила тяжести больше силы Архимеда – шарик падает.
Воздушные шары летают по той же причине, что и гелиевые шарики: воздушный шар взлетает, так как его средняя плотность меньше плотности воздуха. Но для этого оболочка шара должна быть наполнена чем-то менее плотным, чем воздух (можно провести аналогию с кораблями – в них полости заполнены воздухом, плотность которого меньше плотности воды).
В каждом воздушном шаре есть горелка или любой другой мощный нагреватель. При нагревании плотность воздуха уменьшается. Внутри оболочки воздушного шара находится менее плотный горячий воздух, вокруг – более плотный холодный. В результате сила Архимеда становится больше силы тяжести и шар поднимается.
Аналогичный принцип используется в работе дирижаблей: для уменьшения средней плотности его оболочка заполняется либо газом, плотность которого меньше плотности воздуха (гелий), либо горячим воздухом, как в воздушном шаре. Ещё один вариант: воздух просто откачивается, тогда оболочка дирижабля должна быть жесткой.
Границы применимости модели силы Архимеда
Добавим в стакан с водой спирт. Спирт обладает меньшей плотностью, но он не остается на поверхности, а растворяется в воде.
Использовать модель силы Архимеда в данном случае нельзя: в построенной модели мы рассматривали давление воды на поверхность тела, а спирт, растворяясь в воде, перестаёт вести себя как тело. Это уже не два вещества – спирт и вода, а одно вещество – раствор спирта в воде: связи между молекулами спирта слабее, чем связи между молекулами воды и спирта.
Гидрофобные и гидрофильные вещества
Растворимые вещества называют гидрофильными (в переводе-дружат с водой), а нерастворимые-гидрофобные (боятся воды).
Спирт является примером гидрофильного вещества. Гидрофобные вещества не растворяются в воде, но растворяются в других гидрофобных веществах, например, в жирах.
Поэтому некоторые витамины, например, витамин А, не усваиваются, если в пищу не поступил жир. Такие витамины еще называют жирорастворимыми. Морковь, в которой содержится витамин А, лучше есть с маслом или сметаной. А, например, водорастворимый витамин С достаточно запить водой.
Возьмем стакан воды и добавим туда ложку соли. Каждая крупинка соли – это твердое тело. Плотность соли больше, чем плотность воды, и крупинка тонет – всё в рамках рассмотренной модели. Но со временем крупинки соли растворяются в воде. И снова модель силы Архимеда неприменима, так как образовалось новое вещество – раствор соли в воде.
По отношению к молекулам растворённого вещества модель силы Архимеда не применима. Где же граница применимости? Если размешать песок в воде, песчинки какое-то время будут плавать в толще воды, но в итоге осядут. Какую модель применять к песчинке? Выбор модели определяется целью задачи. Нам может быть важен только конечный результат – песок осел – тогда можно использовать силу Архимеда. А если важен сам процесс оседания, то нужно учесть действие других сил, которые, помимо силы Архимеда, влияют на движение песчинок (например, силы сопротивления движению со стороны воды – вязкое трение).
Домашнее задание
- Объяснить, почему при конструировании дирижаблей (в которых воздух попросту откачивается) должна использоваться именно жесткая оболочка.
- Определите объем куска алюминия, на который в керосине действует Архимедова сила величиной 110 Н.
- От каких величин зависит выталкивающая сила? Объяснить почему.
Список рекомендованной литературы
- Соколович Ю.А., Богданова Г.С. Физика: справочник с примерами решения задач. – 2-е издание, передел. – X.: Веста: Издательство «Ранок», 2005. – 464 с.
- Перышкин А.В. Физика: учебник 7 класс. – М.: 2006. – 192 с.
Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
