Классы
Предметы

Кинематика

Этот видеоурок доступен по абонементу
Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках

У вас уже есть абонемент? Войти

Оплатить абонементот 75 руб. в месяц
У вас уже есть абонемент? Войти
Кинематика

На уроке «Кинематика», мы изучим движение тел, сформулируем важнейшие понятия кинематики, научимся решать задачи на движения, мы поговорим о скорости и о моделях, с помощью которых можно описать разные виды движения, а также узнаем об относительности движения.

Введение

Мы каждый день решаем задачи, связанные с движением: догоняем автобус, который отъезжает от остановки; определяем, что машина ещё достаточно далеко, чтобы успеть перейти дорогу; бросаем мяч так, чтобы он не достался противнику; срезаем путь, чтобы догнать друга и т.д. Эти задачи мы решаем без использования формул и расчётов, почти не задумываясь.

А футболисты умеют отдавать пас на ход (см. рис. 1) без помощи математики и физики. Они знают, как именно для этого нужно ударить по мячу, хотя точно вычислить это непросто.

Рис. 1. Футболист отдаёт пас на ход

Не существует также принципиальной разницы: рассчитывать движение мяча или спутника на орбите. Сила науки в том, что технология решения разрабатывается для одних задач и затем используется во множестве случаев.

Путь и траектория

Движение – это изменение положения тела: было в одном месте, а оказалось в другом. Утром вы вышли из дома, сходили в школу и вернулись обратно. Двигались ли вы? Конечно. Но оказались там же, где были изначально, как будто и не двигались с места. Длина пройденного маршрута и расстояние, на которое вы в результате переместились, могут оказаться разными понятиями.

От точки А до точки Б можно добраться многими способами (см. рис. 2). Но результат будет один и тот же – из точки А вы переместитесь в точку Б. Длину отрезка, соединяющего точку, где объект начал свое движение, и точку, где закончил, назовем перемещением. Если вы сходили в школу и вернулись домой, то начальная и конечная точка движения совпали: перемещение равно нулю

В перемещении важна не только длина отрезка, но и направление движения, строго говоря: перемещение из точки А в Б и из Б в А – это не одно и то же. Подробнее об этом – далее в уроке.

Рис.2. Перемещение

Линия, вдоль которой мы двигались, чтобы переместиться из А в Б, называется траекторией. А длину траектории называют путём. Все, что вы сегодня прошли, если нарисовать эту линию (см. рис. 3) и посчитать ее длину – это преодоленный вами путь.

Рис. 3. Траектория


 

Физика и предприниматель.

В Индии приняли закон, по которому расстояние от кафе до дороги должно быть не менее 500 метров. Один предприимчивый владелец заведения выполнил данное требование (см. рис. 4), путь от дороги до кафе составляет 520 метров, однако потому что попасть в него можно только пройдя по лабиринту. При этом перемещение человека, который прошёл путь 520 метров от дороги до кафе, останется значительно меньшим 500 метров.

Рис. 4. Лабиринт вокруг кафе

В быту мы под словом «путь» обычно подразумеваем не только длину траектории, но и саму траекторию: «Пойти в школу по короткому пути? Или по пути зайти в магазин?». Путей до школы может быть много, но перемещение будет одним и тем же (см. рис 5). По длинному пути мы путаемся – у этих слов одинаковое происхождение.

Рис. 5. Разные пути и одно перемещение.


 

Выход из лабиринта

Как выйти из лабиринта? Можно надеяться на удачу и идти наугад, но существует надежный способ: необходимо все время идти вдоль одной стены (например, той, за которую вы держитесь левой рукой), куда бы она ни сворачивала. Если эта стена соединена с внешней стеной лабиринта, то рано или поздно мы обязательно должны будем пройти через выход (см. рис. 6). Если у лабиринта есть вход и мы начинаем с него, то выход точно найдём (вход, как и выход, находится на внешней стене).

Рис. 6. Выход из лабиринта

Если же мы начинаем обход изнутри лабиринта, то выбранная стена может быть не соединена с внешней. Тогда она представляет собой что-то наподобие острова (см. рис. 7), и мы после обхода вернемся в ту же точку, скоторой начали (для этого полезно отмечать стену, вдоль которой уже прошли). Тогда нужно найти другую стену, не соединенную с первой, и также ее обойти. В итоге, рано или поздно, выход будет найден.

Рис. 7. «Остров» в лабиринте

Теперь у нас есть инструмент размышления, который мы можем применять для описания других примеров движения. Например, конец минутной стрелки за час возвращается в исходное положение: его перемещение равно нулю, , а путь равен длине траектории (окружности),  (см. рис. 8).

Рис. 8. Перемещение минутной стрелки

Похожая ситуация с движением Земли вокруг Солнца: за год перемещение Земли относительно Солнца равно нулю, а путь - 2𝜋𝑅.

Рассмотрим такую ситуацию: два человека выехали из Казани в Сочи. Один полетел на самолете с пересадкой в Москве, а второй поехал на машине. Траектории движения разные, пути разные. А вот перемещение будет одно: они встретятся в Сочи, как и договаривались (см. рис. 9).

Рис. 9. Траектории движения самолета и автомобиля

Ещё один пример – такси. При заказе машины мы указываем начальную и конечную точки пути. То есть, нас интересует перемещение. Но при расчёте стоимости поездки учитывается расход бензина, которое потратит водитель на выполнение заказа, а это зависит от пути. Если место назначения находится на противоположном берегу реки и по прямой до него 300 метров, мы все равно заплатим за те 5 километров пути, которые мы проехали в объезд по мосту (см. рис. 10).

Рис. 10. Траектория движения такси

Путь не может быть меньше перемещения. Длина отрезка, соединяющего две точки, - это кратчайшее расстояние между ними. Поэтому длина любой другой траектории между двумя точками будет больше, чем длина отрезка (см. рис. 11). Путь совпадает с перемещением, если тело движется по прямой, во всех остальных случаях путь больше перемещения.

Рис. 11. Путь и перемещение


 

«По газонам не ходить»

Почему люди норовят пройти по газону, когда это запрещено? Обычно мы выбираем путь, который сможем пройти быстрее всего. Очевидно, что при одной и той же скорости выбор падает на самый короткий путь. Кратчайший путь между двумя точками – отрезок прямой. Действительно: если идёшь прямо к цели, то путь совпадает с перемещением (см. рис. 12).

Рис. 12. Путь через газон

В геометрии это свойство называется «неравенством треугольника»: любая сторона треугольника короче суммы длин двух других сторон.Иногда мы ищем кратчайший путь не между двумя точками, а от точки до прямой. Аналогично самым коротким путем до дороги в поле будет отрезок, перпендикулярный дороге.В геометрии это формулируется так: расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра (см. рис. 13).

Рис. 13. Расстояние от точки до прямой

Скорость движения

Вы гуляете с собакой. Пока вы прошли 100 метров, она успела пробежать очень длинную запутанную траекторию и прибежать одновременно с вами. Вы проделали гораздо меньший путь, чем собака, но время на него затратили одинаковое. Значит, собака двигалась быстрее, и речь идет о скорости движения.

Скорость - это количество за единицу времени. Нас интересует, какое расстояние преодолевает тело за единицу времени. Мы знаем, что перемещение за единицу времени и путь за единицу времени – это не одна и та же скорость. Что такое перемещение за единицу времени? Назовем эту величину скорость по перемещению. Ее можно рассматривать как скорость продвижения к цели.

Вернёмся к примеру с такси. Мы за 15 минут в объезд доехали до места назначения, которое изначально было в 300 метрах от нас – это наше перемещение. Значит можно считать, что мы каждую минуту становились в среднем на 300/15=20 метров ближе к цели. Скорость по перемещению равна 20 м/мин. Для задачи о такси эта информация бесполезна, а вот для других задач скорость по перемещению может быть информативной.

Чтобы оценить скорость работы почтальона, который разносит почту в каждый из домов на улице, не нужно считать длину его довольно сложной траектории (см. рис. 14). Достаточно рассмотреть его перемещение из начала улицы в конец. Если этот участок он обошел за час, то можно оценить время обхода всех улиц района.

Рис. 14. Перемещение почтальона

Теперь рассмотрим пройденный за единицу времени путь. Назовем эту величину путевой скоростью. Это как раз та скорость, которую показывает спидометр автомобиля. Мы говорим: скорость автомобиля 50 км/ч. Это значит, что машина проезжает за час 50 км, независимо от формы траектории.

,

или

V – сокращенно от англ. velocity, обозначает скорость;

t – сокращенно от англ. time, обозначает время;

S – расстояние (путь).

Путь – это длина траектории, измеряется в метрах, километрах, милях и т.д. В СИ длина измеряется в метрах. Единицы измерения времени - это секунды. Так как скорость – это путь делить на время, то измеряется она в единицах пути за единицу времени: в м/с (в СИ).

Задача

Навстречу друг другу из точки А и точки Б одновременно выехали два велосипедиста (см. рис. 15). Один ехал со скоростью 18 км/ч, а другой – 24 км/ч. Они встретились через полчаса. Какое расстояние между точками А и Б?

Рис. 15. Движение велосипедистов

Нам известна скорость каждого из велосипедистов, обозначим их  и

. Скорость – это по определению путь, деленный на время движения. Отсюда:

 и

Велосипедисты проехали каждый свой путь  и  и встретились, вместе эти отрезки составляют расстояние между точками А и Б. Обозначим его буквой S.

На этом физика закончилась, условие задачи переписано в виде уравнений, теперь остается их решить.

Нам нужно найти расстояние между точками, S. Пути  и  мы пока тоже не знаем, но можем выразить их через время движения и скорости велосипедистов.

Подставляем их в третье уравнение и получаем:

Остается провести вычисления.

Ответ: 21 км.


 

Решив одну задачу, мы решили множество похожих.

Навстречу друг другу из точки А и точки Б выехали два велосипедиста. Первый выехал на 10 минут раньше и ехал со скоростью 18 км/ч, а второй – со скоростью 24 км/ч. Они встретились через полчаса после отправления второго велосипедиста. Какое расстояние между точками А и Б?

 и

Первый велосипедист был в пути на 10 минут больше времени, обозначим эти 10 минут  и запишем .

На этом физика заканчивается, причем отличие от первой задачи мы записали только в одном уравнении: . Остается математика: выразить из записанных уравнений S.

Выразим из первых двух уравнений пути 𝑆1 и 𝑆2. Учитываем, что  – это , а  – это .

 

А если бы велосипедисты ехали не навстречу друг другу, а второй велосипедист догонял бы первого? Тогда путь второго велосипедиста был бы равен пути первого велосипедиста плюс расстояние между ними в начале движения:  – отличие всего лишь в одном уравнении.

Измерение скорости

Всё ли можно наблюдать и измерять непосредственно? Нет. Например, общаясь с людьми, мы наблюдаем их действия и слова, а по ним судим о намерениях, характере – «вычисляем» их. Мы не наблюдаем ветер. Мы наблюдаем колыхание веток, вращение флюгера, поднявшуюся пыль, и по этим признакам «вычисляем» ветер, его направление и силу. Есть измеряемое и вычисляемое.

Рассмотрим движение автомобиля. Наблюдаем ли мы его скорость,можем ли измерить её непосредственно? Нет. Чтобы судить оскорости, нам нужно понаблюдать за автомобилем некоторое время.Только тогда мы сможем увидеть: большой ли путь он проедет за это время. То есть то, что мы непосредственно измеряем – это путь и время. Измеряя путь, мы сравниваем его с эталоном: метром или сантиметром, миллиметром. Время тоже можно измерить, достаточно взять секундомер. А скорость мы вычисляем, как путь за единицу времени. Спидометр в машине не измеряет скорость (не сравнивает её с эталонной скоростью), а измеряет среднее значение времени, за которое автомобиль проходит определенный путь. И показывает отношение измеренного пути к измеренному времени.


 

Как работает спидометр?

Спидометр – это измерительный прибор для определения скорости движения.

Скорость непосредственно не измеряется. Поэтому спидометры не измеряют скорость, а определяют ее с помощью измерения других величин: пути и времени.

Существует множество видов спидометров, но принцип определения скорости у большинства из них один: считать количество оборотов колес автомобиля за единицу времени. Например, к подвижной части колеса крепится магнит, который при каждом обороте проходит мимо специального устройства. Количество контактов магнита и устройства – это количество оборотов колеса за фиксированное время. Понятно, что за один оборот тело проходит путь, равный длине окружности колеса.

Значит, скорость можно вычислить по формуле:

где N – количество оборотов колеса за время t, а R – радиус колеса. Бывают спидометры и с другим принципом работы.

Система отсчета. Изменение скорости

Представим, что вы нашли записку, в которой сказано, как найти клад: «От дуба пройти по дороге 50 метров». Путь нам задан – 50 метров. Будет ли этого достаточно, чтобы найти клад? Даже если мимо дуба проходит одна дорога, то информации не хватит: можно пойти влево, а можно вправо. Если принять одно направление положительным, а другое отрицательным, то перемещение в одном случае будет +50 м, в другом -50 м (см. рис. 16).

Рис. 16. Дорога от дуба

А если от дуба отходит несколько дорог? Или в записке сказано: «От дуба пройти 50 метров», а дуб стоит в чистом поле? В таком случае клад может быть в любой точке окружности радиусом 50 метров, и одного числа недостаточно.

На плоскости перемещение можно задать двумя числами, например, 30 метров на север и 40 метров на восток (см. рис. 17), количество метров на юг и запад отметим знаком минус.

Рис. 17. Перемещение на плоскости

Можно обозначить перемещение другими двумя числами: расстояние до точки, то есть наши 50 метров, и направление, например, 53 градуса от северного направления по часовой стрелке (см. рис. 18).

Рис. 18. Направление перемещения

В трехмерном пространстве для того, чтобы задать перемещение, нужно третье число. Так, чтобы описать точное положение клада, помимо точки, где копать, нужно указать и глубину, на которой клад закопан (см. рис. 19).

Рис. 19. Перемещение в трехмерном пространстве

Дуб и дорога – это пример координатной прямой, дуб и направления на север и восток – координатная плоскость.

Поскольку перемещение – это движение из точки А в точку Б, то, чтобы его задать, нужно знать координаты точек А и Б. Если точку начала движения поместить в начало координат (рисунок), то её координаты всегда будут равны 0. Тогда перемещение можно задать координатами точки Б.

Такое представление величин как пары чисел на плоскости (или тройки чисел в пространстве) – это математический инструмент, который называется вектор. В физике его удобно использовать для величин, которые характеризуются численным значением (его еще называют абсолютным значением или модулем вектора) и направлением. Обозначать их договорились, добавляя стрелку над буквой: . Как отделить перемещения из точки А в точку Б и из точки в Б в точку А? Используя вектор, мы учитываем, что у них противоположные направления. Скорость перемещения тоже задается вектором (необходимо знать, как быстро движется тело и в каком направлении). Тело можно толкать одинаково сильно в разных направлениях, и результат будет разный – речь о направлении силы, которую мы изучим чуть позже. Путь мы вектором считать не можем: это просто количество пройденных метров, независимо от направления или формы траектории.

Рассмотрим такой пример: тело за 10 с прошло 80 м. Найдем его скорость:

Значит ли это, что тело за любую секунду проходит 8 метров? Не обязательно. Тело за какую-то секунду может пройти 7,5 м, а за какую-то 8,5 м. А может большую часть времени двигаться со скоростью 5 м/с, а потом разогнаться до 15 м/с и всё наверстать. 8 м/с - это средняя скорость на данном участке пути: весь путь делить на всё время:


 

Средняя скорость. Задача.

Велосипедист выехал на прогулку. Первую часть пути он ехал по асфальтированной дорожке со скоростью 20 км/ч на протяжении 15 минут. Вторую часть пути он ехал по грунтовой дороге со скоростью 10 км/ч на протяжении 45 минут. Определите среднюю скорость велосипедиста.

Обозначим скорость на первой и на второй части пути:

Средняя скорость всей прогулки – это полный путь за всю прогулку делить на время всей прогулки. Прогулка разбита на два участка, поэтому:

Физика на этом закончилась, осталось решить уравнения.

Из первых двух уравнений:

Подставим:

Теперь подставим численные значения, время запишем в часах, чтобы все величины были в одних единицах (скорость у нас в км/ч).

В ряде задач мы можем пренебречь изменениями скорости и считать движение равномерным движением – от слов «равные меры», это такое движение, при котором за одинаковые промежутки времени тело совершает одинаковое перемещение или проходит одинаковый путь. В нашем случае мы могли принять, что тело за любую секунду проходит 8 м.

Мы можем взять меньший участок пути и посчитать среднюю скорость на этом участке, и в нашем примере можем получить те самые 5 или 15 м/с. Можем посчитать скорость на очень малом участке или за очень малый отрезок времени, назовем его мгновением. Тогда получим скорость в конкретное мгновение, назовем ее мгновенной скоростью.

Если мы рассматриваем равномерное движение, то скорость в любой момент времени одна и та же. Но, если тело не двигалось, а затем пришло в движение, его скорость обязательно должна была измениться. Сначала она была равна нулю, потом 0,5 м/с, потом 1, 1,5 и т.д. Аналогичная ситуация при торможении: только теперь скорость уменьшается до нуля (см. рис. 20).

Рис. 20. Разгон и торможение

Как быстро изменялась скорость? Есть смысл ввести скорость изменения скорости. То есть на сколько метров в секунду изменялась скорость каждую секунду. Эту величину назвали ускорение.

Это отношение изменения скорости  к промежутку времени , на протяжении которого скорость изменилась на .Ускорение на английском acceleration, поэтому его принято обозначать «a». Тогда запишем определение в виде формулы:


 

О направлении ускорения.

Скорость – величина направленная. Поэтому изменяться она может как по модулю, так и по направлению. Ускорение – это скорость изменения скорости. Но как учесть, что скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться на одно и то же значение? Ведь это будет не одно и то же ускорение. Ускорение, как и скорость, будем считать векторной величиной. И тогда, если скорость увеличивается, то считаем, что ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость, а если уменьшается – в противоположную. Если одно из направлений принять за положительное, то направления будут обозначаться знаком + или –. При таком рассмотрении, если скорость тела по модулю увеличивается, то скорость и ускорение одного знака, а если уменьшается – противоположного (рис. 21).

Рис. 21. Направление ускорения

Например, если скорость положительна и V<V0, то есть она уменьшается, то ускорение  получится отрицательным.

Относительность движения

Что еще нужно понимать, чтобы описывать и предсказывать движение тел?

Вы сейчас сидите перед экраном неподвижно. Прямо сейчас наша планета, движется со скоростью 108 тысяч километров в час вокруг Солнца. Хотя относительно комнаты, в которой вы находитесь, ваша скорость, равна нулю. Значит, описание движения зависит от того, относительно чего мы это движение рассматриваем. В физике это называется относительностью движения.

Ещё один пример. Наверное, вам приходилось ездить в поездах? Провожающие стоят на перроне, пассажиры и их чемоданы в вагоне неподвижны. После отправления для провожающих пассажиры и поезд начали движение с одинаковой скоростью. Относительно же пассажиров вагон и все предметы в нем остались неподвижны, а двигаться начал перрон с провожающими. Набоков хорошо описал это в начале своего романа «Король, дама, валет».


 

Относительность движения у Набокова

«Огромная, черная стрела часов, застывшая перед своим ежеминутным жестом, сейчас вот дрогнет, и от ее тугого толчка тронется весь мир: медленно отвернется циферблат, полный отчаяния, презрения и скуки; столбы, один за другим, начнут проходить, унося, подобно равнодушным атлантам, вокзальный свод; потянется платформа, увозя в неведомый путь окурки, билетики, пятна солнца, плевки; не вращая вовсе колесами, проплывет железная тачка; книжный лоток, увешанный соблазнительными обложками,-- фотографиями жемчужно-голых красавиц,-- пройдет тоже; и люди, люди, люди на потянувшейся платформе, переставляя ноги и все же не подвигаясь, шагая вперед и все же пятясь,-- как мучительный сон, в котором есть и усилие неимоверное, и тошнота, и ватная слабость в икрах, и легкое головокружение,-- пройдут, отхлынут, уже замирая, уже почти падая навзничь...»

 

Домашнее задание

  1. Человек находится на движущемся эскалаторе. Будет ли человек двигаться относительно Земли и относительно эскалатора?
  2. Какие величины в данном уроке считаются векторными и почему?
  3. Велосипедист равномерно двигался по трассе со скоростью 15 м/с, затем дорога ушла резко вниз и скорость велосипедиста увеличилась в два раза за 10 с. Найти ускорение движения велосипедиста.

 

Список рекомендованной литературы

  1. Перышкин А.В. Физика. 7 кл. – 14-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010
  2. Перышкин А.В. Сборник задач по физике, 7 – 9 кл.: 5-е изд., стереотип. – М: Издательство «Экзамен», 2010.
  3. Лукашик В.И., Иванова Е.В. Сборник задач по физике для 7 – 9 классов общеобразовательных учреждений. – 17-е изд. – М.: Просвещение, 2004.

 

Рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал «razborzadach.com» (Источник)
  2. Интернет-портал «fmo.kemsu.ru» (Источник)